第二章 线性系统的数学模型 2.1列写系统微分方程 2.2非线性数学模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 对控制系统的基本要求 2.5 信号流程图 2.6 脉冲响应函数

2.1 列写系统微分方程 人们常将描述系统工作状态的各物理量随时间变化的规律用数学表达式或图形表示出来，这种描述系统各个物理量之间关系的数学表达式或图形称为系统的数学模型。 建立数学模型有两种方法：机理分析法和实验辨识法。机理分析法是通过理论推导得出，这种方法是根据各环节所遵循的物理规律来编写；实验辨识法是由实验求取，即根据实验数据通过整理编写出来。 本章着重讨论机理分析法。 一、列写部件微分方程的目的、方法与步骤 目的：通过该方程确定被控量与给定量及扰动量之间的函数关系。 （1）根据实际情况，确定系统的输入、输出变量。 （2）从输入端开始，按信号传递遵循的有关规律列出元件微分方程。 （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。 （4）整理，输入量项=输出量项。

举例1 编写RC 电路微分方程 （1）确定输入、输出量为ui 、u0 （2）根据电路原理列微分方程 （3）消去中间变量，可得电路微分方程

举例2 编写电枢控制的他励直流电动机的微分方程 解：（1）确定输入、输出量为ud 、n （2）根据电路原理列微分方程 根据电动机力矩平衡原理列微分方程

（3）消去中间变量，可得电路微分方程 令 ——电动机的电磁时间常数 ——电动机的机电时间常数 则得 ——电动机的动态微分方程 举例3 具有质量弹簧阻尼器的机械位移系统

（1）确定输入、输出量为F 、y （2）根据力学、运动学原理列微分方程 （3）消去中间变量，可得电路微分方程 以上两例中的物理系统不尽相同，但它们的数学模型却是相同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称之为相似系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。 对于同一个物理系统，当输入量、输出量改变时，所求出的数学模型却是不同的。利用相似系统的概念，我们可以用一个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统，并根据相似系统的理论出现了仿真研究法。

二、系统动态微分方程的编写 （1）确定系统输入量、输出量； （2）从输入端开始将系统划分为若干个元部件，依有关定理列写各个部件的方程组； （3）消去中间变量； （4）整理。 举例4 列写直流调速系统的微分方程

（1）确定输入、输出量为Ug 、n （2）根据力电路、电动机力矩平衡原理列微分方程 （3）消去中间变量得直流调速系统的动态微分方程 其中 为正向通道电压放大系数 为系统开环放大系数

2.2 非线性数学模型的线性化 对于部分的非线性系统来说，是在一定的条件下可近似地视作线性系统，这种有条件地把非线性系统数学模型化为线性数学模型来处理的方法，称为非线性数学模型的线性化。 从数学上看，三阶以上的非线性方程求解困难，高阶线性方程就容易得多；从工程上看，实际的物理系统都是非线性的。例如，弹簧的刚度与其形变有关，因此弹簧系数K实际上是其位移x的函数，并非常值；电阻、电容、电感等参数值与周围的环境（温度、湿度、压力等）及流经它们的电流有关，也并非常值；电动机本身的磨擦、死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程。然而，在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽略它们的影响，将这些元件视为线性元件。这样做会使问题简化，给控制系统的研究工作带来很大的方便，是工程中一种常见的、比较有效的方法。

如何进行线性化 1.忽略非线性因素的影响 2.切线法/小偏差法 线性化原理： 对于具有一个自变量的非线性元件或系统，设非线性方程为 ，工作点为 ，其各阶导数均存在，则可在工作点附近展开成泰勒级数 当 很小时，忽略二次以上导数项 或可表达为 简写为 式中 这就是该非线性元件或系统的线性化数学模型，这种线性化方法叫做小偏差方法。这种线性化方法特别适合于具有连续变化的非线性特性函数，其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。

举例5 某三相桥式晶闸管整流电路的输入为控制角α，输出量为Ed，Ed与α之间的关系为 如果正常工作点为A点，该处 那么当控制角α在小范围内变化时，可以作为线性 环节来处理。令 注意： 1.非线性方程必为连续。 原因：断续的方程不能用台劳级数展开，因此不能采用此方法。这类非 线性称为本质非线性。 2.K值与工作点的位置有关。 3.考虑增量ΔX的变化范围较小。

2.3 传递函数 求解微分方程可求出系统的输出响应，但如果方程阶次较高，则计算非常繁琐，因此对系统的设计分析不便，所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算，可使问题分析大大简化。 一、传递函数的概念及意义 （1）传递函数的定义： 线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变 换之比。 线性定常系统微分方程的一般表达式: 其中 为系统输出量， 为系统输入量 在初始情况为零时，两端取拉氏变换：

移项后得： 上式中Y(s)输出量的拉氏变换；R(s)输入量的 拉氏变换； G(s) 为系统或环节的传递系数。 （2）传递函数的两种表达形式 a.传递函数的零极点表示形式 b.传递函数的时间常数表示形式

b.传递函数只与系统本身的结构和特性参数有关，而与输入量变化无关。 c.传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。 （3）关于传递函数的几点说明 a.传递函数的概念只适应于线性定常系统。 b.传递函数只与系统本身的结构和特性参数有关，而与输入量变化无关。 c.传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。 d.传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式的阶次。 二、典型环节的传递函数及其暂态特性 无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。 （1）比例环节（放大环节/无惯性环节） 特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系。 K R(s) Y(s) r(t) y(t) y(t)/r(t) t

特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变 化，存在时间上的延迟。 （2）惯性环节 特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变 化，存在时间上的延迟。 （3）积分环节 特点：输出量随时间成正比地无限增加。 R(S) Y(S) t r(t)/y(t) r(t) y(t) t r(t) Y(s) R(s) y(t) y(t)/r(t)

特点：是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趁势。 实践中，理想的微分环节难以实现。 （4）振荡环节 特点：振荡的程度与阻尼系数有关。 （5）微分环节 特点：是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趁势。 实践中，理想的微分环节难以实现。 R(s) Y(s) ωnt ξ=0.2 ξ=0.5 ξ=1 y(t)/r(t) t y(t)(理想) y(t)(实际) y(t)/r(t)

特点：输出信号经过一段延迟时间τ后，可完全复现输入信号。 （6）延迟环节 （时滞环节、滞后环节） 特点：输出信号经过一段延迟时间τ后，可完全复现输入信号。 t r(t) y(t) y(t)/r(t) τ R(s) Y(s)

2.4 系统动态结构图 一、概念 1.动态结构图：是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它 表示了系统的输入输出之间的关系。 2.结构图的组成： （1）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。 （2）引出点（分离点）：表示信号引出或测量的位置。 （3）比较点（相加点）：对两个以上信号加减运算。 （4）方框：方框图内输入环节的传递函数。 G(S) H(S) B(S) E(S) R(S) Y(S) -

3 .动态结构图的绘制步骤： （1）确定系统输入量与输出量。 （2）将复杂系统划分为若干个典型环节。 （3）求出各典型环节对应的传递函数。 （4）作出相应的结构图。 （5）按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来。 二、结构图的简化法则 常用的结构图变换方法可归纳为两类：一类是环节的合并，另一类是信号的分支点或相加点的移动。 结构图的变换必须遵循的原则是：变换前后的数学关系保持不变，因而也称为结构图的等效变换。

（一）环节的合并 法则一 环节串联，传递函数相乘。 法则二 环节并联，传递函数相加。

法则三 反馈连接的等效传递函数。 （二）信号相加点及分支点的移动 法则四 相加点从环节输入端移到输出端

法则五 相加点从环节输出端移到输入端 法则六 分支点从环节输入端移到输出端 法则七 分支点从环节输出端移到输入端

法则八 两个分支点、相加点间可以相互换位。相加点和分支点之间一般不 能换位。 三、开环传递函数 1.开环传递函数：是闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差信号拉氏变换 之比。

2.开环传递函数的求法 （1）单回路系统 （2）多回路系统 a.无交错局部反馈 结论：

b.有交错局部反馈 结论：

四、闭环传递函数 1.闭环传递函数：在初始条件为零的情况下，系统输出量的拉氏变换与 输入量的拉氏变换之比。 2.闭环传递函数的求法 典型结构的闭环控制系统中有两个输入量——给定输入和扰动输 入，它们同时作用于系统。对于线性系统而言，可通过分别讨论在不 同输入信号作用下的系统传递函数和相应的输出，再通过叠加得到总 的输出。

（1）给定输入单独作用下的闭环系统 （2）扰动输入单独作用下的闭环系统

3.误差传递函数：误差信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。 （1）给定输入单独作用下的闭环系统 （2）扰动输入单独作用下的闭环系统

4.给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的总的输出量和偏差输出量 由线性系统叠加性可知：

2.5 信号流程图 一、基本概念及常用术语 信号流程图简称信号流图，是一种用图线表示线性方程组的方法。 设有线性方程组 经拉氏变换将微分方程转化成为线性代数方程 可以用信号流图来表示以上方程组各变量之间的关系。 信号流图的绘制方法： 设系统的描述方程为 ，其中 为输入变量， 为输出变量，a为两个变量间的传输。该系统可以用信号流图表示为：

常用术语： 1.节点 表示信号/变量。 （1）源节点 只有输出量的节点。 （2）汇节点 只有输入量的节点。 （3）混合节点 既有输入又有输出的节点。 2.支路 连接两节点间的有向线段。 3.支路增益 表示信号间的因果关系。 4.通路 从一个节点到另一节点的路径，其间每个节点只通过一次。 （1）前向通路 从源点到汇点 （2）闭通路 起点与终点为同一点 5.通路增益 通路中所有支路增益之积 6.不接触回路 回路之间没有公共节点

方法一：将系统微分方程作拉氏变换后，按所得代数方程作图。 例1 绘制二级RC滤波电路的信号流图。 二、如何作信号流图 方法一：将系统微分方程作拉氏变换后，按所得代数方程作图。 例1 绘制二级RC滤波电路的信号流图。 解（1）列写系统微分方程组 u1 u2 R1 R2 C1 C2 i1 i2 i3

（2）对上述微分方程作拉氏变换 （3）对上述代数方程作信号流图 u1 i1 u3 -1 i3 u2 i2

变形原则：原信号线变为节点，传递函数变为支路增益。 （4）综合作出系统信号流图 方法二：由系统动态结构图变形得来。 变形原则：原信号线变为节点，传递函数变为支路增益。 u1 i1 i2 u3 i3 u2 -1 G H - Y(s) R(s) -H

三、由梅逊公式求传递函数 梅逊公式： T——闭环传递函数 Δ——特征式 其中 ——为所有不同回路的增益之和 ——每两个互不接触回路增益乘积之和 ——每三个互不接触回路增益乘积之和 ——每m个互不接触回路增益乘积之和 n——前向通路的条数 ——第K条前向通路的增益 ——第K条前向通路的余因子，在Δ中除去与第K条前向通路相接触的回路增益后剩余的Δ值。

例2 用梅逊公式求下图中信号流图的传递函数。 解：（1）找出上图中所有的前向通路 只有一条前向通路 （2）找出系统中存在的所有的回路 共有三个回路，三个回路的传输之和为 （3）这三个回路都存在公共节点，即不存在不接触回路。故系统的特征方程 式为：

（4）由于这三个回路都与前向通路相接触，故其余因子Δ1=1。 （5）故该系统的传递函数为：

例3.设某系统的方框图如图所示，试求其传递函数 Ｙ G1 G2 G3 G4 - H1 H2 R R(S) 1 G1 G3 G2 Y(S) G4 -1 -H2 -H1

系统 2.6 脉冲响应函数 单位脉冲信号： 分析： 其拉氏变换R(s)=1。 由 可知 由 可知 结论：系统或环节的单位脉冲响应函数的拉氏变换即为系统或环节的传递 函数。 系统 r(t) 单位脉冲函数 y(t) 脉冲响应函数