第三章 微分方程方法建模 3.1 微分方程建模 3.2 草地水量模型 3.3 传染病模型 3.4 食饵-捕食者模型

微分方程模型属于动态模型 微分方程建模方法 3.1 微分方程建模 描述所研究对象特征随时间(空间)的演变过程 分析所研究对象特征的变化规律 预报所研究对象特征的未来性态 研究控制所研究对象特征的手段 微分方程建模方法 根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程

3.1 微分方程建模 3.1.1 人的体重 3.1.2 常微分方程建模基本准则

问题 3.1.1 人的体重 研究此人的体重随时间变化的规律 假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效，而1公斤脂肪含热量41868焦。 某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤·天）乘以他的体重(公斤)。 假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效，而1公斤脂肪含热量41868焦。

问题分析 微元法 3.1.1 人的体重 体重w 函数w(t) , 连续可微 时间t 找到体重w(t)满足的微分方程即可求出函数w(t) “变化率” “导数” 微元法

净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天)＝5429(焦/天) 3.1.1 人的体重 进一步分析 由题意可知, “每天”体重变化应满足下面描述 体重的变化＝输入－输出 输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收 净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天)＝5429(焦/天) 运动消耗/天＝69焦(/公斤·天)×w(t)(公斤) 输出＝进行健身训练时的消耗 导数意义的陈述 体重的变化/天＝净吸收量/天－运动消耗/天

模型建立 3.1.1 人的体重 连续函数w(t)的瞬时关系满足下面关系式 体重的变化/天＝ (公斤/天) ＝ （公斤/天） 将两单位换算成统一形式：

3.1.1 人的体重 模型建立 由上述分析，体重w(t)满足下面关系式 两边的物理单位量纲一致，令

3.1.1 人的体重 模型求解 分离变量法 0到t 积分

3.1.1 人的体重 模型解释 由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终 趋于一种平稳的值 即

常微分方程建模应符合下面基本准则： 3.1.2 常微分方程建模基本准则 翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数； 3.1.2 常微分方程建模基本准则 常微分方程建模应符合下面基本准则： 翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数； 转化：在实际问题中, 有许多表示导数的常用词，如“速 率”, “增长率”(在生物学、人口学问题研究中), “衰变率”(在 放射性问题中)及“边际”(在经济学中)等； 模式：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法： 1）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律， 对某些实际问题直接列出微分方程； 2）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足 的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下 面的模式 改变率＝净变化率＝输入率－输出率

常微分方程建模应符合下面基本准则： 3.1.2 常微分方程建模基本准则 建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正 3.1.2 常微分方程建模基本准则 常微分方程建模应符合下面基本准则： 建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正 确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式， 建立起在自变量时段 上的函数x(t)的增长量 表达式 即得到 的表达式 单位：在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位； 确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用于确定有关 的常数，为了完整、充分地给出问题陈述，应将这些给 定的条件和微分方程一起给出。

3.2 草地水量模型 问题 草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程，但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干，能否建立一个数学模型描述这一干燥过程.

问题陈述 3.2 草地水量模型 草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约 持续c小时, 雨在草地中聚积了h厘米高的水; 雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减 少，最终自然变干，恢复比赛。 由此可将研究对象视为草地积单位面积的 水量Q, 它是时间t 的函数. 需要建立模型求出Q(t)，并能预测下雨后多长时间t1 ，使Q(t1)=0。

模型假设 3.2 草地水量模型 1．开始时草地是干的,下雨时只考虑渗透排水,雨停 后水是通过渗透,蒸发排除的,其它因素不考虑。 2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑 空气中的湿度与温度； 3．降雨速度为常数。

问题分析 3.2 草地水量模型 开始时 若草地是干的，即Q(0)=0。 下雨时 草地积了h厘米高的水量 草地水量的改变 停雨后 r米/秒降雨速度 持续c小时 下雨时 草地积了h厘米高的水量 草地水量的改变 水的流入量（降雨过程） 流出量（渗透过程） 停雨后 草地水量的改变 流出量(渗透、蒸发过程) 由此本模型应遵循下面的模式： 草地积水量的改变量＝流入量－流出量 （1）

模型建立 3.2 草地水量模型 A （平方米）: 草地的面积 a 单位时间内单位水量的渗透量 单位时间内单位水量的蒸发量 b 时间内(1)式各量的描述: 草地积水量的改变量＝ 流入量－流出量 ＝ (2)

模型求解 注 3.2 草地水量模型 数值计算：不妨假设降雨半小时, 即c=1800秒, 此时草地积水深h=0.018米, 降雨速度在半小时 若给出有关草地进水足够信息，就可由(2)式求出Q(t)； 参数a, b可以通过参数辨识方法得到。 数值计算：不妨假设降雨半小时, 即c=1800秒, 此时草地积水深h=0.018米, 降雨速度在半小时 为方便直接给出a=0.001/秒, b=0.0005/秒,将所取数值代入(2)式整理方程，得

3.2 草地水量模型 模型求解

（3）式能预测雨停后草地中水是如何随时间变化减少的 3.2 草地水量模型 模型求解 （3）式能预测雨停后草地中水是如何随时间变化减少的

模型求解 3.2 草地水量模型 本问题是确定比赛何时才能恢复，即t1为何值时使得 Q(t1)=0。而由(3)式可知,当 t 趋于无穷大时,Q(t)趋于 零，所以这样的t1是不存在的。 但在实际比赛中一般要求水量降至最高水量值的10％ 就认为草地足够干，也就是说只要达到Q(t1)=10% Q (1800)即可。即在雨停后t1-1800时即可恢复比赛。令t1 满足(3)式，得 雨停后还要等1534秒(约25分)才能恢复比赛.若水 量降到最大值5%, 需要大约33分钟可以恢复比赛。

3.3 传染病模型 模型1 (简单模型) 模型2 (SI模型) 模型3（SIS模型） 模型4（SIR模型）

按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型 3.3 传染病模型 问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型

每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为 模型1(简单模型) 已感染人数 (病人) i(t) 假设 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为 建模 ? 若有效接触的是病人，则不能使病人数增加 必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)

模型2(SI模型) 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 假设 SI 模型 2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病  ~ 日 接触率 建模

模型2 ? Logistic 模型 t=tm, di/dt 最大 tm~传染病高潮到来时刻 病人可以治愈！  (日接触率)  tm 1 t 1/2 tm t=tm, di/dt 最大 ? tm~传染病高潮到来时刻 病人可以治愈！  (日接触率)  tm

模型3（SIS模型） 传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为 增加假设  ~日治愈率 建模  ~ 日接触率 1/ ~感染期  ~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。

模型3 接触数 =1 ~ 阈值 感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例 i di/dt 1  >1 t i  >1 1-1/ i t  1 i0 i0 di/dt < 0 1-1/ i0 接触数 =1 ~ 阈值 感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例

模型4 (SIR模型) 传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者 SIR模型 假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为 2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数  =  /  建模 需建立 的两个方程

模型4 SIR模型 无法求出 的解析解 在相平面 上 研究解的性质

模型4 SIR模型 消去dt 相轨线 相轨线 的定义域 1 s i D 在D内作相轨线 的图形，进行分析

模型4 相轨线 及其分析 SIR模型 s(t)单调减相轨线的方向 P1: s0>1/σ  i(t)先升后降至0 传染病蔓延 相轨线 及其分析 SIR模型 s i 1 D P4 P2 S0 s(t)单调减相轨线的方向 im P1 s0 P3 P1: s0>1/σ  i(t)先升后降至0 传染病蔓延 1/σ~阈值 P2: s0<1/σ  i(t)单调降至0 传染病不蔓延

模型4 预防传染病蔓延的手段 SIR模型 传染病不蔓延的条件——s0<1/ 提高阈值 1/ 降低 (=/)  ,    ,    (日接触率)  卫生水平 群体免疫 (日治愈率)  医疗水平 降低 s0 提高 r0  的估计

模型4 被传染人数的估计 SIR模型 记被传染人数比例 s0 - 1/ =  提高阈值1/σ降低被传染人数比例 x i0 0, s0 1 i P1 x<<s0  s0 - 1/ =  提高阈值1/σ降低被传染人数比例 x  小, s0  1

模型验证 20世纪初在印度孟买发生的—次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。公共卫生部门记录了每天移出者（死亡）的人数，即有了 dr/dt 的实际数据，KerMack等人用这组数据把模型所预测的结果与实际传染病的资料进行比较。 根据前面的SIR模型： 和 有： 于是：

当 时，取（*）式右端的Taylor展开的前三项，在r0=0初始值下求解，得到： 其中： 带回（*）式，即有： 然后确定s0等参数 ，画出r（t）的图形，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。

3.4 被捕食者-捕食者模型 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。 模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？

食饵-捕食者模型(Volterra) 食饵（甲）数量 x(t), 捕食者（乙）数量 y(t) 甲独立生存的增长率 r 乙独立生存的死亡率 d 甲使乙的死亡率减小，减小量与 x成正比 a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 方程(1),(2) 无解析解

用数学软件MATLAB求微分方程数值解 x~y 平面上的相轨线 t x(t) y(t) 20.0000 4.0000 0.1000 20.0000 4.0000 0.1000 21.2406 3.9651 0.2000 22.5649 3.9405 0.3000 23.9763 3.9269 … 5.1000 9.6162 16.7235 5.2000 9.0173 16.2064 9.5000 18.4750 4.0447 9.6000 19.6136 3.9968 9.7000 20.8311 3.9587 x~y 平面上的相轨线

食饵-捕食者模型(Volterra) 计算结果（数值，图形） x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线 观察，猜测 x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线 x(t), y(t)的周期约为9.6 xmax 65.5, xmin  6, ymax  20.5, ymin  3.9 用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。

分析第一象限的相轨线行为 消去dt 取指数 c 由初始条件确定

f(x) x x0 fm 相轨线 在相平面上讨论相轨线的图形 g(y) gm y0 y 时无相轨线 以下设

存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p Q1(x1,y0),Q2(x2,y0) 相轨线 f(x) x x0 fm y y0 x x0 P x Q3 Q4 g(y) gm y0 y y2 y1 x Q3 Q4 x1 x2 Q1 Q2 x1 x2 p q y1 y2 相轨线退化为P点 存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p Q1(x1,y0),Q2(x2,y0) 存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q Q3(x,y1), Q4(x,y2) 相轨线是封闭曲线族

用相轨线分析 点附近情形 x(t), y(t)是周期函数(周期记 T) 相轨线是封闭曲线 求x(t), y(t) 在一周期的平均值 轨线中心

模型解释 T3 P T2 初值 T4 • T1 相轨线的方向 T1 T2 T3 T4 x(t) 的“相位”领先 y(t)

模型解释 捕食者 数量 r ~食饵增长率 a ~捕食者掠取食饵能力 捕食者数量与r成正比, 与a成反比 食饵数量 d ~捕食者死亡率 P r/a d/b 捕食者 数量 r ~食饵增长率 a ~捕食者掠取食饵能力 捕食者数量与r成正比, 与a成反比 食饵数量 d ~捕食者死亡率 b ~食饵供养捕食者能力 食饵数量与d成正比, 与b成反比

模型解释 • • • 一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？ 自然环境 捕捞 rr-1, dd+1 x y 捕捞 rr-1, dd+1 • • 战时捕捞 rr-2, dd+2 , 2 < 1 食饵(鱼)减少， 捕食者(鲨鱼)增加 还表明：对害虫(食饵)—益虫(捕食者)系统，使用灭两种虫的杀虫剂, 会使害虫增加，益虫减少。

食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进 多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点 Volterra模型 改写 加Logistic项 可以证明，在给定条件下，此模型一定有稳定平衡点。 具体可参考第七章中关于方程稳定性的相关内容。