第一节 定积分的概念与性质 一、引入定积分概念的实例 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质

一、引入定积分概念的实例 引例1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数f(x)在区间[a,b](a<b)上非负且连续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧y=f(x)称为曲边，线段ab称为底边. y= f (x) a b x M N o y 问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.

求曲边梯形的面积A的具体做法： (1)分割 在(a,b)内插入n–1个分点 把区间[a,b]分成n个小区间 记每一个小区间 的长度为 过每个分点xi(i=1,2,…,n)作y轴的平行线，将曲 边梯形分割成n个小曲边梯形.

我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变速直线运动的路程的问题. 以上两问题虽然不同，但解决问题的方法却相同，即归结为求同一结构的总和的极限.由此引入定积分的概念.

二、定积分的概念 定义

定积分(简称积分) 其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间.

根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述： 曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即 质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b]上的定积分，即

如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积. 定积分的存在定理

关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即有 (2)在定积分 的定义中，总假设 ，为了 今后的使用方便，对于 时作如下规定：

三、定积分的几何意义 如果在[a,b]上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积. 如果在[a,b]上 ，此时由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.

如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.

设函数f(x)，g(x)在[a,b]上可积 两个函数代数和的定积分等于它们定 积分的代数和，即 四、定积分的性质 设函数f(x)，g(x)在[a,b]上可积 两个函数代数和的定积分等于它们定 积分的代数和，即 性质1 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外，即

如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[a,c]和[c,b]，则 性质3 当c在区间[a,b] 之外时，上面表达式也成立. 性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个 性质可以用于求分段函数的定积分.

例1 解 利用定积分的几何意义，可分别求出

性质4 性质5 特别的,

性质6 (定积分估值定理) 证明

例2 解

性质7(积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 ，使下式成立 证明 因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在[a,b]上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质6，有

即数值 介于f(x)在[a,b]上的最大值M和最小值m之间.

性质7的几何意义：

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，我们称 如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t), t为时间，则 表示该地、该日的平均气温. 如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x), (a为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流 在该截面处的平均水深为 .

第二节 定积分基本公式 一、变上限的定积分 二、微积分学基本定理

一、变上限的定积分 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的x ( )，积分 存在，且对于给定的x( )，就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上限x的函数. 注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间变化的，因此常记为

定理1

证明 由积分中值定理有

结论：变上限积分所确定的函数 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).

由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分.

二、微积分基本定理 定理2(微积学基本定理) 证明

上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理.

牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.

例2 解

例3 解

例4 求

例6 求 解

第三节 定积分的积分方法 一、换元积分法 二、分部积分法

一、定积分的换元积分法 定理 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，而 满足下列条件： (2)当t在α与β之间变化时， 单调变化且 连续，则 上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.

注意： (1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即“换元必换限”. (2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量. (3)新变元的积分限可能α>β，也可能α<β，但一定要求满足 ，即 对应于 ， 对应于 .

例1 求 解

方法二

例4 求 解

例7

证明

例7表明了连续的奇、偶函数在对称区间[–a,a]上的积分性质，即偶函数在[–a,a]上的积分等于区间[0,a]上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.

例8 解

例9 证明 证明

应用分部积分公式计算定积分时,只要在不定积分的结果中代入上下限作差即可.若同时使用了换元积分法,则要根据引入的变量代换相应地变换积分限. 二、定积分的分部积分法 应用分部积分公式计算定积分时,只要在不定积分的结果中代入上下限作差即可.若同时使用了换元积分法,则要根据引入的变量代换相应地变换积分限.

例10 解

例12 求 解

例13 求 解

第四节 广义积分 一、无穷区间上的广义积分 二、无界函数的广义积分

一、无穷区间上的广义积分 定义1 函数f(x)在无穷区间 上的广义积分， 记作 ， 即 若上述等式右端的极限存在,则称广义积分 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分 发散.

类似地，无穷区间 上的广义积分定义为 无穷区间 上的广义积分定义为 上述三种方法统称为无穷区间上的广义积分.

例1 求 解

例2 求 解

所以，广义积分 收敛，且

例3 证明

二、无界函数的广义积分 称为无界函数 在(a,b] 上的积分,记为 定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续，且 极限 若上式右端极限存在，则称广义积分 收敛.如果上述极限不存在，就称广义积分发散.

类似地，函数f(x)在[a,b)上连续，且 广义积分定义为 如果极限 存在，则称广义积分 收敛.如果上述极限不存在，就称广义积分 发散.

函数f(x)在[a,b]上除点x=c∈(a,b)外都连续，且 ，则广义积分定义为 此时，如果上式右端两个广义积分 都收敛，则称广义积分 收敛，否则称广义积 分 发散. 上述三种积分统称为无界函数的广义积分, 也称为瑕积分.

例5 计算 解

由于上面两个极限都不存在,所以 发散.

例7 解