寻找最速降线

数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这些真理之间的新的接触点. ── C.F.Gauss 数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益. ── R.C.Buck

内容提要  回顾微积分有关知识 连续,多元函数极值,积分等  复习微分方程的求解的解析与数值方法  介绍一类最优问题的求解新框架-变分方法  最速降线求解的仿真方法

1696年John Bernoulli向他的兄长和其他 背景故事 1696年John Bernoulli向他的兄长和其他 数学家挑战性地提出了最速降线（捷线）问题: 一质量为m的质点，在重力作用下从定点A 沿曲线下滑到定点B， A B 试确定一条曲线，使得质 点由A到B下滑时间最短. 假定B比A低，不计摩擦力 和其他阻力等因素.  此问题导致数学新分支的产生.

思考 历史 这是一个求最值的问题  与求函数的极值一样吗？  与求线性规划问题中的极值一样吗？  它的数学形式怎样？  与求函数的极值一样吗？  与求线性规划问题中的极值一样吗？  它的数学形式怎样？ 历史 1697年5月号“教师学报”接收了5篇解答报告

贝努利 约翰 Bernoulli,Johann  欧洲著名科学家族  涉猎 微积分、微分方程、解析几 何、 概率论以及变分法 更贡献于物理、化学和天文学  谁发现 L’Hospital 法则  欧拉的指导者和老师  瑞士的骄傲

问题数学形式 设曲线为 满足 y(0)=0, y(c)=H 若 {质点沿 y=y(x) 下滑的时间} 我们要求的是怎样的函数y(x) A B x y c 设曲线为 满足 y(0)=0, y(c)=H {质点沿 y=y(x) 若 下滑的时间} 我们要求的是怎样的函数y(x) 使得T(y) 取得最小值 minT(y)

近似方法 如图建立坐标系,设A为原 点, B为(c,H), 将带状区域 0< y <H用平行于 x 轴的 yk-1 xk-1 yk xk 如图建立坐标系,设A为原 点, B为(c,H), 将带状区域 0< y <H用平行于 x 轴的 直线 y=yk=kH/n 把这区域 分成 n个带状小区域. 在带状域yk-1<y<yk ,可近似认为 而曲线段近似认为是直线段,其长度

于是质点从A到B所需时间近似为 (n -1元函数!) ( 是已知的！)  求这个函数的极小值, 就得到问题的近似解 (为简单计,可取g =1000cm/s2)  可以使用数学软件来求极值，但所得曲线为 离散形式，无解析表达式

求解极值数值方法 令 可令 解出 故

令 为下列方程的解 再将 代入(*)式中，将 用曲线连接即得拟合最速降线，再求出时间 .

利用数学软件求近似最速降线和最短时间 function m6_1(G,H,n) h=H/n;g=9.8;f=1.0;a=0; b=2/(sqrt(2*g*(n-1)/n*H));c=(a+b)/2; i=1; while abs(f)>1e-10 s=0; for j=1:n v=sqrt(2*g*j*h);s=s+v/sqrt(1.0-c^2*v^2); end f=c-G/(h*s); if f>0 b=c;else a=c; c=(a+b)/2;i=i+1;end x(1)=sqrt(g*h/2)*c*h/sqrt(1.0-c*c*2*g*h); T=sqrt((x(1)-a)^2+h^2)/sqrt(2*g*h) for k=2:n v=sqrt(2*g*k*h);x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v); T=T+sqrt((x(k)-x(k-1))^2+h^2)/v; plot(x,-(0.1:h:H),'*r')

利用数学软件求解得到的曲线

再作分析 质点要走最快的路线(曲线)，应该如何变化？  依然用从质点速度变化的角度考虑 设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的  依然用从质点速度变化的角度考虑 设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的 上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？ 如图,若A1,A2到l 的垂足分 A1 A2 1 2 C l O D 别为O,D, A1,A2 到l的距离分别 为a, b, OD =c, 质点经过l于C OC =x 那么质点由A1到A2需时间

惟一驻点满足 A1 A2 1 2 C l O D x a b c－x 也即 这就是光学中的 Snell 折射定律

建立数学模型 若用与x 轴平行的直线将 分析：如图建坐标系， AB 分割成小段, 考虑在第k 层与k +1层质点在曲线上的下 y c k+1 k 层与k +1层质点在曲线上的下 滑，依能量守恒律，可近似 认为质点在每层内的速度不 变，于是依辅助结论知 注意上式对任何k成立，

故导出 令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线 上任何一点 A B x y c  其中 为该点切线与铅垂线 的夹角

导出微分方程 A B x y c   又因  于是得到

一个引理 设集合E0={g(x)C1 │g(a) =g(b)=0} 如果在[a,b]连续函数 f(x)满足 对g (x) E0 ，总有 那么 f (x)  0

另一种方法－变分法 设曲线为 满足 y(0)=0, y(c)=H 在曲线上P(x,y）处质点速度为 又设从A到P的弧长为s,则 B x y c 设曲线为 满足 y(0)=0, y(c)=H 在曲线上P(x,y）处质点速度为 又设从A到P的弧长为s,则 从而质点沿曲线由A到B需时间

设集合 那么我们的问题成为 求某个 使得 引进集合 显然若 是最速曲线函数,则 于是函数 在 取得最小值 故得

为了计算 ,记 那么对 依复合函数求导法 注意第二项

于是导出 上式乘以 这里

得到方程为 注意从降线定义可知 故 解法 1）可求解析解 2）也可以用数值方法，例如欧拉法求解

 求解析解提示： 由于在原点y = 0 ,可改写方程 解析解

最速降线问题仿真方法Matlab程序 function cycloid(G,H,n) if nargin==2 %两个参数则默认n为100 end g=9.8; h=H/n; minc=0;maxc=1/sqrt(2*g*h*n); x=0;y=0; while abs(G-x)>1e-4 x=0; c=(minc+maxc)/2; %二分法求c值 for j=1:n y=j*h; v=sqrt(2*g*y); x=x+c*v*h/sqrt(1-c^2*v^2); gx(j)=x; gy(j)=y;

if x<G %判断最后一个点与所给点的位置情况 minc=c; else maxc=c; end T=0; for j=1:n v=sqrt(2*g*j*h); if j==1 s=sqrt(gx(1)^2+h^2); s=sqrt((gx(j)-gx(j-1))^2+h^2); T=T+s/v; plot(gx,-gy); T

取G=H=10，n=100

实验任务 1. 分别用数值方法和解析方法求出的最速降线 的曲线和下降时间,将两种结果比较 (设c=π/2, H=1) 2. 在一条直线 l 的上侧有两个点A,B,试找出一条从 A 到B的曲线,使得这曲线绕l 旋转所得的旋转面 的面积最小.设直线l与点A,B在xy 平面，l为x轴， A为(0,（e+e-1)/2), B为(3，(e2+e-2)/2)

3. 圆柱面方程为 用曲线连接面上A(0,0,1), B(1,3,0)两点,求使得 AB 弧长最短的曲线(短程线) 4. 在第3题中，将曲面改为 求在曲面上连接A(1,0,1),B(0,2,2)的最短弧线 （建议以数值和解析两种方法求解加以比较）

5. 若求出最速降线的曲线方程,试将质点从曲线 上任何一点无摩擦地滑到最低点,试求下滑所 需时间 注：若选择本次实验，必须完成任务1、2

谢谢各位！