第一节 导热 一、导热的基本概念 1、温度场 概念：某一时刻换热系统中空间一切点温度的分布 情况， 数学表示式： t=f（x，y，z，τ） 第一节 导热 一、导热的基本概念 1、温度场 概念：某一时刻换热系统中空间一切点温度的分布 情况， 数学表示式： t=f（x，y，z，τ） 温度场分类： 一维温度场 稳定温度场 二维温度场 和 不稳定温度场 三维温度场

稳定温度场：温度场不随时间变化 t=f（x，y，z） 不稳定温度场：温度场随时间变化 一维温度场： t=f（x) t=f（x，τ） 即： 不稳定温度场：温度场随时间变化 若 则物体被加热 若 则物体被冷却 一维温度场： t=f（x) t=f（x，τ） 二维温度场: t=f（x，y，τ） t=f（x，y) 三维温度场: t=f（x，y，zτ） t=f（x，y，z)

等温面: 温度场中同一时刻、相同温度点相连所形成的面。 等温线: 任意一平面与等温面下相交所得的交线。 2、等温面和等温线 等温面: 温度场中同一时刻、相同温度点相连所形成的面。 等温线: 任意一平面与等温面下相交所得的交线。 注意： 同一个等温面上没有热量传递， 热量传递只发生在不同的等温面之间。 3、温度梯度 ——等温面上的法线方向温度变化率 n 数学表示式： 注意： 温度梯度是向量，位于等温面的法线上，指向温度增加的方向。

4、热流密度与热流量 热流量（Q ）：单位时间内，经由面积F 所传递的热量。 单位：W。 单位： W /m2。 二者关系： Q=qF n q 注意： 热流密度和温度梯度位于等温面的同一法线上，但指向温度降低的方向。

二、导热的基本定律 1．傅里叶定律 内容：单位时间内通过垂直于面积F所传递的热量与温度梯度成正比。 数学表示式： 说明： n q 数学表示式： 或 说明： （1）负号表示热量传递方向 与温度梯度方向相反 （2）λ是导热系数

2．导热系数λ 气体： 决定于分子间的相互运动 物理意义：表征物质的导热能力大小 数学表示式： 即：单位温度梯度时的热流密度。单位:W／m.℃。 数学表示式： 影响导热系数的因素： （1）种类的影响 气体： 决定于分子间的相互运动 范围：λ= 0.006～0.6W/（m·℃）。 在很大的压力变化范围内，仅是温度的函数，而和压力无关。

液体: λ= 0．07～0．7 W／（m·℃）。 固体： 一般液体的导热系数随温度升高而减小，但标准大气压下水的导热系数却随温度升高而增大。 A: 金属 ---决定于自由电子的运动. 纯金属的导热系数一般随温度升高而减小。 纯金属中以银的导热系数高.λ=419W/(m·℃)。 纯金属中若掺有少许杂质，其导热系数将降低。

建筑材料和保温材料： λ= 0.025～3.0 W/（m·℃） B:非金属： ----决定于晶格振动 建筑材料和保温材料： λ= 0.025～3.0 W/（m·℃） 导热系数大多数随着温度升高而增大； 与材料的结构、多孔度、湿度、密度等因素有关。 例如：湿材料的导热系数比干材料的高。 结论：

各物质的导热系数皆随温度变化，但在一定的温度范围内，大多数工程材料的导热系数可以近似地认为是温度的线性函数 （2）、温度的影响： 各物质的导热系数皆随温度变化，但在一定的温度范围内，大多数工程材料的导热系数可以近似地认为是温度的线性函数 在t1~t2内 当导热系数随温度作线性变化时，其平均值为平均温度时的值。

三、导热微分方程（固体） 能量守恒方程 1、推导思路：：取微元体，列能量守恒方程 微元体内能的增量=微元体传入的热量-微元体传出的热量 +微元体内热源产生的热量 即：微元体热焓的增量=微元体净热增量 z x dQx+dx y dQx

2、假定条件： （1）物体是各向同性的均质物体 各向同性：指物体各方向的导热系数都相同 （2）物体的物理量λ、ρ、CP均为常数 （3）内热源qv均匀的分布在物体里 内热源qv：指单位时间内、单位体积物体所释放出 的热量.单位：w/m3

3、推导过程 以X方向为例进行分析： 在dτ时间内，沿x轴通过左垂面传入六面体的热量 在同样的时间内，沿x轴通过右垂面传出六面体的热量 z x dQx+dx y dQx 3、推导过程 以X方向为例进行分析： 在dτ时间内，沿x轴通过左垂面传入六面体的热量 在同样的时间内，沿x轴通过右垂面传出六面体的热量 故x方向上的净热增量：

同理： z x dQx+dx y dQx 总净热增量： 热焓的增量： 内热源产生的热量

根据能量守恒： 热焓的增量=传入的热量-传出的热量+内热源产生的热量 即：热焓的增量=净热增量+内热源产生的热量 将上面各式代入： 方程两边同除以 则： 这就是具有内热源的导热微分方程（或称傅立叶导热微分方程）。

4、讨论： （1）、导温系数（或热扩散率） 或 令 可以简写为 称为导温系数（或热扩散率）。 物理意义： 物体内部扯平温度的能力；或不稳定温度场内物体各部分温度趋于一致的能力；或者说是不稳定温度场内物体温度随时间变化能力。单位：m2/s。

例如：对两个物体加热 100℃ t Q τ2 τ1 τ3 τ4 20℃

（2）、qv 有正负，qv >0，物体放热； qv <0，物体吸热。 （3）、若物体内部无内热源，即qv =0，则上式变成 （4）稳态导热且内部无内热源 则上式变成 即：

（5）求解方程的条件 单值条件：解决微分方程所需条件。即必须规定的求解 特定条件。 物理条件：参与导热过程的物理特征。 如物理参数： λ、ρ、CP 包括 几何条件：指物体的某些几何特征。如：形状 时间条件:稳态导热：无时间条件 非稳态导热：给定某一时刻的温度分布 例如：初始条件：τ =0，t=f(x、y、z） 边界条件：反映边界上特点的条件 有三类

三类边界条件 1）第一类边界条件：已知边界上的温度值 如： tw 对于不稳定导热 x 2）第二类边界条件：已知边界上的热流密度 如： qw x tw 对于不稳定导热 2）第二类边界条件：已知边界上的热流密度 如： x qw 对于不稳定导热

3）第三类边界条件： 已知物体与周围流体间的换热系数α及周围流体的温度tf 如：物体被冷却时，可以表示为： 对于不稳定导热 tw tf x

四、一维稳态无内热源导热分析解 qv =0 t=f（x) 求解目的： （1）温度场 （2）热流密度 或热流量 求解方法： （1）导热微分方程： 化简为 （2）付氏定律

(一)、无限大平板的稳态无内热源的导热 方法1：运用导热微分方程 1、通过单层平板的一维稳态导热 求热流密度q和平板内的温度分布。 t1 q x t2 t dx δ 求热流密度q和平板内的温度分布。 方法1：运用导热微分方程 一维稳态导热: 边界条件：x=0，t=t1 ；x=δ，t=t2 。 积分： 将边界条件代入得：C2=t1, C1=(t2 -t1)/δ 最后得：

方法2： 运用付氏定律 在距离板左侧面x处，取一微元体dx 列傅里叶定律的表示式 q x t1 t2 t dx δ 列傅里叶定律的表示式 注：这里传热面积相同，可直接用热流密度公式求解，否则不可以。 将上式分离变量后进行积分：

A：当λ 为常数时 积分 所以： （温度分布） 当x＝δ时，t=t2代入得 q 若给定面积F: t dx t1 (W／m2 ) t2 x 当x＝δ时，t=t2代入得 (W／m2 ) 若给定面积F: (W)

B：当λ 为非常数时 导热系数随温度成线形关系: 积分 整理得： 解方程得： 温度分布

在实际求解时，将平均温度的导热系数看成常数进行计算 讨论：β=0,温度线性分布 β>0,温度曲线下凹 β<0 温度曲线上凹 当x＝δ时，t=t2代入得 因此： 在实际求解时，将平均温度的导热系数看成常数进行计算 若给定面积F: (W)

常用的简便方法----热阻法 令： 根据公式： 或： 可以发现：该两式与电路中公式： 相似 相互对应关系： 单位面积上热阻 整个传热面积上热阻

只有传热面积沿途不变时，可以采用单位面积上热阻Rt，否则必须采用总传热面积的热阻 则： 对应的网络热阻图为 对应的网络热阻图为 δ/λ t1 t2 q δ/λF t1 t2 Q 注意：区别Rt与R 只有传热面积沿途不变时，可以采用单位面积上热阻Rt，否则必须采用总传热面积的热阻 q t1 t2 Rt，与R都能用 只能用R 不能用Rt， Q t2 t1 （适用） (不适用) （适用） (适用)

2、无内源多层平板的稳态导热 多层平板:指由几层材料组成的平壁 如图: t t1 t2 假设（1）λ1，λ2，λ3 都为常数 x δ1 δ2 δ3 t1 t3 t2 q t 如图: 假设（1）λ1，λ2，λ3 都为常数 （2）层与层之间接触良好 只各层分界面上无温度降 求解方法：采用傅氏定律公式。

对于第一层平板: 对于第二层平板: 对于第三层平板:

将上面三式相加, 消去t2 和t3 得 因为是稳态导热，由能量守恒原理知： Q1=Q2=Q3=Q 整理上式得： （1）

上式表明：多层平壁的稳态导热可以直接采用热阻网络图法求解。 相应的网络图： δ2/(λ2F2) δ1/(λ1F1) δ4/(λ4F4) t1 t4 Q 若用热流密度表示，则：

注：（1）多层平板的稳态导热，因沿途传热量不发生变化也可以采用热流密度公式进行推导。 （2） 接触良好的n层无限大平板传热量为： 相应的网络图： δ2/λ2 δ1/λ1 δ4/λ4 t1 t4 q 注：（1）多层平板的稳态导热，因沿途传热量不发生变化也可以采用热流密度公式进行推导。 （2） 接触良好的n层无限大平板传热量为：

3、复合平板的导热 复合平板：在高度和宽度上有多种材料所组成的平壁 t1 t4 Q 求解方法：热阻网络图法 式中： λ1 δ1 F1 λ3 δ3 F3 λ2 δ2 F2 λ4 δ4 F4 t1 t4 Q 复合平板：在高度和宽度上有多种材料所组成的平壁 求解方法：热阻网络图法 式中：

注意：由于沿途传热面积的变化，这里必须是以热流量Q来计算，q1 ≠ q2 + q3 ，但Q1 = Q2 + Q3 相应的网络图： δ2/(λ2F2) δ3/(λ3F3) δ1/(λ1F1) δ4/(λ4F4) t1 t4 Q 注意：由于沿途传热面积的变化，这里必须是以热流量Q来计算，q1 ≠ q2 + q3 ，但Q1 = Q2 + Q3

（二）、一维无内热源的圆筒壁的稳态导热 1、单层圆筒壁的稳态导热 假设：忽略轴向导热，只考虑径向导热t=f(r) 求解方法：运用傅氏定律 dr r t1 t2 t r2 r1 求解方法：运用傅氏定律 在圆筒壁内距离中心r处取厚为dr的圆筒，由傅氏定律得： 分离变量并积分：

最后得： 可见，圆筒壁内温度分布为对数曲线 。 r t1 t2 dr r2 t 在r=r2处，t＝t2，故有 所以： (W)

通过圆筒壁的热阻为 习惯上用单位长度的热流量表示： (W/m) 在工程上，当 r2／r1＜2 时，可以按平壁处理 为内、外表面面积的平均值

2、多层圆筒壁的稳态导热 作业：请采用导热微分方程的方法推导单层圆筒壁的温度分布与传热量 求解方法：热阻网络图法 应用热阻串联时求总热阻的办法，可直接写出 (自行推导) 或： 作业：请采用导热微分方程的方法推导单层圆筒壁的温度分布与传热量

（三）、通过球壁的稳态导热 在半径r处取厚为dr的微元球壳，应用傅里叶定律，通过该球壳的导热量为 t1 dt t2 r1 r2 dr

总结： 从上面看出：采用复傅氏定律求解稳态导热问题的步骤问题： （1）取微元体，列傅氏定律方程 （2）积分方程 （3）求解温度梯度分布 （4）代入边界条件，求传热量

四、具有内热源的稳态导热 求解方法：导热微分方程。（注：不能用傅氏定律方程求解） 例1：具有内热源的圆柱体的稳态导热过程分析： 假定该圆柱面上维持均匀的温度tw ,圆柱体半径为R，内有内热源Qv 圆柱坐标的导热微分方程： l r 边界条件： （1）表面处：r=0，t=tw； （2）内热源发热量=表面散热量：

对方程积分： 得： 将边界条件代入求得c1与c2： 将c1与c2代入温度分布得： 圆柱中心处（r=0)：

四、具有内热源的稳态导热 求解方法：导热微分方程。（注：不能用傅氏定律方程求解） 例2：具有内热源的单层平壁的稳态导热分析 设有一具有内热源Qv，厚度为δ无限大的平壁，其导热系数为λ，且不随温度变化， x t1 t t2 假定该平板两侧面上维持均匀的温度，分别为 t1和 t2，且 t1＞t2。 导热微分方程： 边界条件：x=0，t=t1 ； x=δ，t=t2

方程两边同除以a： 积分： 再积分： 将边界条件代入得： 整理得温度分布

分析： 1）温度分布曲线为抛物线 qv>0时，抛物线的形状为上凸，有一最高点 积分温度分布，令其为零： 求得最高点的位置 若t1=t2, 则： 表明最高点的位置在平壁中间。

2）通过平壁的热流密度。 x t1 t t2 说明热流密度随x而变化。

五、导热的数值计算法 （一）、有限差分法原理 用阶梯变化的差分方程来代替连续变化的微分方程 这是进行数值分析的基本出发点。 以内部节点P为例： P(m,n m+1,n m-1,n m,n-1 m,n+1 ∆y ∆x 考虑一个二维稳态导热问题 用差分代替微分，则：

P(m,n m+1,n m-1,n m,n-1 m,n+1 ∆y ∆x

代入稳态导热方程，取 ∆x=∆y，可以得到节点的温度方程 P(m,n m+1,n m-1,n m,n-1 m,n+1 ∆y ∆x 同理 代入稳态导热方程，取 ∆x=∆y，可以得到节点的温度方程

最后在研究对象上得到每点的温度方程， 构成线性方程组，形式为： 再采用迭代法求解线形方程组---计算机数值求解