第五章 弹性力学问题的建立和一般原理 5.2 位移解法 以位移表示的平衡（或运动）微 分方程 5.3 应力解法 以应力表示的应变协调方程 第五章 弹性力学问题的建立和一般原理 　 5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题 　5.2 位移解法 以位移表示的平衡（或运动）微　分方程 　5.3 应力解法 以应力表示的应变协调方程 ＊5.4 在体力为常量时一些物理量的特征 　5.5 弹性力学的一般原理 　5.6 弹性力学的简单问题

6个，表示物体因变形而引起的位移与应变之间的关系 5.1　弹性力学的基本方程及其边值条件 1、基本方程 15个 （1）平衡（运动）微分方程 3个，表示物体内应力与体力之间的平衡关系 （2）几何方程 6个，表示物体因变形而引起的位移与应变之间的关系

（3）物理方程 6个，表示应力与应变关系的广义虎克定律 用应力表示应变的关系式 用应变表示应力的关系式

2、弹性力学三类边值问题 (在Ｓu上) （1）在全部边界上已知面力，若将边界记作 ，则边界条件为 （1）在全部边界上已知面力，若将边界记作 ，则边界条件为 （2）在全部边界已知位移，若将边界记作 ，则边界条件为 （3）在部分边界 上已知面力，在另一部分边界 Ｓu上已知边界位移，则边界条件为 (在 上) (在Ｓu上)

3、求解弹性力学问题的两种方法 （1）位移解法 求得位移分量 应变分量 应力分量 （2）应力解法 求得应力分量 应变分量 位移分量 　　通常可采用两种方法求解弹性力学问题：一种是以位移分量作为基本变量求解，称为位移解法；另一种是以应力分量作为基本变量求解，称为应力解法。 （1）位移解法 几何方程 物理方程 求得位移分量 应变分量 应力分量 （2）应力解法 物理方程 几何方程 求得应力分量 应变分量 位移分量 满足应变协调方程

5.2 位移解法 以位移表示的平衡(或运动）微分方程 5.2　位移解法　以位移表示的平衡(或运动）微分方程 1、位移解法 以位移分量u、v、w为基本未知量 归结为在给定的边界条件下求解以位移表示的平衡微分方程（拉梅方程）

2、拉梅方程 将应变分量利用几何方程代入以应变表示应力的物理方程 得到以位移表示的平衡微分方程，称为拉梅方程

3、用位移分量表示的应力边界条件 拉梅方程同时反映了静力学，几何学，物理学三方面的性质

5.3 应力解法 以应力表示的应变协调方程 1、应力解法 以应力分量为基本未知量 5.3　应力解法　以应力表示的应变协调方程 1、应力解法 以应力分量为基本未知量 归结为在给定的边界条件下求解由平衡微分方程和应力协调方程组成的偏微分方程组

2、贝尔特拉米－米歇尔方程 把应力表示应变的物理方程代入应变协调方程中，经整理有

　　　　　　　　　　　　　　　，又称以应力表示的协调方程，简称应力协调方程。 以上称为贝尔特拉米－米歇尔方程 如果体力为常数，则它可简化为

＊5.4　在体力为常量时一些物理量的特征

5.5　弹性力学的一般原理 （一）叠加原理：在小变形线弹性情况下，作用在物体上 几组荷载产生的总效应（应力和变形），等于每组 荷载单独作用效应的总和。 （二）解的唯一性定理：假设弹性体受已知体力作用，在 物体的边界上，或者面力已知，或者位移已知，或 者一部分上面力已知，而另一部分上位移已知，则 在弹性体平衡时，体内各点的应力分量与应变分量 是唯一的，对于后两种情况，位移分量也是唯一 的。 （三）圣维南原理（局部性原理）：若在物体任意小部分 上作用一个平衡力系，则该平衡力系在物体内所产 生的应力分布，仅局限于该力系作用的附近区域， 在离该区域的相当远处，这种影响便急剧地减小。

5.5　弹性力学的一般原理 圣维南原理又可表述为:若把作用在物体局部边界上的面力，用另一组与它静力等效（即有相同的主矢量和主矩）的力系来代替，则在力系作用区域的附近应力分布将有显著的改变，但在远处所受的影响可以不计。 下面用Femlab软件来分析悬臂梁分别受两组静力等效的力作用下物体的应力，以此来验证圣维南原理。

悬臂梁左端中点受单位集中力作用应力图： 同一悬臂梁左侧上下端点各受二分之一单位力 作用应力图：

悬臂梁左侧受向上均匀单位分布力作用应力图： 同一悬臂梁左下端受向上的（力的大小等于梁侧宽大小）力的应力图 ：

5.6　弹性力学的简单问题 （一）圆柱体的扭转 1、应力分量 单位长度的扭转角 投影 2、验证满足平衡微分方程,应力协调方程

3、代入静力边界条件 （1）在侧面 边界条件满足 （2）在端面（z=l)

（二）梁的纯弯曲 考察边界条件 在侧面 利用物理方程和几何方程 主距在０y轴上的分量为

为使梁不能随便地平移和转动，假设

考察矩形截面的形状改变 在梁弯曲后，其方程为： (三)柱体在自重影响下的变形 利用物理方程

主体固定的方式与前面两个问题相同 将边界条件用于位移表达式上，得到 柱体轴线上各点的位移：

弹性力学公式

1.应力张量 2.平衡微分方程，又称纳维方程 3.极坐标平衡微分方程

4.切应力互等定理 5.应力边界条件

6.应力状态特征方程 7.几何方程

8.相对位移张量 9.转动分量 　　称为转动矢量， 为转动分量

10.应变分量的变换公式：

11.应变张量不变量

12.应变协调方程 又称 圣维南方程

13.绝热情况下物理方程 14.等温情况下物理方程，称为格林公式　　 15.体应变的胡克定律

16.平衡（运动）微分方程 17.几何方程

18.物理方程 用应力表示应变的关系式 用应变表示应力的关系式

19.边界条件 (在Ｓs上) (在Ｓu上) 20.拉梅方程

21.应力边界条件 22.应力协调方程

23.莱维方程 24.艾里应力函数 为双调和函数又称为艾里应力函数

25.极坐标的几何方程 26.极坐标拉普拉斯算子 27.极坐标协调方程

28.极坐标应力分量 29.极坐标双调和方程 30.斯托克斯公式

31.普朗特应力函数 32.弹性体的虚功原理 33.贝蒂互换定理

34.位移变分方程又称虚位移方程 35.总势能 36.余能 37.卡斯蒂利亚诺公式