第七章 弯曲变形

工程实例

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本章要点 （1）梁绕曲线近似微分方程 （2）叠加法求梁变形 （3）简单静不定梁的求解 重要概念 挠度、转角、边界条件、连续性条件、变形比较法

目录 §7-1 概 述 §7-2 梁的挠曲线近似微分方程用其积分 §7-3 用叠加法求梁的变形 §7-4 简单静不定梁的解法 §7-1 概 述 §7-2 梁的挠曲线近似微分方程用其积分 §7-3 用叠加法求梁的变形 §7-4 简单静不定梁的解法 §7-5 梁的刚度校核及提高梁的刚度措施 §7-6 梁内的弯曲应变能

§7-1 概述 *在上一章中，我们对各种截面梁中横截面上的应力，作了比较详尽的介绍和分析，但是，对一根梁来说，它是不是只要满足了应力要求，即强度条件，就能够使得整个构件正常，安全的工作呢？为了回答这个问题，下面我们先看一看几个简单的例子： 齿轮轴弯曲 齿轮轴弯曲变形过大，就要影响齿轮的正常啮合，加速齿轮的磨损，产生较大的噪音。

* 吊车梁若变形过大，一方面会使吊车在行驶过程中发生较大的振动，另一方面使得吊车出现下坡和爬坡现象。 吊车梁变形 从上面两个例子我们可看出：梁即使满足了强度条件，若变形过大的话，它仍然不能够正常安全的工作。由此，我们可以得出：要使梁正常安全的工作，一方面梁不仅要满足强度条件，另一方面梁还必须满足一定的变形条件。只有在这两方面同时得到满足的条件下，整个构件才能正常安全工作。 *

第九章的内容就告诉了我们上面所提到的梁所必须满足的变形条件以及计算这种弯曲变形的方法，下面我们首先来看几个基本概念： 举例：如图所示：取梁变形前的轴线为x 轴，与 x 轴垂直的为y 轴。弯曲变形后，在 xy 平面内，AB——弧AC1B，挠曲线——平面曲线AC1B。 A B F  C1 x y

1．挠度——梁的轴线上某一个点在垂直于x轴的方向（y方向）所发生的位移。 2．转角——梁上某一横截面在梁发生变形后，绕其中性轴转动的角度 ，就称为该横截面的转角。 3．挠曲线方程——从图中我们可以看出：梁的轴线上每一点的挠度y是随着点的位置x的改变而变化的，因此它是x的函数, 即： ——挠曲线方程 4．转角方程——由截面的平面假设可知：变形前垂直于轴线的横截面，变形后仍垂直于挠曲线，故，当我们通过挠曲线上任意一点C1作切线时，它与水平线的夹角 点所在 横截面的转角 ，于是： 显然等于C1

任一点的斜率与转角之间的关系为： 挠曲线： 由于： 极其微小 ——转角方程 物理意义： 反应了挠度与转角之间的关系，即挠曲线上任意一点处切线的斜率等于该点处横截面的转角。 结论：由转角方程我们可看出：梁上某点处横截面的转角等于 在该点处的大小。研究梁的变形的关键在于提出 挠曲线方程

5．挠度，转角的正负号规定： 挠度：向下的挠度为正，向上的挠度为负 转角：顺时针的转向为正，逆时针的转向为负 完 目录

§7-2 梁的挠曲线近似微分方程用其积分 （a） .挠曲线近似微分方程（的推导） 在上一章，讨论纯弯曲变形时，得出：梁纯弯曲时轴线的曲率为： §7-2 梁的挠曲线近似微分方程用其积分 .挠曲线近似微分方程（的推导） 在上一章，讨论纯弯曲变形时，得出：梁纯弯曲时轴线的曲率为： （a） 在横力弯曲中，我们知道梁的横截面上的内力除弯矩外，还有剪力，但同时我们又知道：工程上常用的梁，由 于L（跨长）远大于h（横截面高度），剪力的影响很小， 可忽略不计。故我们仍可将其当作纯弯曲梁来处理。有(a)式来表示曲率大小。但由于在横力弯曲中，曲率和弯矩都 是x的函数。故而应写为：

(b) 又： (9-3) ——挠曲线近似微分方程 注:上式之所以称为梁的挠曲线近似微分方程，主要是略去 了剪力的影响和 项的结果。

二.讨论： 从（9-3）式可看到：在等式的右边有一个+号。到底是取正号还是取负呢？ 我们大家都知道，梁变形后的形状，不外乎<a><b>两种。我们现在分别讨论：

<a>:在如图所示的坐标系中，显然 （因为 时，函数 出现极小值）而此时：M<0故，等式的右边应取“—”号， 即： <b>：在如图所示的坐标系中，显然，此时函数出现了极大值 而此时：M>0 故等式的右边应取“—”号，即： 综上所述，得出： ——挠曲线的近似微分方程

三.积分： 对等截面梁来说： 故（9-3）可写成： （9-4） 积分得： （9-5） 由此我们可看出：根据（9-4）（9-5）就可以把某点处截 面的转角和挠度求出来。 但由（9-4）（9-5）我们还看到，有两个积分常数C、D。 如果这两个常数不知道的话，我们还是无从求出 和y。 下面我们还要对C、D进行确定：

四.积分常数的确定： 一般情况下，积分常数可通过梁的支座处的变形条件（称为边界条件或支承条件）或梁的挠曲线的变形连续性条件来确定。 变形条件：所谓变形条件，一般是指梁的支承处的变形特点，如铰支座及连杆支座处的挠度为零。固定端处的挠度为零。见下图： A B A B

2.连续性条件：指梁被载荷分成几段时，我们将分段列出弯矩方程，由于梁的挠曲线是一光滑连续曲线，所以段与段之间连接处的挠度，转角在两段上的数值必须相等。 例如：<b>中c点为AC段与CB段的连接点，则AC段上C点的挠度 ，转角 应该与CB段上C点的 挠度 ， 相等，即： 转角

解： 分别或同时利用上述两种条件就可以将积分常数确定出来。 进行积分求梁的变形方法。 直接积分法：对式 五.举例： 例7-1.图示简支梁受均布载荷作用，载荷集度为q，梁的跨长为L，求梁跨中点C处的挠度与支座A点处的转角。 A B （1）求支反力： 解： 根据对称性，可得：

（2）建立挠曲线微分方程 以梁的左端A为坐标原点建立坐标系如图，则： ——（1） ——（2）

（3）利用边界条件确定积分常数C、D x=0, 得：D=0 x=L, 得： 将C、D代入（1）（2）得： （3） （4） （4） 时，（将 代入（4）式得 ）

将x=0代入（3）得： （5）讨论：如若我们将x=0代入（1）（2），即可得到 、 分别为： （5） （6） 即：一次常数C表示原点的转角与抗弯刚度的乘积 二次常数D表示原点的挠度与抗弯刚度的乘积

从上面可看出：把原点取在简支梁的铰支座上时，二次积分常数 D=0, 这正是因为原点是铰支座，而铰支座处的 挠度为零。 注：这一点可作为一个标准来检验上面积分常数的正确与否，并 且对其它类型的梁也成立。 例7-2.图示一悬臂梁，自由端受一集中力P作用，求自由端B处的 挠度和转角。 解：建立坐标系如图： （1）求支反力 （2）建立挠曲线微分方程

——（a） ——（b） （3）利用边界条件确定积分常数C、D 由x=0, 时 D=0 C=0 ——（c） ——（d） (4) 将X=L代入（c）(d)式得：

（5）讨论： 由上面可看到：由于固定端处的转角和挠度都为零，故C=D=0，即：它也满足例1中得出的结论。 例7-3.图示一简支梁，在梁跨度中点C处作用一个集中力P。求 该跨中点C的挠度及支座A点处横截面的转角。 A B 解：[分析]象这样类型习题的传统 解法是：以A点为原点,建立坐标系 ，分AC段，CB段分别列出弯矩方程 及挠曲线方程，然后根据变形条件 和连续条件确定积分方程。从而求 解，我们的书中用的就是这种解法，但是，我们只要稍微注意一下，就可发现，此梁为一对称结构，因此，我们只需取其一半结构即可得出结果。

取AC段为研究对象： (1)求支反力： 由对称性可得： （2）建立挠曲线微分方程 ——（1） ——（2） （3）利用边界条件确定积分常数C、D

由x=0, 得：D=0 由对称性可得： x=L/2, ，得： 将C、D代入（1）（2）得： （4）求结果： x=0时， x=L/2时，

思考题： 图示一简支梁，在梁中点处作用一个集中力偶Me，求梁跨中点C处的挠度与铰支座A点处的转角及连杆支座B点处的转角。并求梁上最大挠度值。 A B 完 目录

§7-3 用叠加法求梁的变形 .概述： 我们上面所讲的直接积分法是求梁变形的基本方法，但在载荷复杂的情况下，要列多段弯矩方程，从而产生很 §7-3 用叠加法求梁的变形 .概述： 我们上面所讲的直接积分法是求梁变形的基本方法，但在载荷复杂的情况下，要列多段弯矩方程，从而产生很 多的积分常数。运算非常复杂。现在我们将要介绍的叠加法，基本上克服了这一缺点，为工程上常采用的较方便的计算方法之一。 我们在本门课的一开始就曾讲过，材料力学所研究的范围是线弹性范围，变形是小变形，梁的挠度和转角与作 用在梁上的载荷成线性关系。故而当梁同时受几个载荷作用而使梁产生的变形，就等于每一个载荷单独作用下梁产生的变形的代数和。

　　这种用每一个载荷单独作用下梁产生的变形的代数和来代替梁同时受几个载荷共同作用下产生的总变形的方法，我们就称其为叠加法。在用叠加法求梁的变形时，每一个载荷单独作用下产生变形可从本书附录中查到。 二.举例： 例7-4.图示一简支梁受均布载荷及集中力偶作用，试用叠加法求梁跨中点处的挠度和支座处的转角。 A B

A B 解： （1）首先将梁上的载荷分成两种，如下图，并由附录中查得它们单独作用下，跨中处的挠度和支座处的转角为：

(2).进行代数相加，求得：

例7-5.图示，一受载荷的悬臂梁，求自由端A点处的挠度和转角 解：

在分析这种梁的时候，我们把它分成两段来考虑： 由附录中，我们可查得： 由CA段上无载荷，CA段又是自由端，所以CA段梁变形后仍保持直杆，如图所示，由杆件的变形连续条件可知：

思考题 图示，一悬臂梁受集中力作用，试用叠加法求自由端A点处的挠度和转角 完 目录

§7-4 简单静不定梁的解法 .概述 对于静不定梁，一般的解决办法有三种：叠加法，能量法，力法，其中的能量法和力法我们将在以后的几章中介绍，现在我们就用叠加法来解静不定梁。 二.方法： (1).首先将多余约束解除，代之以支座反力，从而使静不定结构 成为静定结构。 (2).根据解除约束处的原来约束性质，即变形特点，列出变形关 系。 (3).利用物理关系得出补充方程 (4).联立求解补充方程与静力平衡关系

三.举例： 例7-10.图示超静定梁上作用均布载荷，集度为q，试求其支座反力并绘出该梁的内力图。 (1).由附表可查得： (a) (b) (2).变形相容条件： 得：

(c) (3).将(a)(b)代入(c)得： 目录

§7-5 梁的刚度校核及提高梁的刚度措施 .刚度条件： 土建工程：以强度为主，一般强度条件满足了，刚度要求也就满足了，因此刚度校核在土建工程中处于从属地位。 机械工程：对二者的要求一般是平等的，在刚度方面对挠度和转角都有一定的限制，如机床中的主轴，挠度过大影响加工精度，轴端转角过大，会使轴承严重磨损。 桥梁工程：挠度过大，机车通过时将会产生很大的振动。

综上所述：在工程设计中，我们有必要对梁的挠度和转角进行限制，对梁的挠度的限制，通常以梁的挠度与跨长的比值 作为标准。 对梁转角的限制，就以梁的容许转角 为标准。 土建工程： 一般要求不大 机械工程： 由以上的分析：可建立刚度条件如下：

二.举例 例7-6.图示一矩形截面的悬臂梁，载荷集度q=10KN/m, L=3m。容 许单位跨度内的挠度值 ，材料的容许正应力 ，弹性模量 截面尺寸比： 求截面尺寸h、b。 矩形横截面 解：[分析]：今后大家一定要注意：在材料力学中，凡是遇到确定截面的问题，决不会超出两个方面，一个是强度条件，另一个是刚度条件，如果已知条件中给了强度容许值，只需要按强度条件来确定就行了，反之只需要按刚度条件确定就行了，若两方面的容许值都给出了，那就必须分别确定，然后进行比较选择.

(1).按强度条件设计： （其中： ） (2).按刚度条件设计： 由附录查得： 代入刚度条件得：

三.提高梁的刚度的措施 综上所述，截面尺寸应按强度条件计算时，刚度条件一定满足。 从附录2的变形计算式中可看出：梁的变形不仅与梁的支承和载荷有关，而且还与梁的材料，截面形状和跨长有关，总的来说，可用下式表示：

完 从上式可发现，当承受的载荷一定时，要想提高梁的弯曲刚度，必须从抗弯刚度和跨长两方面来考虑： 1.增加梁的抗弯刚度： (1).增加E：对钢材来说，E的变化不大，故不常采用。 (2).增加Iz：尽量采用工字钢等型钢，组合截面空心截面。 2．减小梁的跨长： 完 (1).采用外伸梁，从而缩短跨长。 (2).增加支座，从而缩短跨长。 目录

§7-6 梁内的弯曲应变能 A B

图(a)为一横向力作用的梁，我们现在从中取出一微段(b) 进行研究：由于该梁的跨长远远大于截面高度，故两边的剪力可略去不计，又由于 为一阶微量， 相应于 来说，也 所做的功为： 非常微小，故也可略去，故在线弹性范围内， ∵ 又∵ ∴

注：（1）当弯矩方程式在梁的各段中不相同，或抗弯刚度 在梁的各段中不相同时，则上式积分必须分段进行。 （2）注意对称结构。 例7-7.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载 q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和 vmax。 解：

由边界条件： 得： 梁的转角方程和挠曲线方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为：

解： 例7-8：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作 用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。 由边界条件： 得：

梁的转角方程和挠曲线方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为： 例7-9：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力P 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和 vmax。

解： 由边界条件： 得： 由对称条件： 得：

AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为： 例7-10：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、 挠曲线方程，并确定θmax和vmax。

解：由对称性，只考虑半跨梁ACD

由连续条件： 由边界条件： 由对称条件： 1 £ x a q 2 6 11 3 = - qa EI ( ) + ax [

谢 谢 大 家 ! 完 目录 6 11 = - v qa EI a x ( ) 24 44 + q ax [ ] 1 £ x a 2 3 1 £ x a 谢 谢 大 家 ! 完 目录