第五章 梁弯曲时的位移 §5-1 梁的位移——挠度和转角 §5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 *§5-4 梁挠曲线的初参数方程 §5-5 梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施 §5-6 梁内的弯曲应变能

§5-1 梁的位移——挠度和转角 直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。

弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：

(a) (b) 直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。

在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负； 顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负。

§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出 在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为 这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。

在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有 注意：对于有些l/h>10的梁，例如工字形截面等直梁，如同在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。

从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作 式中，等号右边有正负号是因为曲率1/r为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方向的变化率，是有正负的。

再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w" ，正弯矩对应于负值的w" ，故从上列两式应有

Ⅱ. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件 求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为 后进行积分，再利用边界条件(boundary condition)确定积分常数。

当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有 以上两式中的积分常数C1，C2由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。

边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。

若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件(constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边界条件。

例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。

解：该梁的弯矩方程为 挠曲线近似微分方程为 以x为自变量进行积分得 该梁的边界条件为：在 x=0 处 ，w =0 于是得

从而有 转角方程 挠曲线方程 根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。

可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有

由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的： 此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0， 因而也有C1=0 ，C2=0。

事实上，当以x为自变量时 两式中的积分在坐标原点处(即x=0处)总是等于零，从而有

思考: 试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？

例题5-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。

解：该梁的弯矩方程为 挠曲线近似微分方程为 以x为自变量进行积分得：

该梁的边界条件为 在 x=0 处 w=0， 在 x=l 处 w=0 于是有 即 从而有 转角方程 挠曲线方程

根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相等，且均为最大值，故 最大挠度在跨中，其值为

例题5-3 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。

解：约束力为 两段梁的弯矩方程分别为 为了后面确定积分常数的方便，右边那段梁的弯矩方程M2(x)仍取x截面左边的梁为分离体，使方程M2(x)中的第一项与方程M1(x)中的项相同。

两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出，并分别进行积分： 左段梁 右段梁 挠曲线近似微分方程 积分得

值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含有(x-a)的项没有以x 为自变量而是以(x-a)作为自变量进行积分的，因为这样可在运用连续条件 w1 '|x=a=w2'|x=a 及w1|x=a=w2|x=a 确定积分常数时含有(x-a)2和(x-a)3的项为零而使工作量减少。又，在对左段梁进行积分运算时仍以x 为自变量进行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0。

该梁的两类边界条件为 连续条件： 在x=a处 ，w1=w2 支座约束条件：在x=0处 w1=0，在 x=l 处 w2=0 由两个连续条件得： 由支座约束条件 w1|x=0=0 得 从而也有

由另一支座约束条件 w2|x=l=0 有 即 从而也有

从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下： 左段梁 右段梁

左、右两支座处截面的转角分别为 当a>b时有

根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax所在 处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的转角方程 等于零，得 显然，由于现在a>b，故上式表明x1<a，从而证实wmax确实在左段梁内。将上列x1的表达式代入左段梁的挠曲线方程得

由上式还可知，当集中荷载F作用在右支座附近因而b值甚小，以致 b2 和 l2 相比可略去不计时有 它发生在 处。而此时 处(跨中点C)的挠度wC为

可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。 当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角qmax和最大挠度wmax为

思考: 试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠曲线。并指出：(1) 跨中挠度是否最大？(2)跨中挠度的值是否接近最大挠度值？ l/2 l/4

§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理(principle of superposition)。

悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附录Ⅳ中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。

例题5-5 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 wC 和两支座截面的转角qA 及 qB。

作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。 (a) (b)

在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材附录Ⅳ表中序号8的公式有 C 在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材附录Ⅳ表中序号8的公式有

在集度为q/2的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有 C 注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录Ⅳ表中序号8情况下的公式有

按叠加原理得

例题5-6 试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面B的转角qB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。

解：为利用本教材附录Ⅳ中简支梁和悬臂梁的挠度和转角资料，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁(图b)和简支梁(图c)连接而成。原来的外伸梁在支座B左侧截面上的剪力

图c中所示简支梁BC的受力情况以及支座约束情况与原外伸梁BC段完全相同，因此再注意到简支梁B支座左侧的外力2qa将直接传递给支座B而不会引起弯曲后，便可知道按图d和图e所示情况由本教材附录Ⅳ中的资料求Bq，  BM 和 wDq，wDM 并叠加后得到的就是原外伸梁的 B和wD。

图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B支座截面是可以转动的，其转角就是上面求得的qB，由此引起的A端挠度w1=|qB|·a应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA：

§5-5 梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施 Ⅰ. 梁的刚度校核 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满足刚度条件(stiffness condition)： 式中，l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)，[q]为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度条件。

土建工程中通常只限制梁的挠跨比， 。在机械工程中，对于主要的轴， ；对于传动轴还要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角， 。

例题5-8 图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知[]=170 MPa，[]=100 MPa，E=210 GPa， 。

解：一般情况下，选择梁的截面尺寸或选择型钢的型号时，先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再作更改。

1. 按正应力强度条件选择槽钢型号 作梁的剪力图和弯矩图如图c和图e。最大弯矩在距左支座0.8 m处，Mmax=62.4 kN·m。梁所需的弯曲截面系数为

而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz≥367×10-6 m3/2=183.5× 10-6m3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需的Wz=183.5×10-6 m3而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正应力[s]，但如超过不到5%，则工程上还是允许的。 现加以检验： 超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/170≈3%，未超过5%，故允许。事实上即使把梁的自重 (2×22.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。

2. 按切应力强度条件校核 最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为 每根20a号槽钢其横截面在中性轴一侧的面积对中性轴的静矩，根据该号槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：

每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4 当然， 的值也可按下式得出： 每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4 于是 其值小于许用切应力[t]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切应力强度条件。

3. 按刚度条件校核 此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。本教材附录Ⅳ序号11中给出了简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计算公式为 可见，对于此梁上的左边两个集中荷载，应为

于是由叠加原理可得 而许可挠度为 由于wmax<[w]，故选用20a号槽钢满足刚度条件。

Ⅱ. 提高梁的刚度的措施 (1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同(E≈210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。

(2) 调整跨长和改变结构的体系 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为

如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为 而且跨中挠度减小为

而此时外伸端D和E的挠度也仅为

所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰支座。

§5-6 梁内的弯曲应变能 在本教材的§3-6中曾讲述了等直圆杆扭转时的应变能，并利用功能原理导出了密圈圆柱螺旋弹簧受压(拉)时弹簧高度变化量的计算公式。 本节研究等直梁在线弹性范围内工作时，由于作用在梁上的外力作功而在梁内蓄积的弯曲应变能Ve，并利用功能原理来求梁在简单荷载情况下的位移。

等直梁在线弹性范围内纯弯曲时(图a)，其曲率 为常量，挠曲线为一圆弧，梁的两个端面在梁弯曲后对应的圆心角为

图b示出了Me与q 的上列线性关系。图b中斜直线下的三角形面积即代表外力偶之矩由零增大到最终值 Me 过程中，外力偶所作的功： 它在数值上就等于梁在纯弯曲时的应变能： (b) 将 代入上式可得

梁在横力弯曲时，既有与弯曲变形相应的弯曲正应变能，又有与剪切变形相应的剪切应变能。但如同在§5-2开始时所述，工程中常用的梁其剪切变形对位移的影响通常很小，可略去不计。梁在横力弯曲时其长为dx的微段内的弯曲应变能为

从而全梁内的弯曲应变能为 式中，M(x)为任一横截面上弯矩的表达式，亦即弯矩方程。 顺便指出，由于直梁横力弯曲时， ，因此上式也可写作 此式在求梁系(例如两根交叉在一起的梁)的位移等时是有用的。

例题5-9 求图示等直梁的弯曲应变能Ve，并利用功能原理求自由端A的挠度wA。

解：梁的弯矩表达式为M(x)=Fx，于是得弯曲应变能 根据功能原理，有 W=Ve，即 从而得

所求得的wA为正值，表示wA的指向与集中力F的指向相同，即向上。