第6章 不定积分 6.1不定积分的概念与基本积分公式 6.2换元积分法 6.3分部积分法 6.4几类特殊函数的不定积分

6.1 不定积分的概念和基本积分公式 原函数和不定积分 基本积分公式表 不定积分的线性运算法则

一、原函数与不定积分的概念 定义1： 例

原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例 （ 为任意常数）

关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 证 （ 为任意常数）

二、不定积分 定义2 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分， 根据定义，如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则 其中 C 是任意常数，称为积分常数。

不定积分的相关名称：  ———叫做积分号， f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量。  ———叫做积分号， f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量。 积分号 被积函数 被积表达式 任意常数 积分变量

例1． 例2． 例3． 解：

三、不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。 C1 y=x2+C1 -1 O 1 x y 函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。 y=x2 C2 y=x2+C2 C3 y=x2+C3

例4．求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f (x) 2x， -2 -1 O 1 2 x y yx2+2 所以y=f(x)x2C。 因为所求曲线通过点(1, 3)， 故 31C，C2。 于是所求曲线方程为 yx22。 yx2 (1, 3) ．

四、 基本积分公式 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.

基本积分表  是常数); 说明： 简写为

例 求积分 解 根据积分公式（2）

例1． 例2． 例3．

例4．

例5．

例6． 例7． 例8． 例9． 例10．

例11． 例12．

例13．某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成 成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。 解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以 已知当 x=0 时，y=1000， 因此有 C =1000，

五 、 不定积分的性质 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况）

例14 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.

解 所求曲线方程为

小结 原函数的概念： 不定积分的概念： 基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质

思考题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？

思考题解答 不存在. 假设有原函数 故假设错误 所以 在 内不存在原函数. 结论 每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.

6.2 换元积分法

一、第一类换元法 问题 ？ 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令

在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理

定理1 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同.

例1 求 解（一） 解（二） 解（三）

例2 求 解 一般地

例3 求 解

例4 求 解

例5 求 解

例6 求 解

例7 求 解

例8 求 解

例9 求 原式

例10 求 解

例11 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.

例12 求 解

例13 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形）

解（二） 类似地可推出

例14 设 求 . 解 令

例15 求 解

二、第二类换元法 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 （应用“凑微分”即可求出结果）

则有换元公式 定理2 证 设 为 的原函数, 令 则

第二类积分换元公式

例16 求 解 令

例17 求 解 令

例18 求 解 令

说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令

说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换. 也可以化掉根式 例 中, 令

说明(3) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定. 例19 求 （三角代换很繁琐） 解 令

例20 求 解 令

说明(4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例21 求 令 解

例22 求 （分母的阶较高） 令 解

说明(5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例23 求 解 令

基本积分表 

三 课堂小结： ①第一换元积分法则： ②掌握常见的六种凑微分类型

思考题 求积分

思考题解答

分部积分法

复习引入 一.求下列不定积分： 解： （公式法） （凑微分法） (公式法与凑微分法都不能直接运用) 二.函数积的微分法则 d(uv)=udv+vdu 移项得 udv=d(uv)-vdu 对上式两边求不定积分，得：

分部积分法 新课讲授 如果函数uu(x)及vv(x)具有连续导数，则有 分部积分的过程： (uv) uvuv， 对上述等式两边求不定积分，得 这个公式称为分部积分公式。 分部积分的过程：

新课讲授 注： 根据LIATE法，f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表 前面就选谁为u. 一.分部积分公式： 二. 关键：恰当选取u和确定v. 如何选取u:(LIATE法) L-----对数函数 I-----反三角函数 A-----代数函数 T-----三角函数 E-----指数函数 根据LIATE法，f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表 前面就选谁为u. 即若选f(x)为u,则g(x)dx=dv。v=∫g(x)dx、或v'=g(x). 注： 使用分部积分公式，若选f(x)=u,则v≠g(x) 而v'=g(x).

例题与练习 例1.求下列不定积分 解： 解： 解： 解：

例题与练习 解： 练习1.求下列不定积分

常用解题技巧 (Ⅰ)多次使用分部积分法则 例2. 解： 练习2.求不定积分

常用解题技巧 (Ⅱ)还原法 例3. 解： 练习3：

常用解题技巧 Ⅲ 与换元法相结合 解： 练习4.求不定积分

例5． 例6． 例7． 例8．

例9． 例10． 例11．

例13． 解：因为

练习:用什么积分法求下列积分？

课堂小结与作业 (1)根据LIATE法，恰当选取u和确定v. (2)运用分部积分公式： . (3)掌握常用三种解题技巧.

思考题 在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？

思考题解答 注意前后几次所选的 应为同类型函数. 例 第一次时若选 第二次时仍应选

一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分 6.3 几类特殊函数的 不定积分 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分

一、有理函数的积分 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之.

假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例 难点 将有理函数化为部分分式之和.

有理函数化为部分分式之和的一般规律： （1）分母中若有因式 ，则分解后为 特殊地： 分解后为

（2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为

真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1

例2 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入

例3 整理得

例4 求积分 解

例5 求积分 解

例6 求积分 令 解

说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： 多项式； 讨论积分 令

记 则

这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数.

二、三角函数有理式的积分 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为

令 （万能置换公式）

例7 求积分 解 由万能置换公式

例8 求积分 解（一）

解（二） 修改万能置换公式, 令

解（三） 可以不用万能置换公式. 结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.

例9 求积分 解

三、简单无理函数的积分 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号. 例10 求积分 解 令

例11 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.

例12 求积分 解 先对分母进行有理化 原式

四、小结 有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分.（万能置换公式） （注意：万能公式并不万能） 简单无理式的积分.

思考题 将分式分解成部分分式之和时应注意什么？

思考题解答 分解后的部分分式必须是最简分式.

不定积分 习题课

一、主要内容 原 函 数 不 定 积 分 积分法 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 分部 积分法 直接 积分法 第一换元法 原 函 数 不 定 积 分 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 分部 积分法 积分法 直接 积分法 第一换元法 第二换元法 几种特殊类型 函数的积分

1、原函数 定义 原函数存在定理 即：连续函数一定有原函数．

2、不定积分 (1) 定义

(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. (3) 不定积分的性质

3、基本积分表 是常数)

4、直接积分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法. 5、第一类换元法 第一类换元公式（凑微分法）

常见类型:

6、第二类换元法 第二类换元公式

常用代换:

7、分部积分法 8.选择u的有效方法:LIATE选择法 分部积分公式 L----对数函数； I----反三角函数； A----代数函数；

9、几种特殊类型函数的积分 （1）有理函数的积分 定义 两个多项式的商表示的函数称之. 真分式化为部分分式之和的待定系数法

四种类型分式的不定积分 此两积分都可积,后者有递推公式

（2） 三角函数有理式的积分 定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 令

（3） 简单无理函数的积分 讨论类型： 解决方法： 作代换去掉根号．

二、典型例题 例1 解

例2 解

例3 解

例4 解 (倒代换)

例5 解

解得

例6 解

例7 解

例8 解

例9 解

例10 解

例11 解