第4章 函数的插值 刘东毅 天津大学理学院数学系 4: 函数的插值

函数的插值 Overview: Our goals: 插值函数的基本概念 对一组离散的数据,研究如何建立逼近它的连续的数学模型: 插值多项式 分段插值多项式 样条插值多项式 讨论插值多项式P(x)的存在唯一性、收敛性及误差估计等。 Overview: 插值函数的基本概念 Lagrange插值公式及其余项 Newton插值公式及其余项 Hermite插值 分段插值 三次样条插值 一次课可以讲完前两节。 4: 函数的插值

§4.1 插值问题的基本概念 4: 函数的插值

4.1.1插值法和插值函数 函数类Φ可取 代数多项式 分段多项式 三角多项式 有理函数 我们的问题是： 插值条件 设函数y = f (x) 定义在区间[a , b]上，其解析表达式未知，只能通过实验或观察得到有限的互异的离散的点xk 处的函数值 xk yk=f (xk) x0 f (x0) x1 f (x1) x2 f (x2) … xn f (xn) 在一个函数类Φ中寻求一个简单函数P(x),使满足: 我们的问题是： 插值条件 P(xk) = f (xk) = yk (4.1.1) 4: 函数的插值

定义 4.1.1 设函数 y = f (x) 在区间[a , b]上有定义，且已知点 a≤ x0 < x1 < x2 < … < xn ≤ b 处的函数值 yk = f (xk) (k = 0,1,…,n )。 （4.1.2） 若存在简单函数P(x)∈Φ使得P(xk) = f (xk) = yk , 则称P(x) 为 f (x) 的插值函数，f (x) 称为被插值函数， xk称为插值节点，区间[a , b]称为插值区间， Φ称为插值函数类，求 P(x) 的方法称为插值法。 当选用“某种”特定的插值函数类时，相应的插值法称为“某种”插值法。如选用多项式函数类，相应的插值法称为多项式（或代数）插值法。如选用分段多项式函数类，相应的插值法称为分段多项式插值法。 4: 函数的插值

4.1.2 插值问题的几何解释 本章主要研究多项式插值问题 y = f (x) y = P (x) y x x0 x1 x2 xn O 4: 函数的插值

4.1.3 插值多项式的存在与惟一性 设Pn[x]为次数不超过n 的多项式空间。则在多项式（或代数）插值中，最常见的问题是求一个多项式 P ∈ Pn[x] 满足插值条件： P(xk) = f (xk) = yk (k = 0,1, …,n)， (4.1.1) 此时P(x) 的形式为 P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn (4.1.3) 定理4.1.1 设插值节点x0 , x1 , … , xn 互异，则满足插值条件（4.1.1）且次数不超过n 的插值多项式 (4.1.3) 是存在且唯一的。 满足插值条件的次数不超过 n 的插值多项式是否存在且唯一? 4: 函数的插值

§4.2 Lagrange插值公式及其余项 4.2.1 Lagrange 插值公式 首先讨论低次插值多项式，然后再推广到一般情况。 当n=1时，即已知 y = f (x) 的两个数据点 A(x0, f (x0) )，B(x1, f (x1) )，其中x0  x1,要求线性函数y = L1(x)，使其满足插值条件  L1(x0) = f (x0)， L1(x1) = f (x1) (4.2.1) 从几何上说,就是找一条直线 y = L1(x)，使其通过A (x0, f (x0) )，B (x1, f (x1) )这两个点。 4: 函数的插值

利用直线的两点式公式, y = L1(x) 可表示为 4.2.1 Lagrange 插值公式 x y O y = f (x) x0 x1 A B y = L1(x) 利用直线的两点式公式, y = L1(x) 可表示为 经整理有 4: 函数的插值

显然L1(x) 满足插值条件 (4.2.1)，称之为线性插值公式。 4.2.1 Lagrange 插值公式 显然L1(x) 满足插值条件 (4.2.1)，称之为线性插值公式。 若令 L1(x0) = f (x0) L1(x1) = f (x1) 则 L1(x) = l0 (x) f (x0) + l1(x) f (x1) 。 (4.2.3) 即L1(x) 为l0 (x) 与l1(x) 的线性组合，组合系 数为 f (x0) ，f (x1) . 下面讨论l0 (x) 与l1(x)的特征 4: 函数的插值

且均为一次式，称l0 (x) 与l1 (x)为 一次插值基函数. 4.2.1 Lagrange 插值公式 显然l0 (x) 与l1 (x)满足 且均为一次式，称l0 (x) 与l1 (x)为 一次插值基函数.  一般地，设 y = f (x) 在互异的节点 x0 , x1 ,…, xn 处的函数值为： yk = f (xk) (k = 0 , 1, … , n) 可以构造≤n次的多项式Ln (x)， 使其满足插值条件 Ln (xk) = f (xk) (k = 0 , 1 , … , n) 。 4: 函数的插值

类似于 一次插值(4.2.3)，Ln(x)有如下的形式 4.2.1 Lagrange 插值公式 类似于 一次插值(4.2.3)，Ln(x)有如下的形式 Ln(x) = l0(x) f (x0) + l1(x) f (x1) + … +ln(x) f (xn) , 其中 l0 (x), l1(x), …, ln(x) 均为次数不超过 n 的多项式。为满足插值条件，lk(x)应满足 。 下面计算lk (x) (k = 0 , 1 , … , n) . 由上式知，lk(x) 有根 x0 , x1 , …, xk-1 , xk+1 , xn，则 lk(x) = c (x - x0) …( x–xk-1) ( x – xk+1)…( x – xn)。 4: 函数的插值

4.2.1 Lagrange 插值公式 再由lk(xk) = 1，得 于是 从而有 。 (4.2.6) 1 = c (xk - x0)( xk - x1)    ( xk - xk-1)( xk - xk+1)    ( xk - xn)， 于是 从而有 。 (4.2.6) 上式 (4.2.6) 称为Lagrange插值公式。 4: 函数的插值

为了后面的讨论，Lagrange插值公式可写成如下形式 lk(x) (k = 0 , 1 , … , n) 称为节点x0 ,,x1,…,xn上的n次Lagrange插值基函数，Ln(x) 称为n次Lagrange 插值多项式。 为了后面的讨论，Lagrange插值公式可写成如下形式 其中 ， 4: 函数的插值

插值基函数lk(x)的图形 线性插值基函数 二次插值基函数 y lk (x) lk+1 (x) xk xk+1 x y xk-1 xk x 4: 函数的插值

例4.2.1 已知 y = f (x) 的三个数据点 (-1,4) , (0,-1) , (1,2) 。求二次Lagrange插值基函数和 L2(x)。 解：依题意，设x0= -1,x1=0,x2=1,则 因此有 4: 函数的插值

定义4.2.2 设Ln(x)为 f (x)的Lagrange插值多项式， Rn(x) = f (x) -Ln(x) 定理 4.2.1 设函数 f (x) 的 n 阶导数 f (n)(x) 在区间[a , b]上连续，n + 1 阶导数 f (n+1)(x) 在区间 (a , b) 内存在，Ln(x) 为 f (x) 在互异节点x0 , x1 , … xn 上的 n 次 Lagrange插值多项式，则对任意的 x∈[a , b] , 插值余项 关于此余项有如下定理. 其中ξ∈(a ,b)且依赖于x. 4: 函数的插值

Lagrange插值余项 其中ξ∈(a ,b)且依赖于x. f (n+1) (ξ) 一般是未知的 4: 函数的插值

在 Lagrange 插值余项中含有一项 f (n+1) (ξ) ,由于ξ一般是 x 的未知函数，所以 f (n+1) (ξ) 一般是未知的，故此公式使用起来很不方便 。 人们往往用下列误差估计式 其中 注1： 注2： 可以看出，|ωn+1 (x) | 越小，则| Rn (x) |也越小. 因此当求插值点 x 处 f (x) 的近似值 Ln(x) 时，应尽量选取与 x 最接近的插值节点作插值且最好使用内插公式。一般来讲，内插比外推误差小。 4: 函数的插值

这是 Lagrange 插值基函数所满足的关系式。 注3： 当 f (x) 是 ≤n次的多项式时, f (n+1) (x) = 0 , 由此推出 Rn (x) = 0,从而有 f (x) = Ln (x),即此时f (x) 的 n 次Lagrange插值多项式就是其自身.特殊地,当 f (x) = 1 时,有 这是 Lagrange 插值基函数所满足的关系式。 4: 函数的插值

例4.2.2 设函数 f (x) = sin x 的数据表如下： xk 0.0 0.1 0.2 0.3 yk=f (xk) 0.0000 0.0998 0.1987 0.2955 利用线性和二次Lagrange插值公式求f (0.15)的近似值，并利用余项公式估计误差。 解： (1) 利用线性插值公式 取x0= 0.1,x1= 0.2为插值节点，x = 0.15为插值点，代入线性插值公式，有 4: 函数的插值

由余项公式(4.2.12) 知 4: 函数的插值

所以f (0.15)的线性插值近似值为0.1493，误差不超过2.49×10-4。 而在 [0.1, 0.2]上 ， 故 。 所以f (0.15)的线性插值近似值为0.1493，误差不超过2.49×10-4。 4: 函数的插值

再取x0=0.0，x1=0.1，x2=0.2为节点，插值点 x = 0.15，代入二次插值公式 (2) 利用二次插值公式 再取x0=0.0，x1=0.1，x2=0.2为节点，插值点 x = 0.15，代入二次插值公式 4: 函数的插值

。 所以f (0.15)的二次插值近似值为0.1494 。 4: 函数的插值

绝对误差为 由于在区间[0.0, 0.2]上 故 。 所以绝对误差不超过6.25×10-5。 4: 函数的插值

4.2 Lagrange 插值公式及其余项 说明： 近似值保留四位小数是由于题目中没有限定精度，而所给的数据最多有四位小数，为保证数值结果的精确性，计算结果保留了四位小数。而在误差估计中，若没有特殊要求，只需保留二至三位有效数字即可，关键是数量级（这里是10-4、 10-5 ）不能有错。 在作二次插值时没选0.1，0.2和0.3作为节点，主要因为在估计误差时cos x在区间[0.1, 0.3] 上的最大值不易计算且计算时会有误差。再者也由于f (0.0)为0，可少算一项。 在作插值时尽量用内插且选择与插值点接近的节点。内插与外插相比，一般来说前者的误差较小。 4: 函数的插值

§4.3 Newton插值公式及其余项 Lagrange 插值基函数 lk (x) 是用插值节点 xk 确定的, 因此每增加一个插值节点，插值基函数的结构就要发生变化，以前的计算结果毫无用处。我们希望当增加插值节点时，以前的计算结果可以继续使用。 Newton 插值具有此优点。 而Newton 插值与差商有关，使用差商表示的，故首先介绍差商。 在我们设计算法时，应尽量拥有这种属性，即已经算出的结果，应能够继续使用。 Lagrange插值法是根据插值条件的几何意义，来计算插值多项式的。 而牛顿插值法是通过引入插商的概念，来计算插值多项式的。 4: 函数的插值

1.差商的定义及性质 定义4.3.1 称 f [x0] = f (x0) 为关于x0 的零阶差商。 称 称 为 f (x) 关于x0 , xk 两点的一阶差商。 称 为 f (x) 关于x0 , x1 , xk 三点的二阶差商。 在上述定义中，若视 xk为变量，则得到差商函数的概念，即 4: 函数的插值

高一阶的差商（函数）是低一阶差商（函数）的一阶差商。 和 分别为一阶差商函数和二阶差商函数。为了方便，也可称 f (x) 为零阶差商函数，记为 f [x] 。 由此可以看出， f (x) 关于x0 , xk 的一阶差商就是零阶差商函数 f [x]在x0 , xk 的一阶差商；f (x)关于x0 , x1, xk 的二阶差商就是一阶差商函数 f [x0, x] 在 x1 , xk 的一阶差商。也就是说， 高一阶的差商（函数）是低一阶差商（函数）的一阶差商。 4: 函数的插值

差商又称均差，在不引起混淆的情况下，差商函数亦可简称为差商。下面介绍差商的性质。 一般地，称 为 f (x) 关于x0 , x1 , … , xk 的 k 阶差商。 函数 f (x) 的 k 阶差商 f [x0 , x1 , … , xk] 可以看成是k-1 阶差商函数 f [x0 , x1 , … , xk-2, x] 关于 xk-1， xk 处的一阶差商。 差商又称均差，在不引起混淆的情况下，差商函数亦可简称为差商。下面介绍差商的性质。 4: 函数的插值

差商的性质 性质1 函数 f (x) 的 k 阶差商 f [x0 , x1 , … , xk]可表示为函数 f (x0) , f (x1) , … , f (xk) 的线性组合： 其中 。 性质2 差商 f [x0 , x1 , … , xk] 为 x0 , x1 , … , xk 的对称函数, 即在 f [x0 , x1 , … , xk] 中任意调换节点 x0 , x1 , … , xk 的位置, 保持差商值不变。 4: 函数的插值

由性质2，我们可以得到差商的另一种定义或计算公式： 根据(4.3.1)式，得到 x0平移到xk-1与xk之间 性质 3:分子在取xk时为零，故有因子x-xk 4: 函数的插值

实际上，利用(4.3.1) 性质 3:分子在取xk时为零，故有因子x-xk 4: 函数的插值

有了插商的概念之后就可以引入Newton 插值 性质 3 若 f (x) 的 k 阶差商 f [x0 , x1 , … , xk-1 , x] 为 x 的 m 次多项式，则其 k +1 阶差商 f [x0 , x1 , … , xk , x]为 x 的 m - 1 次多项式。 推论 若 f (x) 是 n 次多项式，则当 k ≤n 时，其 k 阶差商 f [x0 , x1 , … , xk-1 , x]是n - k次多项式,当 k > n时为零。 有了插商的概念之后就可以引入Newton 插值 性质 3:分子在取xk时为零，故有因子x-xk 4: 函数的插值

2. Newton 插值公式及其余项 4: 函数的插值

2. Newton 插值公式及其余项 4: 函数的插值

2. Newton 插值公式及其余项 其中 4: 函数的插值

2. Newton 插值公式及其余项 利用Lagrange插值余项公式 有 其中x 表示与x有关 4: 函数的插值

这是n阶差商与n阶导数之间的关系，其中 与xn有关。 2. Newton 插值公式及其余项 于是可导出 这是n阶差商与n阶导数之间的关系，其中 与xn有关。 要计算Newton插值多项式Nn(x)， 就要知道各阶插商。 为此，首先构造差商表： 4: 函数的插值

差商表的构造 xk f (xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 x0 x1 x2 x3 f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) f [x0 , x1] f [x1 , x2] f [x2 , x3] f [x0 , x1 , x2] f [x1 , x2 , x3] f [x0 , x1 , x2 , x3] 表中横线上的各阶差商正式 Newton 插值公式所需的数据，计算、编程均方便. 当增加一个插值节点时，只需多计算一项原来的计算仍然有效，这一点比 Lagrange 插值要优越。 4: 函数的插值

试用二次及三次 Newton 插值公式计算 f (-0.5) 的近似值（保留四位有效数字）。 例 4.3.1 已知函数 f (x) 的数据表如下： xk f (xk) -1 4 1 2 3 6 试用二次及三次 Newton 插值公式计算 f (-0.5) 的近似值（保留四位有效数字）。 解：首先作差商表如下 xk f (xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 3 6 2 -1/3 -13/12 -1 4 0 -1 -5 1 2 3 4 4: 函数的插值

由 N2 (x) = f (x0) + f [x0 , x1](x- x0) + f [x0 , x1 , x2](x - x0)(x - x1) 得 N2 (x) = 4 - 5(x+1) + 4(x + 1)(x - 0) = 4x2 - x-1。 所以 f (-0.5) ≈ N2 (-0.5)= 0.5000。 因 N3 (x) = N2 (x) - (x - x0)(x - x1)(x – x2) 故 f (-0.5) ≈ N3 (-0.5) = N2 (-0.5) - ( -0.5 +1)(-0.5 - 0 )(-0.5 -1) = 0.09375。 4: 函数的插值

在前面的讨论中，只要求节点互异，没有其它限制。 若将插值节点重新排序为 xn xn-1, …, x1 , x0 , 相应的 Newton 插值公式成为 4: 函数的插值

但当这些节点等距时，Newton 插值公式则会得到简化。并且这种情况在实际问题中会经常遇到和使用。 4: 函数的插值

3.差分的定义 设函数 y = f (x) 在等距节点 xk = x0 + kh (k = 0 , 1 , … n )处的函数值为 fk = f (xk) , h 为步长。 定义 4.3.2 称 为 f (x) 在 xk 处的一阶向前差分. 称 为 f (x) 在 xk 处的一阶向后差分. 4: 函数的插值

另外还有一种重要的差分：中心差分。 称 为 f (x) 在 xk 处的一阶中心差分. 4: 函数的插值

由一阶差分可以定义二阶差分： 二阶向前差分 二阶向后差分 4: 函数的插值

Δm = Δ(Δm-1), m=(m-1), Δ0 = 0 =I。 规定零阶向前差分 0fk = fk 一般地有 m 阶向前差分 m 阶向后差分 由以上定义，可以看出差分是一种运算（称其为算子）。Δ - 向前差分算子，-向后差分算子，I - 恒等算子（亦称单位算子， I fk = fk ） 。这样，我们可以得到： Δm = Δ(Δm-1), m=(m-1), Δ0 = 0 =I。 4: 函数的插值

4.差分的性质 性质 1 常数的差分为零. 性质 2 差分与函数值可互相线性表示，即 4: 函数的插值 性质 1 常数的差分为零. 性质 2 差分与函数值可互相线性表示，即 性质 2：若 f (x) 是 x 的 m 次多项式，则其 k 阶差分Δkf(x) 当0≤k≤m 时为 m - k 次多项式；当 k > m 时为零. 4: 函数的插值

性质 3 向前向后差分存在如下关系 性质 4 差分与差商之间有如下关系 向前差分 向后差分 特别的， 4: 函数的插值

根据差分与差商的关系，我们就可以利用Newton插值公式来构造等距节点的Newton插值公式。为此，我们先写出差分表。由于向前差分与向后差分的关系，我们只需构造出向前差分表和向后差分表中的一个即可。 我们构造向前差分表如下： 4: 函数的插值

向前差分表的构造 fk f0 f1 f2 f3 f4 性质4：向前、向后差分关系 4: 函数的插值

5.等距节点的插值公式 Newton 前插公式 若插值点 x 在 x0 附近 ( 不妨设 x0 ≤ x ≤ x1 ) , 设 x = x0 + th ( 0 ≤t ≤1 )，则根据Newton 插值公式及差商与向前差分的关系，有： 利用 其中余项为 4: 函数的插值

若插值点 x 在 xn 附近 ( 不妨设 xn-1 ≤x≤xn ) ,设 Newton 后插公式 若插值点 x 在 xn 附近 ( 不妨设 xn-1 ≤x≤xn ) ,设 x = xn + th ( -1 ≤t ≤0 )，则根据Newton 插值公式及差商与向后差分的关系，有： 利用 其中余项为 4: 函数的插值

利用三次 Newton 前插公式与后插公式分别计算 sin0.12 和 sin0.58的近似值，并利用余项公式估计误差。 例4.3.2. 设 y = sinx 的 函数表如下： xk yk= sinxk 0.1 0.099 83 0.2 0.198 67 0.3 0.295 52 0.4 0.389 42 0.5 0.479 43 0.6 0.564 64 利用三次 Newton 前插公式与后插公式分别计算 sin0.12 和 sin0.58的近似值，并利用余项公式估计误差。 4: 函数的插值

解：首先作差分表如下（向前差分 ） xk f k 0.1 0.099 83 0.098 84 - 0.001 99 - 0.000 96 0.1 0.099 83 0.098 84 - 0.001 99 - 0.000 96 0.2 0.198 67 0.096 85 - 0.002 95 - 0.000 94 0.3 0.295 52 0.093 90 - 0.003 89 - 0.000 91 0.4 0.389 42 0.090 01 - 0.004 80 0.5 0.479 43 0.085 21 0.6 0.564 64 4: 函数的插值

先用二次Newton前插公式求sin0.12的近似值， 因0.12介于0.1与0.2之间，故取 x0 = 0.1, 此时 先用二次Newton前插公式求sin0.12的近似值， 4: 函数的插值

由三次Newton前插公式的余项误差估计式 计算器计算的值 sin(0.12)  0.1197122072889193599673 4: 函数的插值

利用三次 Newton后插公式求 sin0.58 的近似值， 因0.58介于0.5与0.6之间，故取xn = x5 = 0.6 ,此时 利用三次 Newton后插公式求 sin0.58 的近似值， 4: 函数的插值

由三次Newton后插公式的余项误差估计式 计算器计算的值 sin(0.58)  0.54802393679187355618 4: 函数的插值

根据原始数据的精度，一般计算结果保留与原始数据同样的精度。 在计算插值时应注意的事项 插值多项式阶数的选取.根据原始数据差分的变化，若所有第k阶差分几乎不变或为零，则一般选用k阶插值多项式。特别地，在不考虑误差的情况下，若所有第k阶差分恒为零，则原始数据分布在一个k-1阶多项式上。 根据原始数据的精度，一般计算结果保留与原始数据同样的精度。 4: 函数的插值

§4.4 Hermite 插值公式及其余项 若不仅要求插值多项式 H(x) 在互异节点 xj (j = 0 , 1 , … , n) 处与 f (x) 的函数值相等，而且还要求它们在上述节点处的导数值相等，则满足这种条件的插值多项式 H(x) 称为 f (x) 的 Hermite 插值多项式。 4: 函数的插值

1. Hermite 插值多项式 设 y = f (x) 在插值节点 xj 处的函数值为 一阶导数值为 要求插值多项式 H (x) ，使得 共给出 2n + 2 个 条件，因此H(x)次 数不超过 2n + 1 一阶导数值为 要求插值多项式 H (x) ，使得 则满足这种条件的插值多项式H(x)称为 f (x)的Hermite插值多项式,记 H(x) 为 H2n+1(x) 。 仍采用插值基函数的方法构造之。 4: 函数的插值

设 其中 称为 Hermite 插值基函数. 要求: 是2n+1次多项式 是2n+1次多项式 4: 函数的插值

可以求得 可以证明 Hermite插值 多项式的唯一性 整理后得 Hermite 插值多项式 4: 函数的插值

2. Hermite 插值公式的余项 定理 4.4.1设函数 f (2n+1)(x) 在区间[a , b]上连续， f (x) 的2n + 2阶导数在区间 (a , b) 内存在，则 Hermite 插值公式的余项为 关于 Hermite 插值公式的余项有如下定理. 其中 且依赖于 x . 因此有误差估计式: 其中: 4: 函数的插值

重要特例：n = 1 时的Hermite 插值公式 取节点xk及xk+1, 插值多项式为H3(x), 满足条件 于是可以求得 4: 函数的插值

§4.5 分段插值 通过前面的讨论已经知道插值节点越多，所做插值多项式的次数也越高，但这并不意味着所做的高次插值多项式与被插值函数的误差越小，往往效果不一定好。 Runge曾给出一个实例说明了此现象，称为高次插值的Runge现象。 即使不考虑数据本身的特征和误差，多项式也有其自身的特点，用它来近似其它函数时必然会有差异。 4: 函数的插值

1. 高次插值的Runge现象 令 ，在区间[-5, 5]上取等距 节点： 作n次lagrange插值多项式 ， 分别取n=6和10，画出L6(x)与L10(x)的函数图形如下： 4: 函数的插值

Runge现象演示图 当n→∞时，Ln(x) 仅在|x|≤3.63内收敛于f(x)，在此区间外发散。 4: 函数的插值

2.分段插值 在实际计算中，为避免高次多项式插值的Runge现象，而采用分段低次插值，即把插值区间 [a, b] 分成若干个小区间 [xi-1, xi] (i=1,2,…,n)，然后在每个小区间上进行低次（一次、二次或三次）多项式插值。 4: 函数的插值

定义1：设函数 y = f (x)在节点 a=x0<x1<…<xn=b 处的函数值为yk= f (xk) (k = 0,1,…,n).求一折线函数h(x)使满足 在区间[a, b]上连续，即h C[a, b] ； h(xk) = f (xk) (k = 0,1,…,n) 在小子区间[xk, xk+1], (k=0,1,…,n-1)上为线性函数： 阶段表达式 则折线函数h(x)称f(x)为在[a, b]上的分段线性插值多项式（或分段线性插值函数）。 4: 函数的插值

类似地, 我们可以定义分段二次插值多项式（分段抛物插值函数），分段三次插值多项式（分段立方插值函数）和分段三次Hermite插值多项式等。 4: 函数的插值

§4.6 三次样条插值 分段线性插值与分段二次插值函数虽然在整个区间 [a , b]上连续，但是在插值节点处的一阶导数往往不存在；分段三次Hermite 插值函数在整个区间 [a , b]上有连续的一阶导数, 但在插值节点处二阶导数往往不存在. 在工程实践中，往往要求在插值节点处二阶导数连续,这样才能满足实际生产的需要。在数学上，这种曲线经数学模拟后即得到样条函数，它实际上是由分段三次多项式连接而成的 . 4: 函数的插值

满足(1) , (2) 的 S(x) 称为三次样条函数。 1.三次样条插值函数及其定解条件 定义4.6.1 设函数y = f(x)在区间[a, b]上互异的节点 a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b 处的函数值为 yj = f (xj) ( j = 0 , 1 , … , n) , 若分段函数 S(x) 满足： 满足(1) , (2) 的 S(x) 称为三次样条函数。 (1) S∈C2[a, b],即S(x)在[a, b]上二阶导数连续； (2) 在每个子区间 [xj , xj+1] (j = 0 , 1 ,… , n-1) 上是次数小于等于3的多项式； (3) S(xj) = yj ( j = 0 , 1 , … , n) ； 则称 S(x) 为 f (x) 在节点 xj (j = 0 , 1 , …, n) 上的三次样条插值函数。 4: 函数的插值

(2*) 在每个子区间 [xj , xj+1] (j = 0 , 1 ,… , n-1) 上是次数≤m 的多项式； 更一般地，若S(x) 满足 (1*) S∈ Cm-1 [a , b] , 即 S(x) 在[a, b]上m-1阶导数连续； (2*) 在每个子区间 [xj , xj+1] (j = 0 , 1 ,… , n-1) 上是次数≤m 的多项式； 则称 S(x) 为m次样条函数。 本节我们主要研究三次样条插值函数问题，即要求的是一个满足插值条件(3)的三次样条插值函数，计算该问题的方法称为三次样条插值法。为此需要讨论其定解条件。 4: 函数的插值

由于 S∈C2 [a , b] , 故在内节点 xj ( j = 1,2,… ,n-1) 处应满足下列连续性条件 要计算三次样条插值函数 S(x), 只需在每个小子区间 [xj , xj+1]上确定一个三次多项式 n 个区间, 共需要 4n 个条件 由于 S∈C2 [a , b] , 故在内节点 xj ( j = 1,2,… ,n-1) 处应满足下列连续性条件 共3n-3个条件 再加上 S(xj) = yj ( j = 0 , 1 , … , n) 已提供的 n+1 个条件, 这样上面共给出 4n - 2 个条件. 4: 函数的插值

然而要确定整个三次样条插值函数S(x)，必须确定4n个系数. 条件（1）和（3）共提供了4n-2个方程，还缺少两个方程 然而要确定整个三次样条插值函数S(x)，必须确定4n个系数. 条件（1）和（3）共提供了4n-2个方程，还缺少两个方程. 由于这两个条件通常在区间 [a，b]的两个端点处给出，故称之为边界（或端点）条件。 边界条件应根据实际问题的要求提出，其类型很多，常见的类型有如下三种条件： 4: 函数的插值

由于y=f(x)是以xn–x0 为周期，f(x0)=f(xn)，必有S(x0-0)=S(xn+0)，所以真正起作用的是后两个等式。 第一类：给出两端点的一阶导数 当M0 = Mn= 0 时称其为 自然边界条件。 满足自 然边界条件的样条函数 称为自然样条函数 。 第二类：已知两端点的二阶导数 第三类：当 y = f (x) 是以 xn - x0 （= b - a）为周期的周期函数时，则要求 S(x) 也是以 xn - x0 为周期的周期函数, 此时边界条件为 由于y=f(x)是以xn–x0 为周期，f(x0)=f(xn)，必有S(x0-0)=S(xn+0)，所以真正起作用的是后两个等式。 4: 函数的插值

2.求三次样条插值函数的三弯矩法 利用节点处的二阶导数来表示三次样条插值函数 假设 利用线性插值公式可知 经过两次积分得 ，hj = xj+1 - xj (j = 0, 1,… n -1)。 Mj 在力学上称为 细梁在截面的弯矩 利用线性插值公式可知 经过两次积分得 4: 函数的插值

利用插值条件 S (xj) = yj , S (xj+1) = yj+1 , 可知 此即为用二阶导数Mj来表示的三次样条插值函数S(x)，此时 Mj 未知，下面来计算这些 Mj 。 于是 4: 函数的插值

因此求得（注意：S(x)是一个分段函数） 利用 并令 则得到下列三弯矩方程 4: 函数的插值

在 (4.6.11)中，有n-1个方程，n+1个未知量Mj ，还差两个方程，才能确定这n+1个Mj 。 三弯矩方程 这就是n-1个三弯矩方程 (4.6.11) 在 (4.6.11)中，有n-1个方程，n+1个未知量Mj ，还差两个方程，才能确定这n+1个Mj 。 想一想，如何补足这两个方程？ 4: 函数的插值

边界条件的处理 (1) 若补充第一类边界条件，利用S’(x)的计算公式，有 利用三弯矩方程(4.6.11) ，联立方程组可得 4: 函数的插值

(2) 若补充第二类边界条件，有 利用三弯矩方程(4.6.11) ，联立方程组可得： 4: 函数的插值

(3) 若补充第三类边界条件，由 知 由 可导出 其中 利用三弯矩方程(4.6.11) ，联立方程组可得： 4: 函数的插值

S ’(xj) = mj ，S ’(xj+1) = mj+1。 3.求三次样条插值函数的三转角法 就是利用节点处的一阶导数来表示三次样条插值函数。 设S’(xj) = mj (j=0,1,…,n) ，则S(x)在子区间[xj,xj+1]上满足： S (xj) = yj , S (xj+1) = yj+1; S ’(xj) = mj ，S ’(xj+1) = mj+1。 利用n = 1时的Hermite插值公式，S(x) 的计算公式如下： 4: 函数的插值

这样计算S(x)的问题就转化为求mj (j=0,1,…,n)的问题。 其中 ， 。 这样计算S(x)的问题就转化为求mj (j=0,1,…,n)的问题。 记 4: 函数的插值

在第一种边界条件下，m0，m1，…，mn-1，mn满足以下方程组 ： 4: 函数的插值

在第二种边界条件下，m0，m1，…，mn-1，mn满足以下方程组 ： 这里 4: 函数的插值

在第三种边界条件下，m0，m1，…，mn-1，mn满足以下方程组 ： m0 = mn 和 这里 4: 函数的插值

本章小结 理解插值函数的基本概念及插值多项式P(x)的存在与唯一性定理。 熟练掌握Lagrange插值，Newton插值。 掌握相关概念（差商和差分等）和性质等，并运用之解题。 利用相关的插值公式及其余项进行计算。 理解Hermite插值，分段插值和三次样条插值的基本思想，掌握相关概念。 4: 函数的插值