E-mail: zhaobinsxxs@163.com Mathematics Appreciation 数学欣赏 分形动画 数学之美 西北农林科技大学理学院数学系　赵斌 E-mail: zhaobinsxxs@163.com

开《数学欣赏》课的初衷 无论是文科还是理科的大学生，虽然学了多年的数学，仍然对数学的思想、精神了解得很肤浅，对数学的宏观认识和总体把握较差。而这些数学素养，反而是数学让人终生受益的精华。

数学素养才使人终身受益 一个人的学历教育中，从小学一年级到大学一年级，一般要学十三年的数学课程，只有语文课能与之相比；但许多人并未因为学的时间长就掌握了数学的精髓。相反，大多数学生仍然对数学的思想、精神了解得较肤浅，对数学的宏观认识和总体把握较差，数学素养较差；甚至误以为学数学就是为了会做题、能应付考试，不知道“数学方式的理性思维”的重大价值，不了解数学在生产、生活实践中的重要作用，不理解数学文化与诸多文化的交汇。

现在的数学教学，较多地让学生做习题，却较少地让学生想问题。在做习题中，又较多地在操作层面上训练解题方法，而较少地在思维层面上培养数学素养。 特别是为了应付考试，教师在教学活动中，往往先把自己变成“类型题”的有效解题者和熟练操作工，再努力把学生也变成“类型题”的有效解题者和熟练操作工。 大学教师常常感到，中学输送来的“好学生”，很会做初等数学中的习题，但不大善于“学数学”。

实际上 ，学生毕业后走入社会，如果不是在与数学相关的领域工作，他们学过的具体的数学定理、公式和解题方法可能大多用不上，以至很快就忘记了；而他们有所欠缺的数学素养，反而是数学让人终生受益的精华。 一位数学教育家说，不管人们从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，都会随时随地发生作用，使人们终生受益。

而现在大学里的“高等数学”课，由于各种原因，也常常采取重结论不重证明、重计算不重推理、重知识不重思想的讲授方法。 在这种情况下，我们考虑专门开设一门校公共选修课——“数学欣赏” ， 着重教授数学的思想、精神和方法；提高学生的数学素质 ，也提高学生的文化素质和思想素质。 这，就是西北农林科技大学开设“数学欣赏”课的初衷。

要长学问，就得多问；多问则业精 ！请大家积极提出各种数学问题。 赵　斌 理学院407办公室

当你完全凭借自己的思考解决一个复杂的问题，而非借助于任何人的帮助时，你会由衷地感到成功的喜悦；更为重要的是，这时你的解题能力已经肯定地得到了提高，并且思路不易遗忘，以后解决类似问题将是很顺利的事情。 直接面对困难， 要有刻苦钻研的精神！

有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚； 我的想法：学习的目的并不是为了一个不败的美名；掌握广博而又扎实的基础知识，形成分析问题、解决问题的能力，从而为理想的实现奠定基础，才是根本目的。 常胜将军是不存在的！ 有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚； 苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。

3. 勤奋学习与劳逸结合的关系 学习成绩不是与学习时间成正比的 关键在于课堂效率 劳逸结合，保证休息，养精蓄锐，提高效率 “众人皆睡而我独醒” 关键在于课堂效率 学习成绩不是与学习时间成正比的 二者之间不存在任何严格单调增的函数关系 学习成绩与学习时间正相关是千真万确的 某些同学考上大学后因沉迷于电脑游戏，成绩严重下滑

　　我不祝你们一帆风顺，因为那是不可能的，会给你们造成幻想，以为在你们的面前永远是一条铺满鲜花的道路，……而对面临的困难缺乏思想准备。你们想过在你们的面前可能是一条充满荆棘的道路吗？需要你们通过艰苦的努力，去争取成功。我只祝愿你们在未来人生选择的每一个十字路口处能够尽量少走错一步路。

“数学欣赏 ”课的上法 1．内容和预备知识 内容： 预备知识： 中学数学； 以较浅显的知识为载体，讲授数学的思想、精神、方法、观点。 “数学欣赏 ”课的上法 1．内容和预备知识 内容： 以较浅显的知识为载体，讲授数学的思想、精神、方法、观点。 预备知识： 中学数学； 大学一年级的“高等数学”。

与一般数学课的区别 一般的数学课，是以数学的知识系统为线索来组织材料，进行教学。 “数学欣赏”课，则可以从数学典故、数学问题、数学方法、数学观点、数学思想等角度切入，并以它们为线索来组织材料，进行教学。 一般的数学课，是以讲授数学的理论知识及其应用为主要目的。 “数学欣赏”课虽然要以知识为载体，却并不以传授数学理论知识为主要目的，而是以教授数学思想为主，以提升学生的数学素养为主。

４．纪律要求： 不迟到、不说话、不影响别人；“三不干涉”； 每堂课抽点6－7个名； 病假、事假宽松；旷课是严重的。

五、“数学欣赏”课的考核与评分 １．“学习报告”占７0％，平时成绩占３0％。

zhaobinsxxs@163.com 学习报告，可以参照下面的“选题举 例”自选题目。要求不少于4000字，符合 论文格式，于第16周前发到下面邮箱中。 zhaobinsxxs@163.com

符合论文格 式，是指学习报告要包含摘要、关键词、 正文、参考文献几个部分，参考文献中要 列出书名、作者、出版社、起止页码等， 这样一些基本的格式。

学习报告选题举例： 生物数学的形成； 生物数学的起源； 生物数学的起源与形成

但是，不鼓励“学习报告”专门写数学 家，因为曾经发现过有人从网上下载数学 家的传记。 无论写什么内容，只要发现主要部分是 抄袭或下载的，本课程（不仅是学习报告） 一律作不及格论，它关系到“诚信”和“做人” 等道德问题。

２．上台演讲 对于学习报告，还提倡大家上台演讲；并根据演讲的效果适当加分鼓励。上台演讲，可以促使大家事先更充分地占有资料，更深入地钻研探讨，更认真地组织材料，把学习报告写成较高水平的演讲稿。上台演讲，也锻炼了大家当众说话的胆量和口头表达的能力。

上台演讲，从下周起就可以发电子邮件报名，“报名申请”中写清姓名、学号、专业、联系电话、报告题目、报告提纲等基本信息。按报名先后排序。然后我会跟报名的同学一起讨论报告提纲，并协助作各种准备。上台前一周，相关同学要到我办公室做一次试讲，连同讨论，约两个小时。

上台演讲，学生多付出了劳动，因此会有分数的奖励：上台演讲者，在学习报告的得分上乘一个系数，一个大于1的系数。从第七周开始提供演讲的机会，由于最先几人准备时间短，报名演讲困难较大，所以“奖励办法”是着眼于鼓励大家早报名的：在学习报告的得分上乘的大于1的系数，第七周是1.5，第八周是1.4，第九周是1.3；第九周以后上台演讲，均乘1.2。但当有总评分达到或超过100分的时候，上报教务处时要折算成99分。

演讲的同学每次约15分钟，最多不超过20分钟。为充分利用15分钟时间，应制作多媒体课件，且事先有较好的板书设计；并于课前作课件或板书准备；最好进行预讲，让同学提意见、作参谋。

　　　提供给大家上课演讲的机会，是本课程最大的尝试之一，也是区别于其它任何一门课程最显著的特色。从大家的准备：选择论题，查阅文献，组织加工材料；到登台演讲面对约一百多名同学的整个过程来看，锻炼了大家的各项能力，是一种综合能力的培养。

某外企招考员工的又一道题 老师让6名学生围坐成一圈，另让一名学生坐在中央，并拿出七顶帽子，其中四顶白色，三顶黑色。然后让七名学生都戴上眼罩，并给每个学生戴一顶帽子；再只解开坐在圈上的六名学生的眼罩。这时，由于坐在中央的学生的阻挡，每个人只能看到五个人的帽子。老师说：“现在，你们七人猜一猜自己戴的帽子颜色。”大家静静地思索了好大一会。最后，坐在中央的、被蒙住双眼的学生说：“我猜到了。” 　　 问：中央的被蒙住双眼的学生带的是什么颜色的帽子？他是怎样猜到的?

某外企招考员工的又一道题 老师让6名学生围坐成一圈，另让一名学生坐在中央，并拿出七顶帽子，其中四顶白色，三顶黑色。然后让七名学生都戴上眼罩，并给每个学生戴一顶帽子；再只解开坐在圈上的六名学生的眼罩。这时，由于坐在中央的学生的阻挡，每个人只能看到五个人的帽子。老师说：“现在，你们七人猜一猜自己戴的帽子颜色。”大家静静地思索了好大一会。最后，坐在中央的、被蒙住双眼的学生说：“我猜到了。” 　　问：中央的被蒙住双眼的学生带的是什么颜色的帽子？他是怎样猜到的? （右侧是其中一种情况） ● ● ● ○ ○ ○ ○

一个屋子里面有五十个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一部分病狗。 微软公司招考员工的一道面试题 一个屋子里面有五十个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一部分病狗。 假定有如下条件：1、狗的病不会传染，也不会不治而愈；2、狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病, 只能靠看别人的狗和推理，来发现自己的狗是否有病；3、一旦主人发现自己的狗是一只病狗，就会在当天开枪打死这条狗； 4、狗只能由他的主人开枪打死。 如果他们在一起，第一天没有枪声、第二天没有枪声……第十天发出了一片枪声，问有几条狗被打死？ （ 不是“脑筋急转弯”！）

思考题解答:为什么微软出了这道让大家颇为郁闷的题。这其实是一道数学题，一道非常标准的数学推断题。有数学的头脑，有明确的思路，解这道题其实是一件非常简单的事情。

这道题本来是一个很简单的数学归纳法的应用。我们先来审题，将其题设变成我们的语言和思维，这是解题必须的步骤。题设条件解读结果如下：一、肯定有狗生病，也就是说病狗的数量大于零；二、病狗的数量不会发生变化；三、狗的主人只有通过看别人的狗来确定自己的狗生病了没有；四、如果主人发现自己的狗病了，绝对不会当天不杀死它。

下面讲解一下如何得出结果。第一天，大家都没有开枪杀狗，说明一个问题，就是绝对不只一条狗有病。试假设只有一条狗有病，那么就会有一个人看不见病狗，他根据题设中说一定有病狗就可以推断自己的狗是病的，于是第一天就该响起枪声。第一天的结果已经证明了不只一条狗有病，而且不难看出假设只有一条狗有病就一定可以在第一天响起枪声，击毙那一条生病的狗。此时我们不妨大胆猜测一下：第几天开枪就有几条狗是病的。

到了第二天，我们就可以开始验证我们的结论了。试想，如果只有两条病狗，狗的主人必然看不见其他狗生病，于是发现自己的狗是生病的，那么第一天看到一条病狗的人就会在第二天根据如果有一条病狗，那么第一天就会响起枪声，而第一天没有人开枪，则有不少于一条狗有病。再看看发现自己只看见一条狗生病了，那么想来，自己的狗就是一条病狗。于是就会根据上面的方法推断得到自己的狗病了。于是开枪，响起的枪声应该是两声。

但是到了第二天仍然没有枪声，于是到了第三天。第三天的时候响起枪声了。前面已经说了，绝对不是有三条以下的狗有病，否则枪声早就响了。但是，如果是四条狗有病，他们可以判断自己的狗是病的吗？根据前面所讲，每个病狗的主人都看见三条病狗，而每个人都想自己可以看见三条狗有病，由前面的推导谁也不能肯定自己的狗是病的，就不能判断自己是否该开枪打死自己的狗，于是应该不会响起枪声。于是我们判断出了应该是三条狗有病。

有人问了，如果第四十九天响起枪声，你是不是也就这样推导 四十九步？当然不必要啊。其实根据数学归纳法的思想，我们只要开动脑筋，根据前面的三步推导的结果的特殊性很容易可以得到一个更加一般的推论——只要是符合上述题目条件一到四假设的，无论总共是多少条狗或者无论是哪一天响起了枪声，我们都可以得到是多少条狗倒下。前面已经大胆猜测第几天开枪对应的打死的狗的数目就是几。现在这个答案似乎得到了更加充分的肯 定。但是有的朋友仍然要求我们的答案的绝对正确性，那么我们可以根据归纳总结的方法证明如下：

证明： 1．第一天的枪响了， 说明有一个人看不见病狗， 但是最少有一条狗有病， 于是得到病狗是自己的， 于是开枪杀死自己的狗。 根据这个结论，我们从数字上得到了规律，于是我们猜测规律，用来寻找方便的解决问题的办法。不妨设第N天开枪，必然就是有N条狗倒下。

2．假设，第N天枪响了， 有N条狗是有病的， 而如果第N天没有枪声， 根据小于或等于N的数字n变成n=N，直到n=l的论证，于是得到了答案是第N天没有开枪不可能是少于或等于N条狗生病了， 就说明有多于N条狗有病。 ·

3．证明的重点在于第N+1天的情况： 假设第N+1天想起了枪声， 根据第N天没有枪声， 得到了多于N条狗有病； 再假设有多于N+1条狗有病， 根据多于N条狗有病的时候，第N天所有人的人均不能判断自己的狗一定生病， 现在多于N+1条狗生病，那么大家就无法在N+l天确认自己的狗是否生病，无法决定自己是否应该开枪。

我们得到了结论在N+1天也是无法响起枪声的。 就说明不可能多于N+I条狗生病了， 于是得到证明有N+1条狗有病。 综上，在第几天开枪就会有几条狗有病被杀得以证明。

在数学的世界里，我们有很多不同的思想方法，比如说，我们常常遇到的统筹的思想方法；我们也常常需要根据一些已知的东西推断一些未知的东西，这就用到我们所讲的总结法；而为了证明判断的正确，我们又用到了归纳法来证明。数学的思想方法无处不在，很多的事物与规律都与数学的思想方法直接或者间接地相关。在未来，科技更加发达，我们的头脑中必定需要有更多的数学的思维出现；为了在社会中生存，为了在竞争中取胜，综合地培养自己的能力时也需要不断地培养数学的思维。

我们的生活中，也常常会用到数学的思想方法，也常常会思考一些数学问题。我们在思考这些方法的同时，也得到了进步。在我们的学习工作中，不仅要把数学学好，还要把数学的精髓学到手，这就是了解和掌握数学的思想方法。并且还要加强自己应用的能力，因为熟练的应用，可以直接为我们的生活和学习工作带来意想不到的好处和方便。甚至在一次重要的权威面试中，直接关系到自己一辈子的发展的，也就是这么一个简单的数学归纳法。

第二讲 微积分欣赏 （背景、发展与意义 ） 马克思和恩格斯非常重视微积分的创建，恩格斯曾有这的赞誉：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样看作人类精神的最高胜利了。”

一、微积分名称的由来 在变量数学中，决定性的一步是17世纪后半叶由牛顿和莱布尼兹创始的微分法和积分法。微积分的诞生，与其说是全部数学史上的一个伟大的创举，不如说是整个人类历史的一个伟大的创举。 牛顿称微积分为“流数术”（fluxious）,这个名称逐渐被淘汰。莱布尼兹使用了“差的计算”（calculus differentialis）与“和的计算” （calculus summatorius）.后来， “差的计算”变成了专门的术语“微分学” （ differential calculus ）,约翰‧贝努利主张把“和的计算”改为

“求整计算” （calculus integralis）,后来成为专门术语“积分学” （ integral calculus ），这就是西方微分学和积分学的来源，两者结合起来叫微积分。在英文中简称calculus.

二、微积分建立的时代背景 古代至中世纪的有关工作 导致微积分创立的几类基本问题 17世纪前期的工作 牛顿创建微积分的工作背景和大致过程 莱布尼茨创建微积分的工作背景和大致过程 牛顿、莱布尼茨工作的简单比较 微积分的历史意义

古代至中世纪的有关工作 早在古代数学中，就产生了微分和积分这两个概念的思想萌芽，形成两种基本的数学运算。两者分别地被人们加以研究和发展。 历史上，积分思想先于微分思想出现，而不象今天的《数学分析》所讲授的那样，先微分后积分。 积分思想出现在求面积、体积等问题中，在古中国、古希腊、古巴比伦、古埃及的早期数学文献中都有涉及这类问题的思想和方法。

如：古希腊的阿基米德（公元前287―212）用边数越来越多的正多边形去逼近圆的面积，称为“穷竭法”。 中国魏晋时代的刘徽在其《九章算术注》（公元263年）中，对于计算圆面积提出了著名的“割圆术”，他解释说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”这些都是原始的积分思想。 又如，中国清代著名数学家李善兰独创的“尖锥术”，已使中国步入了微积分的大门。但还未形成多大影响时，西方的微积分就传入了中国。

16世纪以后，欧洲数学家们仍沿用阿基米德的方法求面积、体积等问题，并不断加以改进。天文学家兼数学家开普勒的工作是这方面的典型。他注意到，酒商用来计算酒桶体积的方法很不精确，他努力探求计算体积的正确方法，写成《测量酒桶体积的新科学》一书，他的方法的精华就是用无穷多小元素之和来计算曲边形的面积或体积。 微分思想也在古代略见端倪，它是和求曲线的切线问题相联系的，这是数学家们历来所关注的另一类问题。

光学研究中，由于透镜的设计需要运用折射定律、反射定律，就涉及切线、法线问题。这方面的研究吸引了笛卡儿、惠更斯、牛顿、莱布尼兹等人。而在运动学研究中，要确定运动物体在某一点的运动方向，就是求曲线上某一点的切线方向，这就需要求作切线。

    意大利科学家伽利略主张自然科学研究必须进行系统的观察与实验，充分利用数学工具去探索大自然的奥秘。这些观点对科学(特别是物理和数学)的发展有巨大的影响。他的学生卡瓦列里创立了“不可分原理”。依靠这个原理他解决了许多现在可以用更严格的积分法解决的问题。“不可分”的思想萌芽于1620年，深受开普勒和伽利略的影响，是希腊欧多克索斯的穷竭法到牛顿、莱布尼茨微积分的过渡。

导致微积分创立的几类基本问题 已知物体移动的距离表示为时间的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度；反之，已知物体运动的加速度表为时间的函数，求速度和距离。 （这一问题不久人们发现，这一问题是计算一个变量对另一个变量的变化率问题以及它的逆问题的特例。） 求曲线的切线。

求函数的最大值和最小值。 （如抛射体获得最大射程时的发射角，行星离开太阳时的最远和最近距离等。） 求曲线长；曲线围成的面积；曲面围成的体积；物体的重心；一个体积相当大的物体（如行星）作用于另一物体上的引力等。

17世纪前期微积分的工作 费尔马 (Fermat)是在牛顿和莱布尼兹之前，在微分和积分两个方面作出贡献最多的一个数学家。 费尔马《求极大值与极小值的方法》 (写于1636年以前)在求曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题上做出了重要贡献。用现代语言来说，他都是先取增量，而后让增量趋于0。这正是微分学的实质之所在。 费尔马还考虑了求抛物体的重心问题。他是

用求极大、极小值的方法得到，而不是用求和的方法。这使他的朋友罗贝瓦尔感到惊奇。但是，他居然没有看到这两类问题——微分学问题和积分学问题——的基本联系，与微积分基本定理擦肩而过。 在数学史上，拉格朗日、拉普拉斯和傅立叶都曾称“费尔马是真正发明者。”但泊松正确地指出，费尔马不应当享有这一荣誉。

巴罗的贡献 另一个对微积分作出预言的是牛顿的老师巴罗 (I.Barrow，1630——1677)，他于1630年生于伦敦，毕业于剑桥大学，他在物理、数学、天文和神学方面都有造诣。他也是当时研究古希腊数学的著名学者。他翻译了欧几里得的《几何原本》，也是第一个担任剑桥大学卢卡斯讲座教授的人。 1669年，他辞去了他的教授席位，并推荐牛顿取得此席位。1673年他被任命为剑桥三一学院院长，1677年逝世。

巴罗最重要的著作是1699-1670年发表的《光学和几何学讲义》，在这本书中我们能够找到非常接近近代微分过程的步骤。他把作曲线的切线和曲线的求积联系了起来，用现代符号表示就是： 巴罗的确已经走到了微积分基本定理的大门口。但在巴罗的书中，这两个定理相隔二十余个别的定理，并且没有把它们对照起来，也几乎没有使用过它们。这说明，巴罗并没有从一般概念意义下理解

他们。但是我们知道，只有一般概念才能阐明问题的本质，才能开拓广阔的应用道路。 到此为止，微积分这门学科的基础已经具备，但象现在这样的微积分还没有。正如后来莱布尼兹确切表达的：“在这样的科学成就之后，所缺少的知识引出问题的迷宫的一条线。即依照代数样式的解析计算法。” 在创建微积分的过程中究竟还有多少事情要做呢？

1）需要以一般形式建立新计算法的基本概念及其相互联系，创立一套一般的符号体系，建立计算的正确程序或算法。 2）为这门学科重建逻辑上的一致的、严格的基础。 第1）项由牛顿和莱布尼兹各自独立完成。 第2）项由法国伟大的分析学家A.L柯西（Cauchy,1789_1857）及其他19世纪数学家完成。

牛顿的微积分 牛顿（Isaac Newton，1642-1727）是历史上伟大的物理学家和数学家。 他和莱布尼茨（Gottfried Leibniz，1646-1716）一起发明了微积分，在光的色散和光的本质方面取得了重要成就，更重要的是他建立了万有引力理论，把天体的运动和地球上的运动统一起来，整个近代力学和天体力学都是在他的基础上发展起来的。

法国数学家和天文学家拉普拉斯（Pierre Laplace，1749-1827）曾经这样说过：“不会产生两个牛顿，因为要发现的世界只有一个。” 在牛顿的墓志铭上刻着著名诗人波普（Alexander Pope，1688-1744）优美的赞美诗句： 自然和她的法则在黑暗中隐藏//上帝说，让牛顿去吧//于是一切都已照亮 Nature and Nature’s Laws lay hid in night// God said: let Newton be // and all was

虽然牛顿取得了这么多重要成就，但是他却是一个很谦虚的人。他曾经说过：“我并不知道人家是怎样看我的，但是在我自己看来，我就像一个在海滩上玩耍的小孩儿，偶尔捡到一颗光滑而好看的鹅卵石，而真理的大海我并没有发现。” 他在致胡克（Robert Hooke，1635-1703）的一封信中也说过这样一句广泛流传的话：“如果我曾比别人看得更远一些，那是因为我站在巨人的肩膀上。”

牛顿 生平 历史的发展有时候充满了戏剧性。1642年1月8日，伟大的意大利物理学家伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）逝世。就像中国藏族的转世灵童一样，不到一年，牛顿于1642年12月25日（这是儒略历的日子，对应于现在公历的1643年1月4日）出生于英国林肯郡（Lincolnshire）的伍尔索普 (Woolsthope)镇。 牛顿是个遗腹子，在出生前两个多月，他父亲就去世了。三岁的时候，他母亲改嫁，牛顿就和他祖母一起生活。在11岁时，牛顿的继父又去世了，于是他母亲就带着他的一个弟弟和两个妹妹回到沃斯索普。从此以后，他们就在一起生活。

大约5岁的时候，牛顿被送到了邻近的乡村小学。在那里，牛顿平静地度过了9年的日子，家里人似乎对于他没有什么太大的指望。牛顿有个舅舅叫艾司考，他发现了牛顿的聪慧，在1656年送他到格兰珊公学学习。可是，到那里不久，母亲就把他招回来帮助料理继父留下的田产。经过艾司考与格兰珊公学校长斯托克斯（J. Stokes）极力恳求他母亲，牛顿才于1658年重返格兰珊公学。和当时英国的皇家中学一样，格兰珊公学也是以教授希腊文与拉丁文文法为主要科目的学校。在格兰珊公学的3年中，牛顿学习十分努力，目的是为了考取当时最好的大学——剑桥大学。1661年，牛顿如愿以偿地进入了剑桥大学的三一学院（Trinity College）。

刚到剑桥大学的时候，牛顿依靠将食物与饮料递送外卖这种勤工俭学方式来换取一日三餐。后来，牛顿得到了奖学金。在著名几何学家巴罗（Isaac Barrow，1630-1677）教授的指导下，牛顿阅读了开普勒（Kepler，1570-1630）、笛卡尔（René Descartes，1596-1650）、伽利略等人的科学书籍。1665年，牛顿顺利地拿到了学士学位（Bachelor of Art）。 1665年初，伦敦发生了严重的鼠疫。剑桥大学出于慎重考虑而把学生遣返回家。这样，牛顿于1665年6月到1666年12月在家乡伍尔索普呆了一年半的时间。

在科学史上，这段时期具有非同寻常的重要性，因为牛顿在此期间几乎完成了他平生所有的重要发现。下面这段话来自牛顿的个人回忆： 1665年初，我发现了级数逼近法和把二项式的任意次幂展开成这一级数的规则。同年5月，我发现了格里高利（James Gregory，1638-1675）和司罗斯（Rene-Francois de Slues， 1622-1685）的切线方法。11月，得到了直接流数法。次年1月，提出了光的颜色理论。5月，我开始学会反流数方法……

1668年，牛顿返回剑桥不久，获得了硕士学位（Master of Art）。之后牛顿成为三一学院的一名成员。1669年，牛顿完成了关于流数法（微积分）的论文，受到其导师巴罗的极力肯定，但牛顿并没有把这一成果发表，这造成了日后他和莱布尼茨关于微积分发明权的长期争论。同年，巴罗决定放弃自己的卢卡斯（Lucas）讲座教授席位，专心从事神学研究，并且由于欣赏牛顿的才能，而推荐27岁的牛顿继任这一职位。这在科学史上被传为一段佳话，剑桥大学三一学院前至今还树立着这对师徒的雕像。

怪异的牛顿 牛顿并不善于教学，他在讲授新近发现的微积分时，学生都接受不了。但在解决疑难问题方面的能力，他却远远超过了常人。还是学生时，牛顿就发现了一种计算无限量的方法。他用这个秘密的方法，算出了双曲面积到二百五十位数。他曾经高价买下了一个棱镜，并把它作为科学研究的工具，用它试验了白光分解为的有颜色的光。 开始，他并不愿意发表他的观察所得，他的发现都只是一种个人的消遣，为的是使自己在寂静的书斋中解闷，他独自遨游于自己所创造的超级世界里。

后来，在好友哈雷的竭力劝说下，才勉强同意出版他的手稿，才有划时代巨著《自然哲学的数学原理》的问世。 作为大学教授，牛顿常常忙得不修边幅，往往领带不结，袜带不系好，马裤也不纽扣，就走进了大学餐厅。有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海了只剩下了无穷量的二项式定理。他抓住姑娘的手指，错误的把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去。牛顿也因此终生未娶。

牛顿从容不迫地观察日常生活中的小事，结果作出了科学史上一个个重要的发现。他马虎拖沓，曾经闹过许多的笑话。一次，他边读书，边煮鸡蛋，等他揭开锅想吃鸡蛋时，却发现锅里是一只怀表。还有一次，他请朋友吃饭，当饭菜准备好时，牛顿突然想到一个问题，便独自进了内室，朋友等了他好久还是不见他出来，于是朋友就自己动手把那份鸡全吃了，鸡骨头留在盘子，不告而别了。等牛顿想起，出来后，发现了盘子里的骨头，以为自己已经吃过了，便转身又进了内室，继续研究他的问题。

牛顿晚年 1688-1690年的政治生活扰乱了牛顿隐居生活的理想。当时英国大学教授年薪200多英镑，但是与他所接触的贵族生活相比，牛顿感到这些报酬还是太少。牛顿为此曾向他的朋友、英国财政大臣哈里发爵士（Lord Halifax）抱怨。1695年3月19日，哈里发推荐牛顿为皇家造币局局长，得到了皇帝的批准，年薪500多英镑。1699年牛顿升任造币局总监，年薪1200-1500英镑。这使牛顿变得非常富有，要知道，牛顿在剑桥大学当学生的时候，一年的生活费也不过才20多英镑。

随着科学声誉的提高，牛顿的政治地位也得到了提升。1689年，他被当选为国会中的大学代表。作为国会议员，牛顿逐渐开始疏远给他带来巨大成就的科学。他不时表示出对以他为代表的领域的厌恶。同时，他的大量的时间花费在了和同时代的著名科学家如胡克、莱布尼兹等进行科学优先权的争论上。 1683-1684年，胡克、哈雷（Edmund Halley， 1656-1742）、雷恩（Christopher Wren， 1632-1723）等人先后发现了引力的平方反比定律，但是都无法证明。为此，雷恩愿意以一本价值40先令的书馈赠能证明这个定律的人。胡克声称他已经得到了证明，但是不愿公开其结果；

1684年8月，哈雷特意到剑桥询问牛顿，牛顿称这个问题他早已解决，并答应给哈雷一份证明。同年11月，牛顿如约将他的证明送给哈雷。哈雷立即再次赶赴剑桥，劝说牛顿到皇家学会发表他的结果。 1686年，万有引力理论的论文在皇家学会发表，而且皇家学会决定正式出版它。 在一次皇家学会会议上，胡克声称他在几年前就已经证明了牛顿的上述结果，并且暗示牛顿是从他那里得到这种知识的，牛顿对此非常气愤。

哈雷从中进行斡旋，试图息事宁人。他劝牛顿：“胡克可能希望你可以在序言中提及他”，但是这遭到了牛顿的拒绝。经过哈雷的再三劝说，牛顿最后才答应写下这样一段脚注：“牛顿、雷恩、胡克、哈雷都从开普勒的定律得到了引力定律”。可是接下来又出现了麻烦，即皇家学会没有经费出版牛顿的著作。最后，还是哈雷用自己的钱在1687年出版了《自然哲学之数学原理》。 1704年，牛顿的《光学》出版。因为在附录中牛顿详细论述了他的流数法，从而引起了和莱布尼兹关于微积分发明权的争论。

晚年的牛顿开始致力于对神学的研究，他否定哲学的指导作用，虔诚地相信上帝，埋头于写以神学为题材的著作。当他遇到难以解释的天体运动时，竟提出了“神的第一推动力”的谬论。他说“上帝统治万物，我们是他的仆人而敬畏他、崇拜他”。 1727年3月20日，伟大的艾萨克·牛顿逝世。同其他很多杰出的英国人一样，他被埋葬在了威斯敏斯特教堂。他的墓碑上镌刻着： 　　让人们欢呼这样一位多么伟大的 人曾经在世界上存在。

莱布尼兹－－博学多才的数学符号大师 莱布尼兹（G.W.Leibniz，1646～1716） 是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家 和哲学家，一个举世罕见的科学天才。 “一个千古绝伦的大智者”（罗素语，《西方哲学史》）

生平事迹 莱布尼兹1646年出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲是莱比锡大学的哲学教授，母亲出生在一个教授家庭。莱布尼兹的父亲在他年仅6岁时便去世了，给他留下了丰富的藏书。莱布尼兹因此得以广泛接触古希腊罗马文化，阅读了许多著名学者的著作，由此而获得了坚实的文化功底和明确的学术目标。 莱布尼兹8岁自学拉丁文，14岁自学希腊文，15岁时，他进了莱比锡大学学习法律，一进校便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程，还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和评价。

在听了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。 20岁时，莱布尼兹转入阿尔特道夫大学。这一年，他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学才华。 莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外交界。1672出使巴黎，在那里结识了惠更斯及其他许多杰出的学者。不久，莱布尼兹成了个第一流的外交家。

在刚出访巴黎时，莱布尼兹对他那个时代的数学几乎还一无所知。但他在惠更斯的指导下开始了真正的数学教育。他深受帕斯卡（那时候笛卡尔、帕斯卡和费尔马均已过世）事迹的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作。他很快发现自己是一个天生的数学家。 1673年，莱布尼兹访问伦敦，被推荐为英国皇家学会会员。他会见了许多数学家，学到了不少关于无穷级数的知识，获得了一本巴罗的《几何讲义》，还知道牛顿的一些工作。

莱布尼兹在求积问题的研究中第一批成果之一是求出一个单位圆的面积是无穷级数 的四倍，即 在他以后的研究中，主要致力于切线问题以及求积问题。并根据巴罗的“微分三角形”，终于在1684年10月的《教师学报》上发表了论文 “一种求极大极小的奇妙类型的计算”，这在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。

这篇仅6页纸、内容并不丰富、说理也颇含混的文章，却具有划时代的意义，它已含有现代的微分符号和基本微分法则： 导数记作 1676年记作 后来在1693年的另一篇论文中

用 莱布尼兹第一次明确地表达了求和和微分之间的关系，这就是牛顿——莱布尼兹公式。 然而，莱布尼兹并不清楚怎样从一个粗糙的式子 去求得面积，即怎样从一组矩形得到曲线下的 面积。当然，这个困难不仅困扰了牛顿和莱布尼兹，也困扰了17世纪所有的数学家，这主要是因为没有清楚的极限概念。 1686年，莱布尼兹发表了《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，这是第一篇积分学论文。在

这篇论文中，他初步论述了求积（积分）问题与切线（微分）问题的互逆关系，还引入了积分概念及其符号 莱布尼兹的思想文献分为两类：一是1673年开始的手稿、笔记及友人的通信；二是1684年开始发表的论文。在微积分方面的主要成果还有： 1）复合函数的微分法则； 2）弧微分法则 3）对数函数和指数函数的微分法则； 4）在积分符号下对参变量求微分的方法；

5）曲线绕 轴旋转所成的旋转体体积公式； 6）求切线、求极大极小值以及求拐点的方法等。 数学方面的其它成就： 莱布尼兹在数学方面的成就是巨大的。他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。

莱布尼兹曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼兹证明了自己结论是正确的。 他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。 此外，莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念，发明了能够进行加、减、乘、除及开方运算的计算机和二进制，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。

1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长。1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任院长。 1716年11月14日，莱布尼兹在汉诺威逝世，终年70岁。

以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。   以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。 只有莱布尼兹和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。 因此，微积分“是牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的”.

  然而关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。 1704年，牛顿的《光学》出版。因为在附录中牛顿详细论述了他的流数法，从而引起了和莱布尼兹关于微积分发明权的争论。其实微积分是牛顿和莱布尼兹独立发现的，所不同的是，牛顿的发现时间较早，牛顿是1666年，而莱布尼兹是1676年左右；莱布尼兹的发表时间较早，莱布尼兹是1684年，而牛顿最早是在1687年的《自然哲学之数学原理》公布了他的流数法。

因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的。 牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”(但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了)。 因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的。

牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。 莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大影响。1713年，莱布尼兹发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。

但是这种争论产生了一个很不好的影响，就是英国数学家出于民族的自尊心，再加上对牛顿的过分崇拜，而拒绝了欧洲大陆的微积分。这种情况一直到19世纪初期才得到改变，而在此之前的一百多年，英伦本岛没有产生一位可以称得上伟大的数学家。现在的历史学家认为，莱布尼兹的微积分之所以在欧洲大陆得到了普遍接受和巨大发展，一方面是因为微积分在解决实际问题中显示出的巨大威力，另一个很重要的方面则在于莱布尼兹创立了一整套微积分的数学符号，这些符号的绝大部分一直到现在人们还在使用。我们现在知道，好的数学符号对于数学思想的表达和数学本身的进步是非常重要的。

在牛顿和莱布尼兹之间，为争论谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，这种争吵在各自的学生、支持者和数学家中持续了相当长的一段时间，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。 应该说，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，它必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样，是牛顿和莱布尼兹在前人的基础上各自独立的建立起来的。

牛顿和莱布尼兹分别创建的微积分各有特色 首先，牛顿从力学或运动学的角度，从速度的变化问题开始。他把连续变化的量称为流量，把无限小的时间间隔叫做瞬；而流量的速度，也就是流量在无限小时间内的变化率，称为流数，用上面带点的字母x，y表示。牛顿建立了以流量、流数和瞬为基本概念的微积分学。而莱布尼茨从几何学的角度，从求切线问题开始，突出了切线概念。他研究了求曲线的切线问题和求曲线下的面积问题的相互联系，由此建立起微积分学。

其次，牛顿作为物理学家，其工作方式是经验的、具体的和谨慎的，着力于将微积分成功地应用到许多实际问题，以证明微积分方法的价值。莱布尼茨身兼哲学家，他的工作和思想富于想像和大胆，更着重于把微积分从各种特殊问题中概括和提升出来，寻求普遍化和系统化的运算方法。 第三，莱布尼兹在运用和创造符号方面，比牛顿更花费心思。他用d 表示差额（difference的第一个字母），微分表示为dx，dy，对 n 阶微分运用了符号dn；而用∫表示总和(sum的第一个字母的拉长)，即积分符号。人们公认，莱布尼兹的微积分符号简明方便，以致沿用至今。

马克思和恩格斯非常重视微积分的创建，恩格斯曾有这的赞誉：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样看作人类精神的最高胜利了。”

微积分的历史意义 提供了定量处理与运动、变化等有关的多种现实问题的强有力方法。 解析几何与微积分的建立，标志着数学由初等数学（常量数学）时期向变量数学时期的重要转变。 以极限方法为主要特征的微积分方法蕴含着十分基本和重要的数学思想。

微积分的历史意义 微积分的建立，开辟了全新的、广阔的数学领域，其后数学分析大厦逐步建立。 微积分的建立，使得数学的基本格局发生了变化，在这之前，数学主要有代数（包括算术）与几何两大领域，而微积分的建立，形成了代数、几何与分析三足鼎立的局面。

1.引例 (1).求变速直线运动的瞬时速度问题; (2).求变速直线运动的位移问题. 2. 基本方法 微小局部“以匀代非匀”，将问题转化为常量，求得近似值，以极限为工具得精确值. 3. 基本问题 (1). 变化率-------微分学; (2). 变化率的逆问题，如面积-----积分学.

十七世纪以前的数学称为初等数学阶段。 特点：数是常数，形是孤立的、规则的几何形体，而且数和形往往是相互独立的。 分为初等代数和初等几何。 统称为初等数学。

1637至19世纪末的数学， 称为高等数学阶段或初等微积分阶段。 其核心内容为微积分。 (1). 解析几何学建立; (2). 微积分的创立. 　主要的工具：极限。

　1637年,法国数学家Descartes建立解析几何学； 研究的数是变数,形是不规则的几何形体,而且数和形紧密联系起来了。

　由于 17 世纪工业革命的直接推动,英国科学家Newton和德国科学家Leibniz各自独立地创立了微积分。 　此后，形成了内容丰富的高等代数、高等几何、与数学分析三大分支,它们统称为高等数学，也称为初等微积分。研究对象是函数，主要的工具是极限。

1874年以后的数学,称为现代数学阶段。 (1). 集合论的创立： 　　1874年，德国数学家Cantor创立集合论,为微积分奠定了坚实的基础。 　(2). 形成了内容丰富的抽象代数、拓扑学、与泛函分析为三大基础的现代数学阶段。

1.引例 (1).求变速直线运动的瞬时速度问题 匀速运动 变速运动 O T1 t s T2 t0 t0+t t0+t t0+t • T1 t s T2 t0 • t0+t s t • t0+t s t • t0+t t s t s • t0+t t s • t0+t • t0+t

即物体在时刻 t 的瞬时速度v(t)为：

如：自由落体运动的瞬时速度问题，求 t0 时刻的瞬时速度。 取一邻近t0的时刻t，运动时间为t t 的瞬时速度。 取极限得

求在时间区间[T1,T2]内物体所通过的位移s。 (2).求变速直线运动的位移问题 设一物体作变速直线运动,已知速度函数为 v=v(t) , 求在时间区间[T1,T2]内物体所通过的位移s。 若物体在时间区间[T1,T2]是作匀速运动， 只要用乘法就能求得：

当时间间隔很小, v 就可近似看成匀速的。 T1 t v T2 O ti vi 若物体是作非匀速运动,就不能简单地用乘法求得。 若速度函数随时间连续变化, 当时间间隔很小, v 就可近似看成匀速的。 • T1 t v T2 O • ti vi

A4 A6 A5 A3 A1 A2 若物体是作非匀速运动,就不能简单地用乘法求得。 若速度函数随时间连续变化, 当时间间隔很小, v 就可近似看成匀速的。 • T1 t v T2 O A4 A6 A5 A3 A1 A2 • t2 • t3 • t4 • t5 • t6

A4 A6 A5 A3 A1 A2 若物体是作非匀速运动,就不能简单地用乘法求得。 若速度函数随时间连续变化, 当时间间隔很小, v 就可近似看成匀速的。 • T1 t v T2 O A1 A4 A2 A3 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 • t3 t2 t4 t5 t6 A1 A2 A3 A4 A5 A6 • t3 t2 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12

当时间间隔很小, v 就可近似看成匀速的。 T1 t v T2 O 若物体是作非匀速运动,就不能简单地用乘法求得。 若速度函数随时间连续变化, 当时间间隔很小, v 就可近似看成匀速的。 • T1 t v T2 O •

极限：由近似到精确的思想，用数学方法作出具体刻划。 　　极限是一种思想，但极限在数的世界中第一次出现是英国数学家华利斯在十七世纪作为曲线面积体而引入的。 　　虽然微积分是由Newton和Leibniz创立，并成功地将它应用于天文、力学与物理、几何中去，但他们并没有建立函数极限的严格定义，从而给人从而给人一种高深莫测，把握不定的感觉。有时也不能自圆其说。

　 经过许多数学家近两个世纪的努力，19世纪末、20世纪初Cantor 的集合论的建立，才有了函数的集合论定义，在实数理论的基础上才建立了严格的极限理论。

谢谢

How beautiful the sea is! Let's have a rest!