数值计算方法第八章常微分方程初值问题数值解法　重庆邮电大学.

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数值分析第五节数值微分在实际问题中，往往会遇到某函数 f(x) 是用表格表示的, 用通常的导数定义无法求导, 因此要寻求其他方法近似求导。常用的数值微分方法有 : 一. 运用差商求数值微分二.运用插值函数求数值微分三. 运用样条插值函数求数值微分四. 运用数值积分求数值微分.

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第六章数值微分 6.1 插值型数值微分公式 6.2 插值型数值积分. 6.1 插值型数值微分公式当 x 为插值节点时，上式简化为故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数值进行近似计算，以便估计误差。一般地这类公式称为插值型数值微分公式。

数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第 8 章常微分方程实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些性质。但是，只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是.

高等数学（ XJD ）第二章导数与微分返回高等数学（ XAUAT ）高等数学（ XJD ）求导法则基本公式导数导数微分微分微分微分求导方法高阶导数微分法则导数与微分关系图导数与微分关系图.

一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分公式及微分法则四、微分在近似计算中的应用五、小结思考题.

1 函数的微分微分的定义微分的几何意义基本初等函数的微分公式与微分的运算法则微分在近似计算中的应用微分的近似计算误差估计基本初等函数的微分公式和、差、积、商的微分法则复合函数的微分法则.

一、一阶线性微分方程及其解法二、一阶线性微分方程的简单应用三、小结及作业 §6.2 一阶线性微分方程.

第五节全微分方程一、全微分方程及其求法二、积分因子法三、一阶微分方程小结. 例如所以是全微分方程. 定义 : 则若有全微分形式一、全微分方程及其求法.

新疆医科大学主讲人：张利萍计算方法. zlp 第五章常微分方程数值解 5.1 引言 ( 基本求解公式 ) 5.2 Runge-Kutta 法 5.3 微分方程组和高阶方程解法简介.

第五节函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分形式不变性五、微分在近似计算中的应用六、小结.

第二章导数与微分习题课主要内容典型例题测验题. 求导法则求导法则求导法则求导法则基本公式导数导数微分微分微分微分高阶导数高阶微分一、主要内容.

目录上页下页返回结束习题课一、导数和微分的概念及应用二、导数和微分的求法导数与微分第二章.

第九章常微分方程数值解法 §1 、引言. 微分方程的数值解：设方程问题的解 y(x) 的存在区间是 [a,b] ，令 a= x 0 < x 1

1 第八章常微分方程数值解法. 2 1 ．微分方程的数值解法 3 在这些节点上把常微分方程的初值问题离散化为差分方程的相应问题，再求出这些点上的差分方程的解作为相应的微分方程的近似值（满足精度要求）。

2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用.

第八章第四节机动目录上页下页返回结束一个方程所确定的隐函数及其导数隐函数的微分法.

常系数线性微分方程组 §5.3 常系数线性方程组. 常系数线性微分方程组一阶常系数线性微分方程组 : 本节主要讨论 (5.33) 的基解矩阵的求法.

第七节函数的微分一、微分概念二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、小结.

1 第八章常微分方程初值问题的数值解法. 2 第八章常微分方程数值解法 8.1 引言 ( 基本求解公式 )8.1 引言 ( 基本求解公式 ) 8.2 Runge-Kutta 法8.2 Runge-Kutta 法 8.3 微分方程组和高阶方程解法简介8.3 微分方程组和高阶方程解法简介.

高等数学一主讲杨俊演示文稿制作杨俊. 高等数学一第 3 章一元函数微分学的应用第 4 章一元函数积分学及应用第 1 章函数、极限与连续第 2 章导数与微分.

第 4 章数值微积分. 4.1 内插求积 Newton-Cotes 公式第 4 章数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes 公式.

2.6 隐函数微分法第二章第二章二、高阶导数一、隐式定义的函数三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数, 由表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此隐函数求导方法.

计算机数学基础（下）－－数值分析教师：孙继荣电话： 028 －

1 热烈欢迎各位朋友使用该课件！广州大学数学与信息科学学院. 2 工科高等数学广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东.

2.5 函数的微分一、问题的提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分的求法六、小结.

第二章导数与微分. 二、微分的几何意义三、微分在近似计算中的应用一、微分的定义 2.3 微分.

2.3 函数的微分. 四川财经职业学院课前复习高阶导数的定义和计算方法。作业解析：

第三节微分 3.1 、微分的概念 3.2 、微分的计算 3.3 、微分的应用. 一、问题的提出实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.

1.非线性振动和线性振动的根本区别 §4-2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法方程

一、二阶行列式的引入用消元法解二元线性方程组. 一、二阶行列式的引入用消元法解二元线性方程组.

第三章函数逼近 — 最佳平方逼近.

《高等数学》（理学）常数项级数的概念袁安锋

第二章数值微分和数值积分.

恰当方程（全微分方程）一、概念二、全微分方程的解法.

高等数学电子教案第五章　定积分第三节微积分基本定理.

第五节微积分基本公式、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系二、积分上限函数及其导数三、牛顿—莱布尼茨公式.

一、原函数与不定积分二、不定积分的几何意义三、基本积分公式及积分法则四、牛顿—莱布尼兹公式五、小结

第二节微积分基本公式 1、问题的提出 2、积分上限函数及其导数 3、牛顿—莱布尼茨公式 4、小结.

第九章常微分方程数值解  考虑一阶常微分方程的初值问题

9.1 数值积分基本方法 9.2 梯形积分 9.3 Simpson积分 9.4 Newton-Cotes积分 9.5 Romberg积分

§5.3 定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法三、小结、作业.

第四章数值积分与数值微分 — 基本概念 — Newton-Cotes 公式.

计算方法第2章数值微分与数值积分 2.1 数值微分.

第5章定积分及其应用基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法

定积分习题课.

第三节函数的求导法则一函数的四则运算的微分法则二反函数的微分法则三复合函数的微分法则及微分形式不变性四微分法小结.

不确定度的传递与合成间接测量结果不确定度的评估

计算机数学基础(下) 第5编数值分析第14章常微分方程的数值解法.

第四节一阶线性微分方程线性微分方程伯努利方程小结、作业 1/17.

第三节格林公式及其应用（2）一、曲线积分与路径无关的定义二、曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分的求积四、小结.

§5 微分及其应用一、微分的概念实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..

第三章数值积分法在系统仿真中的应用 3.1 连续系统仿真中常用的数值积分法……………. 3.2 刚性系统的特点及算法………………………….

第三章导数与微分习题课主要内容典型例题.

2-7、函数的微分教学要求教学要点.

§5 微分及其应用一、微分的概念实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..

§3 微分及其运算一、微分的定义二、基本初等函数的微分公式与微分运算法则.

穩定是指偏離平衡時能夠回復平衡的特性，控制則是改變飛行狀態的機制。

/* Numerical Methods for Ordinary Differential Equations */

第四章数值积分与数值微分 — 复合求积公式 — Romberg 算法.

计算机数学基础主讲老师: 邓辉文.

计算机数学基础(下) 第5编数值分析第12章数值积分与微分(续).

第三节泰勒 ( Taylor )公式 — 应用一、泰勒公式的建立二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用第三章理论分析

Partial Differential Equations §2 Separation of variables

第三章　函数的微分学第二节　导数的四则运算法则一、导数的四则运算二、偏导数的求法.

第三节函数的微分 3.1 微分的概念 3.2 微分的计算 3.3 微分的应用.

教学大纲（甲型，54学时）教学大纲（乙型， 36学时）

实验四利用Mathematica解方程实验目的：学会正确使用Solve和FindRoot及DSolve解各类方程预备知识：

《偏微分方程》第一章绪论第一章绪论 1.1.

西南科技大学网络教育系列课程数学软件数学软件第7讲 MATLAB符号计算二主讲教师: 鲜大权副教授西南科技大学理学院数学系.

一元一次方程的解法(－).

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数值计算方法第八章常微分方程初值问题数值解法　重庆邮电大学

第八章常微分方程初值问题的数值解法 8.1 欧拉(Euler)方法 8.2 Runge-Kutta方法 8.3 阿达姆斯(Adams)方法 8.4 收敛性与稳定性 8.5 方程组与高阶方程的数值解法　重庆邮电大学

引言在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解引言在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解在高等数学中我们见过以下常微分方程： -----------(1) (1)式称为初值问题(Cauchuy问题) 本课程主要研究问题(1)的数值解法　重庆邮电大学

我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件定理1. 对于问题(1),要求它的数值解　重庆邮电大学

而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过从(1)的表达式 -----------(1) 可以看出,求它的数值解的关键在于而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过　重庆邮电大学

求数值解，首先应将微分方程离散化，常用的方法有： (1)用差商代替微商若用向前差商代替微商，即代入（1）中的微分方程，则得记的近似值 ,则由上式可算出的近似值,即 -----------(2) 　重庆邮电大学

将函数在处展开,取一次Taylor多项式近似,则得 (2) 数值积分法利用数值积分法左矩形公式可得同样算法 (3)用泰勒（Taylor）公式将函数在处展开,取一次Taylor多项式近似,则得从而也得到离散化计算公式　重庆邮电大学

8.1 Euler方法一、Euler方法为了讨论方便,假设以下节点为等距节点对于初值问题(1) -----------(1) 在下列子区间上分别应用两点数值微分公式　重庆邮电大学

(一) Euler公式 --------(3) 　重庆邮电大学

--------(4) --------(5) 由(3)式每组的前一半可得记其中 (4)和(5)式称为求解初值问题(1)的(前进)Euler公式和误差项　重庆邮电大学

--------(6) --------(7) 由(3)式每组的后一半可得记其中 (6)和(7)式称为求解初值问题(1)的后退Euler公式和误差项　重庆邮电大学

从(4)或(5)式不难看出, 这种类型的方法称为单步格式或单步法 Euler方法的几何体现: 前进Euler公式后退Euler公式　重庆邮电大学

例1. 解: 由前进Euler公式　重庆邮电大学

得 0 1.0000 0.1000 1.1000 0.2000 1.1918 0.3000 1.2774 0.4000 1.3582 0.5000 1.4351 0.6000 1.5090 0.7000 1.5803 0.8000 1.6498 0.9000 1.7178 1.0000 1.7848 依此类推,有　重庆邮电大学

--------(8) 由于后退Euler公式是隐形公式,计算例1将很麻烦事实上大多数情况下用后退Euler公式都较困难此方法称为预测—校正系统　重庆邮电大学

用Euler公式的预测——校正系统求解例1. 例2. 用Euler公式的预测——校正系统求解例1. 解: 由(8)式,有　重庆邮电大学

0 1.0000 0.1000 1.0918 0.2000 1.1763 0.3000 1.2546 0.4000 1.3278 0.5000 1.3964 0.6000 1.4609 0.7000 1.5216 0.8000 1.5786 0.9000 1.6321 1.0000 1.6819 依此类推,得比较不同的结果　重庆邮电大学

评价一个微分方程求解公式的标准当然是其精度 (二) Euler方法的截断误差评价一个微分方程求解公式的标准当然是其精度误差项而在求解公式中　重庆邮电大学

因为一般情况下,求解公式的每一步都存在误差,因此有定义1. 因为一般情况下,求解公式的每一步都存在误差,因此有定义2. 定义3. 　重庆邮电大学

　重庆邮电大学

显然一个求解公式的精度越高,计算解的精确性也就越好 Euler公式的局部截断误差为具有1阶精度后退Euler公式的局部截断误差为也具有1阶精度显然一个求解公式的精度越高,计算解的精确性也就越好从前面的分析可知,Euler法的精度并不算高将显式与隐式的Euler公式结合起来,考虑其局部截断误差主部只相差符号,可得　重庆邮电大学

--------(9) 上式称为梯形公式.其实质是取显式与隐式的Euler公式所获得的两个近似值的平均值作为 .是一个二阶方法. 　重庆邮电大学

例3 用欧拉方法和改进的欧拉方法求微分方程 . 的数值解（取h=0.1）。或直接写为上述两式称为改进Euler公式.利用改进Euler方法求数值解的方法称为改进Euler方法.其是一个二阶方法. 例3 用欧拉方法和改进的欧拉方法求微分方程 . 的数值解（取h=0.1）。　重庆邮电大学

解由欧拉方法（3），得数值计算公式计算结果如表8-1. 由改进的欧拉方法(9),得数值计算公式计算结果如表8-2 　重庆邮电大学

表8-1 表8-2 　重庆邮电大学