§1 方程的导出、定解条件 §1.1 弦振动方程的导出 §1.2 定解条件 §1.3 定解问题适定性概念

首先，考察弦横振动这个物理问题(18世纪提出) 物理背景： 波的传播和弹性体振动。 §1.1 弦振动方程的导出 首先，考察弦横振动这个物理问题(18世纪提出) 给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，其长 度为l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振 动，求弦上各点的运动规律。 把实际问题提炼为数学模型时必须做一定的理想化 假设，以便抓住问题的最本质特征。

§1.1 弦振动方程的导出 基本假设： 1. 弦的质量是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。 弦可以视为一条曲线，线密度为常数。 （细弦） 2. 弦在某一个平面内作微小横振动。 弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂 直于该直线的方向上作微小振动。 （微幅） 3. 弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。 弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长 变形与张力的关系服从虎克定律。 （横振动） 基本规律： 牛顿第二定律（冲量定律）

研究对象： 弦线上任意一点在 t 时刻沿y轴上的位移 在右图所示的坐标系，用u(x, t)表示弦 上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。在 这条弦上任意取一弦段(x, x+Δx)，它的 弧长为 ： 由假设3，弦线张力T(x)总是沿着弦在x处的切线方向．由于弦只在垂直x 轴的方向进行横振动，因此可以把弦线的张力T(x)在x轴的方向的分量看成 常数Ｔ。对于图中选取的弦段而言，张力在x轴的垂直方向上的合力为： 假设2和假设3

在时间段(t, t+Δt)内该合力产生的冲量为： 另一方面，在时间段(t, t+Δt)内弦段(x, x+Δx)的动量变化为： 于是由冲量定理： 从而有：

进一步由Δt， Δx 的任意性，有 假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为： 它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：

于是有： 类似地，三维波动方程可以表示为：

简化假设： (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 牛顿运动定律： 横向： 纵向： 其中：

其中： 其中：

令： ………一维波动方程 自由项 ------非齐次方程 忽略重力作用： ------齐次方程

§1.1 弦振动方程的导出 一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述： 弹性杆的纵向振动 管道中气体小扰动的传播等等 非均匀弦的强迫横振动方程 一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述： 弹性杆的纵向振动 管道中气体小扰动的传播等等 因此，一个方程反应的不止是一个物理现象，而是一类问题。

§1.2 定解条件 列出微分方程的目的是要从微分方程中求得具体问题的解或者研究 解的性质。前面我们看到，弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位 移函数u(x, t)所应满足的一般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦 具体运动状况。这是因为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况 有关系，因此对于具体的弦振动问题而言，还需要结合实际问题附加某 些特定条件。 例如: 在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即 u(0, t)=0 ， u(l, t)=0， 这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为 这两个等式称为初始条件。边界条件和初始条件总称为定解条件。把微分 方程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。 对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：

§1.2 定解条件 要在区域 上（见右上图）求上述定解问题的解，就是 要求这样的连续函数u(x, t) ，它在区域0<x<l,t>0中满足波动方程(2.1)；在x 轴上的区间[0,l]上满足初始条件(2.2)；并在边界x=0和x=l上满足边界条件 (2.3)和 (2.4)。 一般称形如(2.3)和(2.4)的边界条件为第一类边界条件，也叫狄利克雷 （Dirichlet）边界条件。

§1.2 定解条件 1、初始条件——描述系统的初始状态 波动方程的初始条件 系统各点的初位移 系统各点的初速度

2、边界条件——描述系统在边界上的状况 波动方程的三类边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为： 或： 狄利克雷（Dirichlet）边界条件 (2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。 诺依曼（Neumann）边界条件 (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。 或

§1.2 定解条件 同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。 初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。

§1.3 定解问题适定性概念 定解问题 把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。 (1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。 定解问题的检验 解的存在性：定解问题是否有解； 解的唯一性：是否只有一解； 解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。

§1.3 定解问题适定性概念 定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适 定性。如果一个定解问题的解是存在的，唯一的，而且是稳定 的，我们就称这个问题是适定的，即认为这样的定解问题的提 法是合适的。对定解问题的适定性进行一定的分析，可以帮助 我们初步判定所归结的定解问题是否合理、所附加的定解条件 是否合适以及对一个偏微分方程应该如何指定定解条件等问题 ，同时也可以对求解定解问题起到一定的指导作用。 除了研究定解问题的适定性外，数理方程中还经常研究的 问题包括：解的正则性（光滑性）、解的渐近性（包括衰减性 ）和定解问题的求解方法（精确解、渐近解、数值解）等。

§2 达朗贝尔公式、波的传播 §2.1 叠加原理 §2.2 弦振动方程的达朗贝尔解法 §2.3 传播波 §2 达朗贝尔公式、波的传播 §2.1 叠加原理 §2.2 弦振动方程的达朗贝尔解法 §2.3 传播波 §2.4 依赖区间、决定区域和影响区域 §2.5 齐次化原理

§2.1 叠加原理 从本节开始我们讨论弦振动方程的各类定解问题。在此 之前，先介绍叠加原理 在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的 综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不 存在）产生的效果的累加。这就是叠加原理。 典型例子： 力和加速度的关系，万有引力场的可叠加性 复杂的声音——各种单音的叠加 电磁场中的叠加原理

线性方程都满足叠加原理 例如：若u1(x, t)是方程 的解， 而u2(x, t)是方程 的解， 则对于任意的常数C1、C2，函数 是方程 的解。 因此，弦振动方程满足叠加原理 线性方程都满足叠加原理

线性方程解（线性系统）具有叠加特性 几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)

§2.2 弦振动方程的达朗贝尔解法 先从最简单的情形入手，即首先考察边界的影响可以忽略不计的情 况（如果所考察的物体（弦线）长度很长，而我们所关注的又只是在 较短时间内且距离边界较远的一段范围中的运动情况，那么边界条件 的影响就可以忽略，并不妨把所考察的物体的长度视为无限长）。这 样的情况下，定解问题归结为如下形式： 这个定解问题中，定解条件只有初始条件，故通常称为初值问题 (也称柯西（Cauchy）问题）。相应地，前一节中的定解问题 (1.1)~(1.4)由于既有初始条件，又有边界条件，故称为初边值问题或混 合问题。 方程(1.5)中的自由项f(x,t)是由于外力作用产生的，因此方程(1.5)中f(x,t)恒为零的情况对应于自由振动；f(x,t)不为零的情况对应于强迫振动。

下面，我们求解上述初值问题。首先注意到微分方程及定解条件都 是线性的。对于这种定解问题，同样存在叠加原理，即若u1(x, t)和u2(x, t)分别是下述初值问题 单独初始振动状态对 振动过程的影响。 和 单独考虑外力因素对 振动过程的影响。 的解，那么u=u1(x, t)+u2(x, t)就一定是原初值问题(1.5)、(1.6)的解(证明 作为课后习题)。这样求解初值问题(1.5)、(1.6)就转化为分别求解齐次 方程带非齐次边界条件的初值问题(I)和非齐次方程带齐次初始条件的 初值问题(II)

首先，我们考察代表自由振动情况的初值问题(I)，它可以通过自变 量变换的方法求解。引如新自变量：ξ=x-at， η=x+at。利用复合函数求导 的法则，有 类似地， 从而，方程(1.7)就化为 ，这个方程可以直接求解。把它关于η积分 一次，再关于ξ积分一次，就可以得到它的通解为u(ξ,η)=F(ξ)+G(η)，其中， F和G是任意两个可微分的单变量函数。代回原来的自变量，方程(1.7)的通 解表示为u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)。

利用这个通解表达式，就可以利用初始条件(1. 8)来决定函数F和G， 进而求出初值问题(I)的解。把上述通解表达式代入初始条件(1 (1.12)式是一个简单的常微分方程，求解它得到 由(1.11)和(1.13)式联立求解可以得出函数F和G 把它们代入方程(1.7)的通解表达式就得到了初值问题(I)的解

这个公式(1.14)称为达朗贝尔公式。从以上推导过程可以看出：如果 初值问题(I) 有解，则解一定可以根据初始条件由达朗贝尔公式表达出来， 因此该问题的解是唯一的。唯一性 同时，若函数φ(x)在求解区域内具有二阶连续偏导数，ψ(x)在求解区 域内具有一阶连续偏导数，那么可以验证公式(1.14)给出的的确是初值问 题(I)的解。存在性 另外，初值问题(I)的解关于初始条件的连续依赖性也可以很容易地 从达朗贝尔公式中看出。稳定性

§2.3 传播波 由前文中推导可见，自由振动情况下的波动方程的解可以表示为形 如F(x-at)和G(x+at)的两个函数的和。由此可以特别清楚地看出波动传播 的性质。 考察ũ(x,t)=F(x-at) (a>0)，显然它是齐次波动方程的解。给出不同的t 值就可以看出作一维振动的物体在各个时刻的相应位置。 如右图所示，在t=0时， ũ(x,0)=F(x)，它对应 于初始振动状态（弦在初始时刻各点位移状态）。 经过时刻t0后， ũ(x,t0)=F(x-at0)，在(x,u)平面上 ， 它相当于原来的图形向右平移了一段距离at0。这 说明振动的波形以常速度a向右传播。因此，齐次 波动方程的形如F(x-at)的解所描述的运动规律称 为右传播波，同样形如G(x+at)的解称为左传播波。 并且，我们知道了方程(1.5)中的常数a实际上表示 了波动的传播速度。（行波法）

换一个角度看波的传播 a. 只有初始位移时， 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波 b. 只有初始速度时： 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0 结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。

例2 在上述问题中，初值条件为 -2 2 1 试说明其解的物理意义。

由达朗贝尔公式有 可见右行波与左行波分别为 于是右行波与左行波的波形均为 随着时间的推移，其波形如图所示：

-2 -4 2 4 1 -2 2 4 1 -4 1 2 -2 -4 4 2

1 2 -2 -4 4 1 2 -2 -4 4 1 2 -2 -4 4

小结——行波法 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 关键步骤： 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。 适用范围： 无界域内波动方程，等…

行波法 一维波动方程的达朗贝尔公式

4 解的物理意义 a. 只有初始位移时， 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波 b. 只有初始速度时： 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0 结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。

§2.4 依赖区间、决定区域和影响区域 看达朗贝尔公式，回答下面三个问题： （1） ，即在(x, t)处函数值由哪些初值决定？进一步 §2.4 依赖区间、决定区域和影响区域 看达朗贝尔公式，回答下面三个问题： （1） ，即在(x, t)处函数值由哪些初值决定？进一步 由x轴上哪些点对应的初值决定？ 答：由区间[x-at, x+at]上的初值决定。将此区间称为点(x, t) 的依赖区间。

进一步分析：方程的特征线为 过(x, t)的两条特征线与x轴的 交点正好是x-at和x+at. 如图 （2）区间 上的初值都能 特征线， 斜率1/a 特征线 过(x, t)的两条特征线与x轴的 交点正好是x-at和x+at. 如图 （2）区间 上的初值都能 确定哪些点处的函数值？ 依赖区间 决定区域 答：过 和 分别作斜率 为 和 的两条直线，与x 轴围成的三角形区域内任一点的 函数值都可由 上的初值决 定。 称此区域为 的决定域。

（3）区间 上的初值都能影响到哪些点处的函数值？ （3）区间 上的初值都能影响到哪些点处的函数值？ 答：过 和 分别作斜率为 和 的两条直线，与x轴围成的无界区域内任一点的函数值都能受到 上的初值的影响。 称此区域为 的影响域。 影响区域 影响区域 一点的影响域如右图

重要结论 在前面的讨论中，我们看到在(x,t)平面上 斜率为1/a的直线x=x0-at和x=x0+at对波动方程 的研究起着重要作用，它们称为波动方程的特 征线。 我们看到，扰动实际上沿特征线传播。扰 动以有限速率传播，是弦振动方程的一个重要 特点。

例：利用行波法来讨论一端固定的半无界弦的自由振动问题 为了求解此问题，我们可以设想在x=0的左侧仍然有弦存在,只是在振 动过程中x=0点始终不动。问题于是转化为：如何将x>0上已知的初始函 数延拓为整个直线-∞<x<+∞上的函数，并使得用延拓后的函数作初值的柯 西问题的解在x=0点恒为零。 记Φ(x)及Ψ(x)是由φ(x)和ψ(x)分别延拓而得到的函数。由达朗贝尔公 式，以Φ(x)及Ψ(x)为初值的柯西问题的解为

要使U(x,t)在x=0点恒为零，就应当成立 为此只需要将φ(x)和ψ(x)分别作奇延拓就可以满足上式，也就是说，令 于是将上面定义的Φ(x)及Ψ(x)的表达式代入(1.15)式即得到问题的解

不能用达朗贝尔公式 §2.5 齐次化原理 考虑非齐次问题 可分解成如下两个问题 用达朗贝尔公式求解 和 如何求解？用齐次化原理

齐次化原理的物理背景

齐次化原理（Duhamel原理） （以一维弦振动为例）

例1：求解下列初值问题： 解：由如上公式，有

§3 初边值问题的分离变量法 §3.1 分离变量法 §3.2 解的物理意义 §3.3 非齐次方程的情形 §3.4 非齐次边界条件的情形

§3.1 分离变量法 本节进一步考察波动方程的初边值问题，并介绍一种常用 的解法—分离变量法。首先考察波动方程的初边值问题：

利用叠加原理，上述初边值问题可以分解为下面两个 初边值问题： 与上一节中一样，关键是求解问题(Ⅰ)，因为问题(Ⅱ)可以运用 齐次化原理归结为问题(Ⅰ)的求解。

两个频率、振幅相同的声波相反方向传播时，若满足驻波条件，也能形成驻波。 如果两列相干波（频率相同、振动方向相同、相位差恒定的简谐波）在同一直线上沿相反方向传播，会形成一种特殊的干涉现象叫做驻波。在空间的某一些点，介质质点不运动，而另一些点，介质质点运动的幅度最大；每一点的运动状态与紧挨着的下一个点的运动状态好像是无关的。我们把这种不向前传播的波动叫做驻波，不运动的点叫做波节，振幅最大的点叫做波腹。 波由波疏介质垂直入射到波密介质界面上反射时，有半波损失，界面处为合成驻波的波节，这样的反射称为半波反射；而当波由波密介质垂直入射到波疏介质界面上反射时，无半波损失，界面处为合成驻波的波腹，这种反射叫做全波反射。 两个频率、振幅相同的声波相反方向传播时，若满足驻波条件，也能形成驻波。 为了对方程进行分离变量，我们先分析驻波在传播中的真实形状。 如果选定一个坐标轴的话，他表示某时刻各点处的位移分布，实验表明， 驻波在不同时刻各点的位移按同一比例增减！

二阶线性常微分方程 称为该问题的固有值（特征值） 使该问题有非零解 称为它的固有函数 相应的非零解

固有函数 固有值

由叠加原理 由初始条件

前面的推导说明了初边值问题(Ⅰ)如果有解，那么它的解可以表示为 (2 前面的推导说明了初边值问题(Ⅰ)如果有解，那么它的解可以表示为 (2.24)式的级数形式，现在的问题是：什么条件下，初边值问题(Ⅰ)的解 一定存在？ 定理：若函数φ(x)在求解区域内具有三阶连续偏导数，ψ(x)在求解区域 内具有二阶连续偏导数，并且 则弦振动方程的初边值问题(Ⅰ)的解是存在的，它可以由级数(2.24)给出， Ak和Bk 由(2.25)式确定。通常我们称(2.25)式为相容性条件。 如果φ(x)和ψ(x)不满足以上定理的条件，我们可以把φ(x)和ψ(x)看成函数 列 的平均收敛极限，当n很大时，因为方程和边界条件都已满足，初始条 件也近似得到了满足，由此可以把un(x,t)看成问题的近似解。

基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。 特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。 适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等

§3.2 解的物理意义 由级数(2.25)可知，初边值问题(Ⅰ)的解是 的叠加，上式又可以写成 §3.2 解的物理意义 由级数(2.25)可知，初边值问题(Ⅰ)的解是 的叠加，上式又可以写成 物理上，Nk称为波的振幅，θk称为波的初相位，ωk称为圆频率，它只与 弦本身的性质有关，因此也称为固有频率。

由此可见，初边值问题(Ⅰ)的解是由一系列频率成倍增长，且相位 不同、振幅不同的驻波叠加而成的，所以分离变量法又称为驻波法。 于是(2.27)代表这样的振动波：在所考虑的弦上各点均以同一频率作简谐振动； 它们的相位相同，而振幅依赖于点x的位置。弦上位于x＝ml/k（m＝0，1，…， k）处的点在振动过程中保持不动，称为节点。弦的这种振动状态叫做驻波。 由此可见，初边值问题(Ⅰ)的解是由一系列频率成倍增长，且相位 不同、振幅不同的驻波叠加而成的，所以分离变量法又称为驻波法。 弦所发出的声音，其音调由其振动频率决定，而声音的强度则决定 于振动的振幅。弦所能发出的最低音所对应的圆频率就是其最低固有频 率ω1 ＝πa/l，这个音称为弦的基音。其余的圆频率是ω1 的整数倍，称为 泛音。通常弦所发出的声音即由基音和泛音叠加而成，物理上这一事实 与分离变量法得到的结果是相符的。

§3.3 非齐次方程的情形 现在讨论非齐次方程的初边值问题

与前一节中非齐次波动方程初值问题的情形完全类似，此时也成立 着如下的齐次化原理。若W(x,t;τ)是初边值问题 的解(其中τ是参数)，则初边值问题(II)的解可以表示为 为了写出W(x,t;τ)的具体表达式，在初值问题(2.28)中作变换t‘=t-τ，于 是有

(2.29)与和初边值问题(Ⅰ) 属于同一类，直接利用前面分离变量法的结 果我们得到： 于是根据齐次化原理，初边值问题(II)的解为 可以证明，在f(x,t)二阶连续可导，且在边界满足f(0,t)= f(l,t)=0的假设下， 上面的级数确实是初边值问题(II)的解。

§3.4 非齐次边界条件的情形 最后讨论弦振动方程具有中齐次边界条件的初边值问题，即 §3.4 非齐次边界条件的情形 最后讨论弦振动方程具有中齐次边界条件的初边值问题，即 假设连续性条件和边界 取值条件满足 利用叠加原理，这一问题可以分解为初边值问题(I)、(II)和下面的

初边值问题(III)也可以归结为初边值问题(I)和(II)求解，为此只要通过未知函数的适当变换把边界条件齐次化即可。首先找到一个满足非齐次边界条件的已知函数 在作变换V=u3-U，对于新未知函数V，很容易推知它是以下定解问题的解 初边值问题(III) 的解

课后作业：题2，Page23。

例1求下列定解问题 解：

初始条件

若l=1,a=10时的震动。

例2 求下列定解问题 解：