第5章 §5.3 定积分的积分法 换元积分法 不定积分 分部积分法 换元积分法 定积分 分部积分法
1. 定积分的换元法 定理1 设函数f(x) 在区间 连续， 满足: 单调、可导, 且 连续; (1) 在区间 时， 则 证 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存 在, 且它们的原函数也存在 . 设F(x)是f(x)的一个原函 则 数, 则 就是 的原函数 , 因此有
注: 1) 必需注意换元必换限 ,且换元后的上限和下限分别 对应原积分上限和下限. 2) 原函数中的变量不必代回 .
例1 计算 解 令 则 且 ∴ 原式 =
例2 计算 解 令 则 且 ∴ 原式 =
例3 计算定积分 解 注意:凑元不必换限.
例4 (1) 若 则 (2) 若 则 证
例5 计算 解 由于积分区间为对称区间， 为奇函数， ∴ 原式 = 0 . 例6 计算 解 由于积分区间为对称区间， 为偶函数, 奇函数, 所以 ∴ 原式 =
例6 设 求 解 令 则 且 时， ∴ 原式 =
2. 定积分的分部积分法 定理2 设 一阶连续导数， 则 证
例7 计算 解 原式 =
例8 证明 若记 , 则 证 令 则 令 则
由此得递推公式 于是 而
例9 求 及 解 由例8, 有 例10 求 解 令 则 且 时, ∴原式 =
内容小结 换元必换限 凑元不换限 边积边代限 换元积分法 分部积分法 思考与练习 1. 2.
3. 设 求 解 (分部积分)