大学物理（2） 总学时：48

第四篇 电磁学 物理学的重要组成部分 电工技术的理论基础

教学内容 新的学期，新的开始 第9章 电荷与真空中的静电场 （12学时） 第11章 恒定电流与真空中的恒定磁场（15学时） 第9章 电荷与真空中的静电场 （12学时） 第11章 恒定电流与真空中的恒定磁场（15学时） 第13章 电磁场与麦克斯韦方程组 （6学时） 第17章 量子力学简介 （3学时） 第10章导体与电介质中的静电场和第12章磁介质中的恒定磁场 （简单介绍） 总复习（学时若干） 新的学期，新的开始

09级本科大学物理(2)习题课安排 09级本科大学物理(2)答疑安排 时间 地点 内容 教师 第10周11月10日（周三）14:30-16:30 2300　 静电场 吕福和 第12周11月24日（周三）14:30-16:30 期中复习 徐志华 第19周1月12日（周三）14:30-16:30 期末总复习 王玉 09级本科大学物理(2)答疑安排 第10周11月9日（周二）16:00-18:00 综合楼809 平时答疑 高路 第11周11月16日（周二）16:00-18:00 贾佑华 第12周11月23日（周二）16:00-18:00 第13周11月30日（周二）16:00-18:00 期中答疑 滕琴、贾佑华 第14周12月7日（周二）16:00-18:00 第15周12月14日（周二）16:00-18:00 第16周12月21日（周二）16:00-18:00 滕琴 第17周12月28日（周二）16:00-18:00 第18周1月4日（周二）16:00-18:00 第19周1月11日（周二）16:00-18:00 期末答疑 滕琴、徐成年

电磁学(electromagnetics)研究对象 电磁相互作用及其运动规律 主要特点: 研究对象不再是分离的实物, 而是连续分布的场, 用空间函数(如 等)描述其性质. 静电场 恒定磁场 变化中的电磁场 电磁学

第 9 章 电荷与真空中的电场 背景图取之http://hiphotos.baidu.com/%BF%B4%C8K%DD%AD%C7a%BC%A4%B6%AF/pic/item/c64d6212dc02a9255baf5345.jpeg

人体内为什么有此图？ 曲线意义何在？ 有什么规律？ 与它带电的多少有关 与物体电荷的分布有关

本章作业和重点例题 作业： 9.6，9.12 9.13，9.18，9.19 9.15，9.16，9.20，9.21 例题： 9-1，9-3 9-5，9-6 9-8，9-9

本章重点：

- - 第9章 电荷与真空中的电场 + + §9.1 电荷 库仑定律 电子对湮灭 9.1.1 电荷的量子化 第9章 电荷与真空中的电场 + - §9.1 电荷 库仑定律 电子对湮灭 9.1.1 电荷的量子化 1、电荷(electric charge): 重原子核 + - 物质所带的电物质的固有属性. 自然界中存在着两种不同性质的电荷, 一种称为正电荷, 另一种称为负电荷. 电子对产生 电荷相对论不变性 基本电荷量: 电荷为Q 物体带电均为电子电量的整数倍, + + 电荷为Q 9.1.2 电荷守恒定律 电绝缘系统中,电荷的代数和保持常量.

点电荷系对某点电荷的作用等于系内各点电荷单独存在时对该电荷作用的矢量和. （万有引力定律 形式相似。） 9.1.3 真空中库仑定律 1.点电荷: 线度«距离时,带电体可视为带电的“点”. 2.库仑定律： 3.电力的叠加原理 点电荷系对某点电荷的作用等于系内各点电荷单独存在时对该电荷作用的矢量和. （万有引力定律 形式相似。） 矢量式: 对连续分布带电体, 选取电荷元(elementary charge) dq r Q 真空中的介电常数: 作用范围: 目前认为在10-15m ~ 107m

( ) 例9-1.在氢原子中，电子与质子的距离约为5.310-11m.求它们之间的万有引力和静电力. §9.2 电场与电场强度 §9.2 电场与电场强度 9.2.1 电场(electric field) 1.“场”的提出 （已知： M =1.6710-27 kg , G = 6.6710-11 N·m2·kg-2， m = 9.1110-31 kg） 牛顿: “超距”作用. （17世纪） 笛卡尔: 靠“以太”传递. 解: ( ) N r e F o 8 2 11 12 19 10 23 . 3 5 85 4 6 1 - ´ = p pe 法拉第: 提出“场”的概念. 麦克斯韦: 建立电磁场方程, 定量描述场的性质和场运动规律. （19 世纪） 电荷 电场 电荷 电场(electric field): 电荷周围存在着的一种特殊物质.

1.超距作用—牛顿 超距作用是指物理学历史上出现的一种观点。它认为（至少在早期）：相隔一定距离的两个物体之间存在直接的、瞬时的相互作用，不需要任何媒质传递，也不需要任何传递时间。

牛顿 艾萨克·牛顿（Isaac Newton）是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，其研究领域包括了物理学、数学、天文学、神学、自然哲学和炼金术。牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。为了纪念牛顿在经典力学方面的杰出成就，“牛顿”后来成为衡量力的大小的物理单位。

2.以太论--笛卡儿 以太（ether):希腊语是上层神仙呼吸的空气的意思，即表示占据天体空间的物质。 以太论：17世纪的笛卡儿是一个对科学思想的发展有重大影响的哲学家，他最先将以太引入科学，并赋予它某种力学性质。认为物体之间的所有作用力都是近距作用，两个远离物体之间的作用力必须通过某种中间媒介物质传递，不存在任何超距作用。这种中间媒质被称为以太，因此，空间不可能是空无所有的，它被以太这种媒介物质所充满。以太虽然不能为人的感官所感觉，但却能传递力的作用，如磁力和月球对潮汐的作用力。 当时的大多数自然哲学家认为超距作用带有神秘的色彩，而倾向于近距作用观点。

笛卡尔 勒奈·笛卡尔（Rene escartes）,1596年3月31日生于法国都兰城。笛卡尔是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家。解析几何的创始人。笛卡儿是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”。他自成体系，熔唯物主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生了深远的影响。同时，他又是一位勇于探索的科学家，他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。笛卡儿堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。

以太的其它含义 电影文学 以太这个词在电影《关于莉莉周的一切》里面，被赋予新的定义 ，以太被认为是莉莉周赋予大家的空间，无处不感受到。每个人都有自己独特的以太内心世界。 《关于莉莉周的一切》（日语：リリイ?シュシュのすべて；英文：All About Lily Chou-Chou），是日本知名导演岩井俊二2001年的作品。曾以《豆蔻年华》为名在第六届上海国际电影电视节放映。从2000年4月开始，岩井花费三个月的时间，以网络论坛的人群交际为题材，写下了名为《关于莉莉周的一切》的长篇小说。据说岩井主要是从自己的主页——“圆都”里得到的灵感，他经常在“圆都通信”这个BBS里化身普通ID参与并观察着网络世界，小说的第一章到第六章，全部是用各个论坛的帖子组合而成，改编成电影时，岩井也大量使用了网络上的真实事件。

2. 媒质 古希腊 哲学家首先设想出来的一种媒质。十七世纪后，物理学家为解释光的传播以及电磁和引力相互作用而又重新提出。当时认为光是一种机械的弹性波，但由于它可以通过真空传播，因此必须假设存在一种尚未为实验发现的以太作为传播光的媒质。这种媒质是无所不在的，没有质量的，而且是“绝对静止”的，电磁和引力作用则是它的特殊机械作用。 以太这一概念到十九世纪曾为人们所普遍接受，但科学家始终无法通过实验来证明它的存在。到了二十世纪初，随着相对论的建立和对场的进一步研究，确定光的传播和一切相互作用的传递都通过各种场，而不是通过机械媒质，以太才作为一个陈旧的概念而被抛弃.

3. 近代哲学 康有为 、 谭嗣同 、 孙中山 等使用的哲学名词，是物理学名词的借用。 康有为 在《孟子微》中把以太与“仁”、“不忍人之心”等道德观念等同起来。 谭嗣同 在《仁学》、《以太说》中既把以太说成宇宙间无所不在的无色、无声、无臭的物质，但同时又作了种种精神性的解释，把 孔子 的“仁”、“元”、“性”， 墨家 的“兼爱”，佛家的“慈悲”，基督的“灵魂”等，都看作是以太的作用。 孙中山 则在《孙文学说》中把以太看作物质世界的本源，认为它“动而生电子，电子凝而成元素，元素合而成物质，物质聚而成地球”，并不具有精神性质。 虽然我们可以看到光，但是却从来没有人能直接看到以太，而只能用间接的方法来确定。当然，即使是间接的方法，只要能用观测仪器确实测定，仍然可以视为以太存在的证据 。 4. 能量/魔法 一般，在具有欧洲文化风格的游戏中，经常出现“以太”这个名词，它一般是指能量的意思。例如：以魔法与科学并存的庞大世界观而出名的日本游戏《最终幻想》系列。 在游戏中以太代表能量或者魔法的意思，以此类推；以太药剂通常指的就是能量药剂或是魔法药水的意思。

超距与以太之争 超距和近距两种对立观点在18世纪初争论十分激烈。法国的笛卡儿主义者在反对超距作用的同时，不恰当地否认了引力的平方反比定律，这就引起一些年轻的牛顿追随者起来捍卫牛顿的学说，并强烈地反对包括以太在内的全部笛卡儿观念。 1713年牛顿的著作《自然哲学的数学原理》第二版问世，牛顿的追随者R.科茨写了一篇序言，从哲学方法上推崇牛顿学说的意义，并花了很大的篇幅攻击以太论。这篇序言把牛顿的引力定律看作是超距作用的典范（虽然他没有使用“超距作用”一词），并把它说成是实验事实的唯一概括。 由于引力定律说明太阳系内星体的运动获得极大的成功,而探索以太并未获得实际结果,超距作用观点得以流行开来。拉格朗日、拉普拉斯和泊松等人从引力定律发展出数学上简单而优美的势论，更为有利地支持了超距作用的观点。于是，超距作用观点盛行起来，并被移植到物理学的其他领域，早期的电磁理论也是超距作用理论。整个18世纪和19世纪的大半，超距作用观点在物理学中居统治地位。

3.场---法拉第、麦克斯韦的观点 19世纪30～40年代，M.法拉第对于电磁现象的实验研究作出了卓越的贡献。法拉第反对超距作用观点，并对之进行批判。他用“力线”描述磁极之间和带电体之间的相互作用，指出这些力线在空间是一些曲线而不是直线，因此，电的或磁的相互作用就不会是超距作用所想象的那种直接作用；他认为电力的作用不可能是超越距离的直接作用，同样的效应在磁现象中也发生；他还根据他所发现的电磁感应现象(1831)指出，仅有导线的运动事实不足以产生电流，磁铁的周围必定存在某种“状态”，导线就是在其区域内移动才产生感应电流；他相信光和电磁现象有某种联系，他甚至猜测磁效应的传播速度可能与光的速度有相同的量级。 法拉第的“力线”思想及[1]开尔文将电磁“力线”同流体流动所作的数学类比深深地打动了年轻的J.C.麦克斯韦。1856～1865年，他致力于将全部已知的电磁现象概括为统一的理论，得到了今天成为电磁学基础的数学方程组，并由此推论得出存在以有限速度传播的电磁波，其波速就是光速。1887年，H.R.赫兹完成了观察电磁波的著名实验，确认了麦克斯韦电磁理论的正确性；1898年A.M.李纳和E.维谢尔分别提出了推迟势，为电磁作用以有限速度传播找到了确切的表示。至此，超距作用观点在电磁学领域内已为多数物理学家所抛弃。

迈克尔·法拉第 力场改变人类文明 迈克尔·法拉第（Michael Faraday，公元1791～公元1867）英国物理学家、化学家，也是著名的自学成才的科学家。生于萨里郡纽因顿一个贫苦铁匠家庭。仅上过小学。1831年，他作出了关于力场的关键性突破，永远改变了人类文明。1815年5月回到皇家研究所在戴维指导下进行化学研究。1824年1月当选皇家学会会员（33岁），1825年2月任皇家研究所实验室主任（34岁），1833----1862任皇家研究所化学教授。1846年荣获伦福德奖章和皇家勋章（45岁）。

麦克斯韦 詹姆斯•克拉克•麦克斯韦是继法拉第之后集电磁学大成的伟大科学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡。10岁时进入爱丁堡中学学习。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理。1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习，1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授。于1873年出版了电磁场理论的经典巨著《电磁学通论》，1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什试验物理学教授，负责筹建卡文迪许实验室，1874年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到1879年11月5日在剑桥逝世。

9.2.2 电场强度(electric field intensity) 方向: 与 +q0受力方向相同. ——描述电场大小、方向的物理量。 单位: N  C-1 或 Vm-1 源电荷Q: 产生电场的点电荷、点电荷系、或带电体. 9.2.3 点电荷与点电荷系的 电场强度 试验电荷q: 电量足够小的点电荷. 1. 点电荷的电场强度 略去对场源电 荷分布的影响 与场点 对应 由库仑定律,试验电荷受力为: 试验电荷q0在电场中P点所受的力 , 同试验电荷电量之比为P点的电场强度, 即: Q （1）都是客观存在的, 不以人的意志为转移; 是可知的，能够为人们的意识所反映； 与实物的多样性一样，场的存在形式也是多样的； 如电磁场，引力场，核场等. (3) 场也与实物一样具有质量、能量、动量和角动量； (4) 与实物一样，在场内进行的物理过程也遵循质量守 恒、能量守恒、动量守恒和角动量守恒等规律； (5) 与实物一样，场也不能创生、不难消灭，只能由一 种形式转变为另一种形式. 大小：等于单位试验电荷在该 点所受电场力.

点电荷系的电场强度叠加原理---点电荷系电场中某点总场强等于各点电荷单独存在时在该点产生的场强矢量和. 2. 点电荷系的电场强度 由静电场力叠加原理 讨论: 反映电场本身的性质, 与试验电荷无关. 电场强度是点函数 静电场 均匀电场: 电场强度在某一区域内大小, 方向都相同. 点电荷系的电场强度叠加原理---点电荷系电场中某点总场强等于各点电荷单独存在时在该点产生的场强矢量和. 电场中电荷受力:

3. 连续带电体的电场强度—（*积分五步走*） 9.2.4 电场强度的计算 1. 点电荷的电场—套用公式 1）建立直角坐标 2）取电荷元： 3）写dE： 2. 点电荷系电场---矢量叠加 4）分解到对称轴方向: 3. 连续带电体电场—积分法 5）积分：

P9 例9-2.求电偶极子的电场.（点电荷系） 电偶极子(electric dipole):相距很近的等量异号电荷. (2) 中垂面上B的场强 电偶极矩(electric moment):描述电偶极子大小的物理量. (1) 轴线延长线上A的场强

例9-3.求长度为l 、电荷线密度为的均匀带电直细棒周围空间的电场. 统一变量： 解：（1）建立坐标系：O-xy x （2）取电荷元： （3）写： dq （5）积分： （4）矢量分解：

讨论： 1) 棒延长线上一点 ,以 为原点,x沿棒向下. 点电荷场强 理想模型:无限长带电直线场强公式 2) 对靠近直线场点: dq P b 讨论： 1) 棒延长线上一点 ,以 为原点,x沿棒向下. 点电荷场强 理想模型:无限长带电直线场强公式 2) 对靠近直线场点: a ＜＜ 棒长 ——无限长带电直线

P12 例9-3. 求半径为R , 带电量为q的均匀带电细圆环轴线上的电场. 解：（1）建立坐标系； （2）在圆环上取电荷元dq （5）积分 （3）写 （4）分解：各电荷元在P点 方向不同，分布于一个圆锥面上. 由对称性可知，只有沿对称轴反向分量有贡献，垂直于轴向相互抵消，即：

pp13例9-4. 均匀带电圆平面的电场(电荷面密度). 叠加原理: 圆盘 可看作由许多均 匀带电圆环组成. r O P x 解: 任取半径为r的圆环 由上题结果, 得 讨论： 1. 环心处 2. 处E有极大值。 3. 令 ,

§9.3 电通量 真空中静电场的 高斯定理 讨论: 9.3.1 电场线(electric field lines) 1. x→0，或 R→∞时， 电场线: 电场中带有方向的曲线. 1. 有头有尾，起始于正电荷，终止于负电荷； ——无限大带电平面的电场 2. x＞＞R 时, 想一想 2. 其上每点切向: 该点 方向; 3. 通过垂直 的单位面积的条数等于场强的大小. —— 简化为点电荷场强

平板电容器中的电场线 正点电荷的电场线: + 电偶极子的电场线 一对正电荷的电场线

静电场中电场线的特点： 面积元矢量: 1. 电场线起始于正电荷, 终止于负电荷. 定义: 通过面积元的电通量为: 2. 电场线不闭合, 不相交. 3. 电场线密集处电场强, 电场线稀疏处电场弱. 通过面积S的电通量为： 9.3.2 电通量 通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过该面的电通量(electric flux). 显然， 1.

2. 通过均匀电场一平面的电通量 练习1:空间有点电荷q , 求下列情 况下穿过曲面的电通量. (1) 曲面以电荷为中心的球面 θ S θ (1) 曲面以电荷为中心的球面 (2) 曲面包围电荷任意封闭曲面 (3) 曲面不包围电荷任意封闭曲面 解: (1) 曲面为以电荷为中心的球面 + - 3. 通过封闭曲面的电通量 S 规定：封闭曲面外法向为正. 穿入: 穿出: 结果与 r 无关

练习2：空间有点电荷q1,q2,…qn , 求穿过空间任意封闭曲面S的电通量. (2) 曲面包围电荷的任意封闭曲面 练习2：空间有点电荷q1,q2,…qn , 求穿过空间任意封闭曲面S的电通量. 曲面上各点处电场强度： 包括S内、S外, 所有电荷的贡献. 穿过S面的电通量： (3) 曲面不包围电荷任意封闭曲面 结论: +‥‥ =

9.3.3 真空中静电场的高斯定理 只有S内电荷有贡献. 真空中静电场内, 通过任意封闭曲面(高斯面)的电通量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的 倍: 2. 揭示了静电场中“场”和“源”的关系 —— 电场线有头有尾 静电场的重要性质之一: —— 静电场是有源场 3. 利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场 讨论： 1. 式中各项的含义 成立条件: 静电场 S: 封闭曲面——高斯面； 求解条件: 分布具有对称性 : 总场, S内外所有电荷均有 贡献; 选择恰当的高斯面, 使 中的 以标量形式提到积分号外, 从而简便地求出 分布. ——真空电容率(介电常数) : S内的净电荷;

S 当场源电荷分布具有某种对称性时, 应用高斯定理, 选取适当的高斯面, 使面积分： 均匀带电细棒 即可求出场强. 常见场源电荷分布类型： 球对称性（均匀带电球面、球体、同心球面等） 轴对称性（无限长带电直线、圆筒、圆柱） 面对称性（无限大平板） 均匀带电球壳 均匀带电无限大平板

例9-6. 求电量为Q 、半径为R的均匀带电球面的场强分布. 源球对称 场球对称 选高斯面 R R O E

作以O为中心, r为半径的球形面S, S 面上各点 E 彼此等价, 方向沿径向. 以S为高斯面: 例9-7. 求均匀带电球体(q、R)的电场分布. R 解：对称性分析 作以O为中心, r为半径的球形面S, S 面上各点 E 彼此等价, 方向沿径向. 以S为高斯面: 令

1. 求均匀带电球面(R, q)的电场分布, 并画出 E ~ r 曲线. 解: 选一半径为r 的球形高斯面S 练习 3. 计算带电球层(R1, R2, )的电场分布. 1. 求均匀带电球面(R, q)的电场分布, 并画出 E ~ r 曲线. 解: 选一半径为r 的球形高斯面S S r 由高斯定理 2. 如何理解带电球面r=R处E值突变? 带电面上场强 E 突变是采用面模型的结果, 实际计算带电层内及其附近的准确场强时, 应放弃面模型而还其体密度分布的本来面目.

P点处合场强垂直于带电直线, 与P 地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面. 例9-8. 求无限长均匀带电直线()的电场. 高斯面: 取长 L 的圆柱面, 加上底、下底构成高斯面S . = = 由高斯定理 对称性分析： P点处合场强垂直于带电直线, 与P 地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面.

当带电直线, 柱面, 柱体不能视为无限长时, 能否用高斯定理求电场分布? 练习 高 斯 面 r l 1. 无限长均匀带电柱面的电场分布？ 当带电直线, 柱面, 柱体不能视为无限长时, 能否用高斯定理求电场分布? 高 斯 面 l r 对称性分析: 视为无限长均匀带电直线的集合.选同轴圆柱型高斯面，由高斯定理计算：

σ 例9-9.求无限大均匀带电平面的电场 (电荷面密度). S 根据高斯定理 对称性分析： 方向垂直于带电平面, 离带电平面距离相等的场点彼此等价. 选择圆柱体表面为高斯面, 如图: 得 均匀电场其方向由σ的符号决定 =

静电力做功只与检验电荷起点, 终点的位置有关, 与所通过的路径无关. §9.4 静电力的功 真空中静电场的环路定理 9.4.1 静电力的功 静电力做功只与检验电荷起点, 终点的位置有关, 与所通过的路径无关. 此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场. 9.4.2 环路定理 (circuital theorem of electrostatic field) 静电力做功只与检验电荷起始位置有关, 与所通过的路径无关 —— 静电力是保守力. ∵ ∴

9.5.1 电势能(electric potential energy) 电势能的单位: 焦耳(J) 势能具有相对性, 若令 得 静电场环路定理: 静电场强沿任意闭合路径的线积分为零. 约定: 一般选取无穷远处电势能为零, 结论: 静电场是有势场. 9.5 电势 9.5.1 电势能(electric potential energy) 电势能的单位: 焦耳(J) Wp: 静电场与场中电荷q0共同拥有. 设静电场中A、B点的电势能为： 、 Wp /q0 : 取决于电场分布. 场点位置和零势点选取与场中检验电荷q0无关. 可用以描述静电场自身的特性. 保守力做功等于势能的减小:

9.5.2 电势和电势差 3. 静电力做的功 点电荷q在静电场中a沿任意路径移至b过程中静电力做的功： 1. 电势(electric potential) 讨论： 单位: 伏特(V) 1. 电势U 为空间标量函数(标量）; 静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电势能, 或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静电力所做的功. 2.电势U 具有相对意义, 其值与零势点选取有关, 但电势差Uab与零势点选取无关. 2. 电势差(electric potential difference) 3. 电势遵从叠加原理: 点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和. 单位正电荷在静电场中a沿任意路径移至b过程中静电力做的功.

9.5.3 点电荷的电势 电势的叠加原理 2.点电荷系 叠加法—代数和（正负相加） 1. 点电荷的电势 令 P 沿径向积分 9.5.3 点电荷的电势 电势的叠加原理 2.点电荷系 叠加法—代数和（正负相加） 1. 点电荷的电势 令 P 沿径向积分 利用保守力与相关势能的关系定义其势能

Q 3 .连续分布的带电体—（积分四步法） (2) 选零势点和便于计算的积分路径; P 1）建立坐标系 2）将带电体划分为若干电荷元dq ; 常选无穷远或地球电势为零.电势差与电势的零点选取无关. 2）将带电体划分为若干电荷元dq ; 3）选零势点, 写出某一dq在场点的电势dU ; (3) 由电势定义式从场点往零电势处积分计算 4）积分 9.5.4 电势的计算 利用保守力与相关势能的关系定义其势能 4. 对称性电场---定义式分段积分 （注：也可以用电势叠加法，更为简便。） (1) 首先由高斯定理确定 分布;

例9-10. 半径为R的均匀带电球体, 带电量为q. 求其电势分布. 选择同心球面为高斯面, 由高斯定律得 S 解: 由电荷分布可知, 电场沿径向.

例9-11. 求无限大均匀带电平面()场中电势分布. 因为电荷无限分布, 故在有限远处选零势点. 令O点电势为零. 沿x轴方向积分： 解： 电场分布 U ~ x 曲线如图.

9.6.1 等势面(equipotential surface) (2) 电力线指向电势降落的方向 9.6 电场强度和电势的关系 等势 = 0 9.6.1 等势面(equipotential surface) (2) 电力线指向电势降落的方向 ——电势的几何描述 电场中电势相等的点组成的面叫等势面. 规定相邻等势 面之间的电 势差相等. 2. 电场线与等势面的关系 (1) 电场线处处垂直于等势面。在等势面上任取两点P1、P2 , 则

如图, 电势分别为U 和U+dU 的邻近等势面， (2) 电力线指向电势降落的方向 9.6.2 电场强度与电势的关系 如图, 电势分别为U 和U+dU 的邻近等势面， U U+dU b a  为等势面法向且指向电势升高的方向, 如有正的试验电荷从a点移到b点, 则电场力做功:

电场强度的大小等于电势在该点最大空间变化率; 方向沿等势面负法向, 指向电势减小最快的方向. dq P x a r 称电势梯度矢量，记为 矢量式: 解法一： 积分四步法求U 积分五步法求E 结论： 电场强度的大小等于电势在该点最大空间变化率; 方向沿等势面负法向, 指向电势减小最快的方向. 解法二： 积分四步法求U 电势梯度法求E 即 例9-12. 均匀带电圆环，带电量为q,半径为a, 求轴线上任意一点的P电势和电场强度.

例9-12. 均匀带电圆环，带电量为q,半径为a, 求轴线上任意一点的P电势和电场强度. 建立坐标系，在圆环上取点电荷dq, 令 解法二： （1）积分四步法求U 例9-12. 均匀带电圆环，带电量为q,半径为a, 求轴线上任意一点的P电势和电场强度. 建立坐标系，在圆环上取点电荷dq, 令 dq P x a r （2） 电势梯度法求E 55