第六章 微分中值定理及其应用
6.1 微分中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
中值定理的演示 T 与 l 平行 这样的x可能有好多 Made by Huilai Li
中值定理的演示 到了 高 低 行走的典型路线如下： 一个特殊的例子：假设从A点运动到B点，那么有许多种走法，首先我们来看一个例子。 了 了 ● ● 低 了 Made by Huilai Li
中值定理的演示 典型情形的证明思想 结论: Rolle定理 这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0. 几何意义是：在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴. 中值定理的演示 典型情形的证明思想 ● ● ● Made by Huilai Li
一、罗尔(Rolle)定理 例如,
几何解释:
证
注意: 罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立. 例如, 又例如,
例如: (i) y=f (x)= 1 , x = 1 , x[0, 1) 图3-1-2 x y f (x)满足条件(2), (3), 1 f (x)满足条件(2), (3), 但不满足条件(1), 在(0, 1)内,
(ii) f (x)在[-1, 1]上,满足条件(1), (3), 但不满足条件(2), x y 图3-1-3 当 x 时, x y 1 1 图3-1-3 y = |x| 当 x 时, f (x)= 1. x 时, f (x)= 1. x=0时, f (0)不存在.
(iii) y=f (x)=x, x[1, 2], f (x)在[1, 2]上满足条件(1), (2), 但不满足条件(3), 2 1 x y 图3-1-4 y=x 但不满足条件(3), 在(1, 2)内, f (x)=1.
例1 设函数 f (x) = (x1)(x2)(x3), 它们分别在何区间? 解: f (x)在[1, 2]上连续, 在(1, 2)上可导, 且 f (1)= f (2); 由罗尔定理: 1 , 使 f (1; 同理, 2, , 使 f (2; 注意到 f (x)=0为二次方程, 它至多有两个实根, 故 1, 2是 f (x)=0 的全部实根.
例2 证 由介值定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾,
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
中值定理的演示 更广泛情形的证明思想: T 与 l 平行 同一点 Made by Huilai Li
几何解释: 证 分析: 弦AB方程为
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
推论1 证明 推论2
例3 证
例4 证 由上式得
证明: nbn1(ab) < an bn < nan1(a b) 例5. 设 a>b>0 n>1. 证明: nbn1(ab) < an bn < nan1(a b) 证明: 令 f (x)= x n 显然 f (x) 在 [b, a]上满足拉格朗日定理条件, 有 f (a) f (b)=f ( )(ab) (b< <a) 即 an bn = n n1(a b) 又 0<b< <a ,且 n >1 所以 bn1< n1< an1 nbn1 (a b)<n n 1 (a b)< nan1 (a b) 即 nbn1(ab) < an bn < nan1(a b)
三、柯西(Cauchy)中值定理
几何解释: 证 作辅助函数
例6 证 分析: 结论可变形为
四、小结 1 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中 条件是充分的，但不是必要的. 2 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系； Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 3 证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔 定理. 4 应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明 一些不等式
思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.
思考题解答 不满足在闭区间上连续的条件； 且 不满足在开区间内可微的条件； 以上两个都可说明问题.