“三个二次”问题复习课 浙江省宁波中学 熊丰羽 fengyuxiong@163.com 大家好，我们今天要复习的内容是“三个二次”问题，所谓三个二次，是指二次函数，二次方程，二次不等式，其中二次函数是中心

二次函数是高考数学中的“常客”，从2004到2010年浙江省高考年年必考。 年份 题号 2004 文科第12、21题，理科第12题 2005 文科第20题，理科第8、16、20题 2006 文科第20题，理科第16题 2007 文科第22题，理科第10题 2008 理科第15题 2009 文科第21题，理科第22题 2010 文科几乎每年都会有一个与二次函数有关的解答题，理科二次函数也是每年必考，且多次出现在解答题中，翻开全国各地的高考试题可以发现，几乎每份试卷中都会有二次函数的影子，其重要性可见一斑

二次函数之所以如此受到青睐，有两方面原因 一是学生从初中开始学习二次函数，对二次函数非常熟悉。以二次函数为背景命题符合浙江省“背景公平，淡中见隽”的一贯命题风格。 二是二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延。考查二次问题有利于考查学生对数学思想方法和数学本质的理解。 丰富的内涵和外延，作为基本初等函数，我们可以研究它的单调性，奇偶性，最值等问题，我们还可以建立函数与方程、不等式之间的联系，还可以将它作为抛物线研究平面曲线间的关系，总之，考查

纵观近几年的高考试题，以二次函数为中心，运用二次函数图像解决二次方程，二次不等式的相关问题是考查的主要类型，我们一般把这类问题称为“三个二次问题”。高考对“三个二次”的考查往往渗透在对其他知识的考查之中，并且大都出现在解答题之中，特别是与不等式、导数以及解析几何等高中数学的主干知识的结合是其一大亮点。其考查的重点是二次函数的图像与最值、一元二次方程根的分布、一元二次不等式恒成立等内容。

这是一个二次不等式问题，解题的关键是恰好二字，它反映了一种等量关系， 此题虽然简单，但我们可以从中窥见三个二次之间的联系

Δ= b2－4ac Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 二次函数f(x)=ax2+bx+c (a>0) 的图象 方程有两相异实根 方程有两相等实根 方程无实根 从中我们可以看出二次函数的零点即二次方程的根，也即二次不等式解区间端点，根据二次函数图像分成三种情况

点击高考 已知函数 (1)若 ，求 的单调区间； (2009年海南高考21题）

下面我们一起来看解题过程，先求导，求导时注意e的负x次的导数应该是-e-x次，如果求导错误就会导致全军覆没，这就是我们强调基本功的原因，接下来我们用数轴标根法，可以求得结果， 注意单调区间的写法，两个区间不能并起来。下面看第二小题，因为2是导数为0的一个根，我们将其代入就可以得到a,b的关系式，将b=4-a代入f’(x)中就只含有一个参数a

又根据条件， 是导函数的另外两个零点，而且e-x不可能为0，所以2 就是三次方程的三个根，而因为三次方程一根为2所以 实际是一个二次方程的两根，通过系数比较我们可以确定这个二次方程就是 而目标式就是这个二次方程的两根之差， 这里，我们还需要注意的一个隐含条件是 ， 这个问题以导数为背景实际考查了二次方程根与系数的关系，当然在解题中需要对隐含条件进行挖掘。掌握更多的关于根的信息。

问题2 、若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。 不等式恒成立也是一种常见的题型

x y 1 -2 O

问题3、 在 至少存在一个 使得不等式成 的取值范围。 立，试求实数

x y 1 -2 O x y 1 -2 O x y 1 -2 O

问题2 、若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。 问题3、 在 至少存在一个 使得不等式成 的取值范围。 立，试求实数 问题1是不等式恰好成立，问题2是不等式恒成立，问题3是不等式有解，他们代表了不等式的三种不同状态，

不等式恰好成立，不等式有解，不等式恒成立，不等式无解，是不等式常见的几种形态，我们应注意它们的区别和联系。 解决不等式问题时应充分联系不等式与函数，可将不等式问题转化为函数问题，利用函数图像来解决问题。

点击高考 （2010年山东高考第22题）

在利用导数求单调性时我们往往先确定导函数的零点，然后将零点作为分界点，分析导函数的符号

这个题目以导数为背景，综合了二次不等式的解法，二次函数最值等问题，考查了分类讨论，数形结合思想，等价变换思想，是考查三个二次问题的一个典型例子。

问题2 、若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。 问题4、请把问题2改编成为一个 一元二次方程根的分布问题。

问题2 、若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。 O x y 1 -2 O 借助图像我们可以更清楚地看到这两个问题的一致性，当方程的两根满足条件时，可以看到此时在区间上函数值均小于0

x y 1 -2 O 当然我们可以用同样的方法解决这个根的分布问题

两根在不同区间 得出的结论 分布情况 两根都在同一区间(m,n)内 大致图象（a>0） 一根大于m,一根 一根在(m,n)内 小于m 一根在(p,q)内 大致图象（a>0） 得出的结论 根的分布问题是指一元二次方程的根在指定区间时方程的系数所需满足的条件，解题的关键是将问题转化为一元二次函数图像与x轴交点的问题，根据图像确定条件。根的分布问题有两种基本类型，即两根在不同区间和两根在相同区间。 其他情况则是这两种情况的组合。

x y 1 -2 O x y 1 -2 O 这里要特别引起注意的是此题到这里并未结束，还有情况没有讨论，还可能出现的情况是若一根恰好等于-2或1而另一个根在-2到1之间，这种情况并未包含在f(1)f(-2)<0中，而如果将条件改为小雨等于似乎也不合适，所以这里比较好的方法是进行检验

点击高考 （2009浙江高考22题改编）

这个题目当然还有其他解法，由于于这节主题无关，所以这里就不再展开，这两种解法，解法是将问题转化为不等式恒成立问题，不等式则是转化为方程根的分布问题，这个题目是一个很好的载体，反映了不等式和方程之间的联系，而联系它们的桥梁则是二次函数，所以熟练掌握二次函数的图像与性质是顺利解决三个二次问题的关键所在。

谢谢，再见！ 好这节课我们上到这里，再见