复变函数论

对 象 主要任务 主要内容 复变函数（自变量为复数的函数） 研究复变函数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分. 复数与复变函数、解析函数、 复变函数的积分、级数、留数、 共形映射等.

学习方法 复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处.但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 果. 学习方法

背　景 　 复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的.为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域. 但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”. 直到十八世纪，J.D’Alembert(达朗贝尔)与L.Euler（欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题. 复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展.

　　复变函数的理论基础奠定于十九世纪. A.L.Cauchy （柯西）和K.Weierstrass（维尔斯特拉斯）分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B. Riemann（黎曼）研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物.经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用. 　　 二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切.

第一章 复数与复变函数

一 复数及其代数运算 1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数

复数:形如:z=x+iy或z=x+yi的数，其中x和y是任 意的实数，i是虚数单位( 的平方根）. x和y分别称为的实部和虚部，分别记作： 1. 复数 复数:形如:z=x+iy或z=x+yi的数，其中x和y是任  意的实数，i是虚数单位( 的平方根）.  x和y分别称为的实部和虚部，分别记作： 注：复数相等是指它们的实部与虚部分别相等.  如果Imz=0，则z可以看成一个实数；  如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数；  如果Imz不等于零，而Rez=0，称z为一个纯虚数. 

全体复数引入以上的四则运算后就称为复数域 . 2.复数的四则运算 复数的四则运算定义为： 全体复数引入以上的四则运算后就称为复数域 . 记为C，复数域可以看成实数域的扩张.  注:在复数域中不能规定复数像实数那样的大小关系.

运算规律 z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； 复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即， z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .

3. 共轭复数 定义 若z=x+iy , 称z=x—iy 为z 的共轭复数. (conjugate) 共轭复数的性质

二 复数的表示方法 1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法

1. 点的表示 点的表示：

2. 向量表示法 以正实轴 为始边, 以 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时) 以正实轴 为始边, 以 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时) o x y (z) P(x,y) 

辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z， 计算 argz(z≠0) 的公式

3. 三角表示法 非零复数的三角表示定义为： 复数加、减法的 几何表示如右图： 

关于两个复数的和与差的模，有以下不等式： 

4. 指数表示法

解 ：z=z1+ t (z2-z1)（-∞<t <+∞） 例5 用复数方程表示: （1）过两点zj=xj+iyj (j=1,2)的直线； o x y (z) L z1 z2 z 解 ：z=z1+ t (z2-z1)（-∞<t <+∞）

（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆.

3 复球面与无穷远点 1.南极、北极 2.复球面的定义 3.扩充的复平面 2. 无穷远点

复球面 （1） 南极、北极的定义

（2） 复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一 个唯一的“无穷大” 与复平面上的无穷 远点相对应, 记作 . 因而球面上的北极 N就是复数无穷大 的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.

（3） 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.

关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于： （4） 无穷远点: 关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于： 它和有限复数的基本运算为： 1、注意无穷远点与原点的区别与联系； 2、注意运算性质与运算规定。 这些运算无意义：

4 复数的乘幂与方根 1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根

1. 复数的乘积与商 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加. 证明 ：设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2ei(θ1+θ2) 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2

几何意义： 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍. o x y (z) z1z2 z2 定理1可推广到n 个复数的乘积.

要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.

定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差. 证明 由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2 |z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0） 于是 Argz=Argz2-Argz1 即

由公式有： 由三个是内角容易得到：

2. 复数的乘幂 定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=zzz（共n个）. 设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ. 特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有 (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ -----De Moivre公式. 定义

3. 复数的方根 （开方）——乘方的逆运算 问题 给定复数z=re i ，求所有的满足ωn=z 的复数ω. 当z≠0时，有n个不同的ω值与 相对应，每一 个这样的ω值都称为z 的n次方根，

当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现. 以原点为中心， 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点. x y o

四 区 域 1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域

1. 平面点集的几个基本概念

边界与边界点 已知点P不属于D，若点P的任何 邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是 D的边界点； D的所有边界点组成D的边界. 开集 若G内的每一点都是 内点，则称G是开集. 外点 区域 设 D是一个开集， 且D是连通的（D中任意两 点可用全在D中的折线连接） 则 D是一个区域. 内点 P D-区域 边界与边界点 已知点P不属于D，若点P的任何 邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是 D的边界点； D的所有边界点组成D的边界.

闭区域 区域 D与它的边界一起构成闭区域, 有界区域与无界区域 若存在 R > 0, 对任意 z ∈D, 均有 z∈G={z | |z|<R}，则D是有界区域；否则无界. 注：区域都是开的，不包含它的边界点 . 下面看几个区域的实际例子.

例1 集合 为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其 边界为两条直线： x y o

例2 集合 为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为 半射线.  例3 集合 为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界 为圆.

2. 简单曲线（Jardan曲线) 令z(t)=x(t)+iy(t) a≤t≤b ; 则曲线方程可记为：z=z(t)， a≤t≤b 有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线.

重点 设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b， 对于t1∈(a，b), t2 ∈[a, b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)， 称z(t1)为曲线C的重点。 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 。 z(a)=z(b) 简单闭曲线 z(t1)=z(t2) 不是简单闭曲线

简单闭曲线的性质(Jardan定理) 任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， t∈[a，b]，把复 平面唯一地分成三个点集，具有如下性质 1、彼此不相交; 2、I(c)一个是有界区域，称为C的内部； 3、E(c)一个是无界区域，称为C的外部； 4、若简单折线Ｐ的一个端点属于I(c) ，而另一个 　　端点属于E(c)则Ｐ必与Ｃ有交点.

3. 单连通域与多连通域 定义 复平面上的一个区域D，如果D内的任何简单闭曲线的 内部总在D内，就称 D为单连通 域；非单连通域称为多连通域. C z(a)=z(b) z(a)=z(b) 内部 外部 边界

单连通域 多连通域 例如 |z|<R（R>0）是单连通的； 0≤r<|z|<R是多连通的. 多连通域 单连通域

五 复变函数 1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射

1. 复变函数的定义 定义

例1 例2

5、复变函数的几何意义 （1）. 引入:

(2) 复变函数的几何意义: 取两张复平面，分别称为z平面和w平面

在几何上， w=f(z)可以看作： 定义域 函数值集合 o x y (z) o u v (w) w=f(z) w G* G G w=f(z)

(3). 两个特殊的映射:

且是全同图形.

根据复数的乘法公式可知,

(如下页图)

将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形. W 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.

以原点为焦点,开口向左的抛物线.(图中红色曲线) 以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线)

3、反函数或逆映射 例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射 故为多值函数,2支. 定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G* 则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.

例1 还是线段. 解

例1 解

例1 解 仍是扇形域.

例2 解

所以象的参数方程为

6 复变函数的极限与连续性 1. 函数的极限 2. 运算性质 3.函数的连续性

一、函数的极限 x y u v 定义 (z) o (w) o 几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中 A

2. 运算性质 注 (1) 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) w0是复数. 注 (1) 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) w0是复数. (3) 若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的. 2. 运算性质 复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理1

例１

定理 惟一性 与实变函数的极限性质类似. 复合运算等

例3 证 (一)

根据定理一可知, 证 (二)

例4 证

根据定理一可知,

二、函数的连续性 1. 连续的定义: （1） f(z)在z0处有定义 连续的 （2）f(z)在z0处有极限 三要素:

2. 连续函数的性质 定理1.3

例如,

例1.26 试证：f(z)在原点无极限，从而在原点不连续 证1：

特殊的: (1) 有理整函数(多项式) (2) 有理分式函数 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.

例5 证