第七讲 MATLAB的符号计算.

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高等数学( XJD ) 第二章 导数与微分 返回 高等数学( XAUAT ) 高等数学( XJD ) 求导法则 基本公式 导 数 导 数 微 分微 分 微 分微 分 求导方法 高阶导数 微分法则 导数与微分关系图导数与微分关系图.
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第五节 全微分方程 一、全微分方程及其求法 二、积分因子法 三、一阶微分方程小结. 例如 所以是全微分方程. 定义 : 则 若有全微分形式 一、全微分方程及其求法.
第一节 不定积分的概念及其 计算法概述 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质及简单计算 四、小结.
第五节 函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则 四、微分形式不变性 五、微分在近似计算中的应用 六、小结.
第二章 导数与微分 习题课 主要内容 典型例题 测验题. 求 导 法 则求 导 法 则 求 导 法 则求 导 法 则 基本公式 导 数 导 数 微 分微 分 微 分微 分 高阶导数 高阶微分 一、主要内容.
目录 上页 下页 返回 结束 习题课 一、导数和微分的概念及应用 二、导数和微分的求法 导数与微分 第二章.
第四节 复合函数求导 法则及其应用 一、复合函数求导法则 二、初等函数的求导问题 三、一阶微分的形式不变性 四、隐函数的导数 五、对数求导法 六、参数形式的函数的求导公式.
2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用.
第七节 函数的微分 一 、微分 概念 二、微分的几何意义 三、 基本初等函数的微分公 式与 微分运算法则 四 、小结.
高等数学一 主讲 杨俊 演示文稿制作 杨俊. 高等数学一 第 3 章 一元函数微分学的应用 第 4 章 一元函数 积分学及应用 第 1 章 函数、极限与连续 第 2 章 导数与微分.
第 4 章 数值微积分. 4.1 内插求积 Newton-Cotes 公式 第 4 章 数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes 公式.
一、会求多元复合函数一阶偏导数 多元复合函数的求导公式 学习要求: 二、了解全微分形式的不变性.
2.6 隐函数微分法 第二章 第二章 二、高阶导数 一、隐式定义的函数 三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数, 由 表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此 隐函数求导方法.
1 热烈欢迎各位朋友使用该课件! 广州大学数学与信息科学学院. 2 工科高等数学 广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东.
2.5 函数的微分 一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、微分的求法 六、小结.
第二章 导数与微分 一. 内 容 要 点 二. 重 点 难 点 三. 主 要 内 容 四. 例 题与习题.
第二章 导数与微分. 二、 微分的几何意义 三、微分在近似计算中的应用 一、 微分的定义 2.3 微 分.
全微分 教学目的:全微分的有关概念和意义 教学重点:全微分的计算和应用 教学难点:全微分应用于近似计算.
第三节 微分 3.1 、微分的概念 3.2 、微分的计算 3.3 、微分的应用. 一、问题的提出 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.
8.1 不定积分的概念和基本积分公式  原函数和不定积分  基本积分公式表  不定积分的线性运算法则 第八章 不定积分.
代数方程总复习 五十四中学 苗 伟.
一、二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组. 一、二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组.
22.3 实际问题与一元二次方程(1).
例题 教学目的: 微积分基本公式 教学重点: 牛顿----莱布尼兹公式 教学难点: 变上限积分的性质与应用.
第五章 定积分及其应用.
恰当方程(全微分方程) 一、概念 二、全微分方程的解法.
高等数学电子教案 第五章 定积分 第三节 微积分基本定理.
第二部分 微积分问题的计算机求解 《数学分析》实验课.
第五节 微积分基本公式 、变速直线运动中位置函数与速度 函数的联系 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式.
一、原函数与不定积分 二、不定积分的几何意义 三、基本积分公式及积分法则 四、牛顿—莱布尼兹公式 五、小结
第四章 定积分及其应用 4.3 定积分的概念与性质 微积分基本公式 定积分的换元积分法与分部积分法 4.5 广义积分
第四章 函数的积分学 第六节 微积分的基本公式 一、变上限定积分 二、微积分的基本公式.
§5.3 定积分的换元法 和分部积分法 一、 定积分的换元法 二、 定积分的分部积分法 三、 小结、作业.
第四章 一元函数的积分 §4.1 不定积分的概念与性质 §4.2 换元积分法 §4.3 分部积分法 §4.4 有理函数的积分
第5章 定积分及其应用 基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
第三节 函数的求导法则 一 函数的四则运算的微分法则 二 反函数的微分法则 三 复合函数的微分法则及微分 形式不变性 四 微分法小结.
第三节 格林公式及其应用(2) 一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分的求积 四、小结.
1.5 场函数的高阶微分运算 1、场函数的三种基本微分运算 标量场的梯度f ,矢量场的散度F 和F 旋度简称 “三度” 运算。
第三章 导数与微分 习 题 课 主要内容 典型例题.
第三讲 MATLAB的符号运算 科学与工程技术中的数值运算固然重要,但自然科学理论分析中各种各样的公式、关系式及其推导就是符号运算要解决的问题。 在Matlab7.0中,符号计算虽以数值运算的补充身份出现,但它们都是科学计算研究的重要内容。 Matlab开发了实现符号计算的工具包Symbolic Math.
第5章 §5.3 定积分的积分法 换元积分法 不定积分 分部积分法 换元积分法 定积分 分部积分法.
第5章 matlab符号运算 5.1 符号运算简介 5.2 符号表达式的化简与替换 5.3 符号微积分 5.4 符号线性代数
数学软件 Matlab —— Matlab 符号运算.
—— matlab 不仅具有数值运算功能,还开发了在matlab环境下实现符号计算的工具包Symbolic Math Toolbox
数学软件 Matlab —— Matlab 符号运算.
导数的基本运算.
计算机数学基础 主讲老师: 邓辉文.
二.换元积分法 ò ( ) (一)第一类换元积分法 1.基本公式 把3x当作u,“d”后面凑成u 2.凑微分 调整系数 (1)凑系数 C x
1.2 MATLAB变量表达式与数据格式 MATLAB变量与表达式 MATLAB的数据显示格式
§2 求导法则 2.1 求导数的四则运算法则 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .
高等数学 西华大学应用数学系朱雯.
第一章 函数与极限.
数列.
第6章 MATLAB符号计算 6.1 符号计算基础 6.2 符号导数及其应用 6.3 符号积分 6.4 级数 6.5 代数方程的符号求解
实验一 计算复变函数极限、微分、积分、 留数、泰勒级数展开式 (一) 实验类型:验证性 (二) 实验类别:基础实验
第4章 Excel电子表格制作软件 4.4 函数(一).
第三单元 第2课 实验 一元函数的积分 实验目的:掌握matlab求解有关不定积分和定积分的问题,深入理解定积分的概念和几何意义。
第九节 赋值运算符和赋值表达式.
第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结 思考题.
学习任务三 偏导数 结合一元函数的导数学习二元函数的偏导数是非常有用的. 要求了解二元函数的偏导数的定义, 掌握二元函数偏导数的计算.
建模常见问题MATLAB求解  .
第二节 函数的极限 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结 思考题.
§2 方阵的特征值与特征向量.
2.3.运用公式法 1 —平方差公式.
第三部分 积分(不定积分 + 定积分) 在课程简介中已经谈到, 高等数学就是微积分(微分 + 积分). 第二部分已经学习了函数的导数和微分, 这一部分内容是“积分”. 由此可见,这一部分内容在本课程中的重要地位. 积分就是讨论导数的逆问题: 给定了函数f(x),哪些函数的导数就是f(x)? “积分”包括了不定积分和定积分,它们也是每个学习高等数学的人必须掌握的内容.
第四章 函数的 积分学 第七节 定积分的换元积分法     与分部积分法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法.
§ 9.1常用数学软件简介及MATLAB基础知识
西南科技大学网络教育系列课程 数学软件 数学软件 第7讲 MATLAB符号计算二 主讲教师: 鲜大权 副教授 西南科技大学理学院数学系.
—— matlab 不仅具有数值运算功能,还开发了在matlab环境下实现符号计算的工具包Symbolic Math Toolbox
第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结、作业 1/22.
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第七讲 MATLAB的符号计算

所谓符号计算是指在运算时,无须事先对变量赋值,而将所得到结果以标准的符号形式来表示。 MathWorks公司以Maple的内核作为符号计算引擎(Engine),依赖Maple已有的函数库,开发了实现符号计算的两个工具箱:基本符号工具箱和扩展符号工具箱。

一、符号计算基础

一、符号计算基础 (一) 定义符号变量 参与符号运算的对象可以是符号变量、符号表达式或符号矩阵。符号变量要先定义,后引用。可以用sym函数、syms函数将运算量定义为符号型数据。引用符号运算函数时,用户可以指定函数执行过程中的变量参数;若用户没有指定变量参数,则使用findsym函数默认的变量作为函数的变量参数。

sym函数的主要功能是创建符号变量,以便进行符号运算,也可以用于创建符号表达式或符号矩阵。用sym函数创建符号变量的一般格式为: 一、符号计算基础 (一) 定义符号变量 1、sym函数 sym函数的主要功能是创建符号变量,以便进行符号运算,也可以用于创建符号表达式或符号矩阵。用sym函数创建符号变量的一般格式为: x = sym(‘x’) 其目的是将’x’创建为符号变量,以x作为输出变量名。每次调用该函数,可以定义一个符号变量。

a,b,x,y均为符号运算量。在符号运算前,应先将a,b,x,y定义为符号运算量 一、符号计算基础 (一) 定义符号变量 【例1】作符号计算: a,b,x,y均为符号运算量。在符号运算前,应先将a,b,x,y定义为符号运算量

a=sym(‘a’); %定义‘a’为符号运算量,输出变量名为a y =2/bb=sym(‘b’); x=sym(‘x’); 一、符号计算基础 (一) 定义符号变量 a=sym(‘a’); %定义‘a’为符号运算量,输出变量名为a y =2/bb=sym(‘b’); x=sym(‘x’); y=sym(‘y”); [x,y]=solve(a*x-b*y-1,a*x+b*y-5,x,y) %以a,b为符号常数,x,y为符号变量 即可得到方程组的解: x =3/a y =2/b

【例2】已知一复数表达式 z=x+i*y, 试求其共轭复数,并求该表达式与其共轭复数乘积的多项式。 一、符号计算基础 (一) 定义符号变量 【例2】已知一复数表达式 z=x+i*y, 试求其共轭复数,并求该表达式与其共轭复数乘积的多项式。 为了使乘积表达式x^2+y^2非负,这里,把变量x和y定义为实数。 x=sym(‘x’,’real’); y=sym(‘y’,’real’);

expand(z*conj(z)) %求表达式与其共轭复数乘积的多项式 ans = x^2+y^2 一、符号计算基础 (一) 定义符号变量 z=x+i*y; %定义复数表达式 conj(z); %求共轭复数 expand(z*conj(z)) %求表达式与其共轭复数乘积的多项式 ans = x^2+y^2 若要去掉’x’的属性,可以使用下面语句 x = sym(‘x’,’unreal’) 将’x’创建为纯格式的符号变量。

syms函数的功能与sym函数类似。syms函数可以在一个语句中同时定义多个符号变量,其一般格式为: 一、符号计算基础 (一) 定义符号变量 2、syms函数 syms函数的功能与sym函数类似。syms函数可以在一个语句中同时定义多个符号变量,其一般格式为: syms arg1 arg2 …argN 用于将rg1, arg2,…,argN等符号创建为符号型数据。

在数学表达式中,一般习惯于使用排在字母表中前面的字母作为变量的系数,而用排在后面的字母表示变量。例如: 一、符号计算基础 (二)默认符号变量 在数学表达式中,一般习惯于使用排在字母表中前面的字母作为变量的系数,而用排在后面的字母表示变量。例如: f=ax2+bx+c 表达式中的a,b,c通常被认为是常数,用作变量的系数;而将x看作自变量。

根据数学式中表示自变量的习惯,默认a,b,c为符号常数,x为符号变量。 一、符号计算基础 (二)默认符号变量 例如,数学表达式 f=xn g=sin(at+b) 根据数学式中表示自变量的习惯,默认a,b,c为符号常数,x为符号变量。 若在MATLAB中表示上述表达式,首先用syms 函数定义a,b,n,t,x为符号对象。在进行导数运算时,由于没有指定符号变量,则系统采用数学习惯来确定表达式中的自变量,默认a,b,c为符号常数,x,t为符号变量。 即 : 对函数f求导为:df/dx 对函数g求导为:dg/dt

为了了解函数引用过程中使用的符号变量个数及变量名,可以用findsym函数查询默认的变量。该函数的引用格式为: 一、符号计算基础 (二)默认符号变量 为了了解函数引用过程中使用的符号变量个数及变量名,可以用findsym函数查询默认的变量。该函数的引用格式为: findsym(f,n) 说明:f为用户定义的符号函数, n为正整数,表示查询变量的个数。 n=i,表示查询i个系统默认变量。n值省略时表示查询符号函数中全部系统默认变量。

findsym(f,1) %在f函数中查询1个系统默认变量 ans= x 表示f函数中查询的1个系统默认变量为x。 一、符号计算基础 (二)默认符号变量 【例3 】查询符号函数 f=xn g=sin(at+b) 中的系统默认变量。 syms a b n t x %定义符号变量 f=x^n; %给定符号函数 g=sin(a*t+b); findsym(f,1) %在f函数中查询1个系统默认变量 ans= x 表示f函数中查询的1个系统默认变量为x。

(三) 符号表达式 符号表达式由符号变量、函数、算术运算符等组成。符号表达式的书写格式与数值表达式相同。例如,数学表达式 一、符号计算基础 (三) 符号表达式 符号表达式由符号变量、函数、算术运算符等组成。符号表达式的书写格式与数值表达式相同。例如,数学表达式 其符号表达式为: 1+sqr(5*x))/2 注意,在定义表达式前应先将表达式中的字符x定义为符号变量。

将表达式中的自变量定义为符号变量后,赋值给符号函数名,即可生成符号函数。例如有一数学表达式: 一、符号计算基础 (四) 生成符号函数 将表达式中的自变量定义为符号变量后,赋值给符号函数名,即可生成符号函数。例如有一数学表达式:

其用符号表达式生成符号函数fxy的过程为: syms a b c x y %定义符号运算量 一、符号计算基础 (四) 生成符号函数 其用符号表达式生成符号函数fxy的过程为: syms a b c x y %定义符号运算量 fxy=(a*x^2+b*y^2)/c^2 %生成符号函数 生成符号函数fxy后,即可用于微积分等符号计算。

【例4】定义一个符号函数 fxy=(a*x2+b*y2)/c2 ,分别求该函数对x、y的导数和对x的积分。 一、符号计算基础 (四) 生成符号函数 【例4】定义一个符号函数 fxy=(a*x2+b*y2)/c2 ,分别求该函数对x、y的导数和对x的积分。 syms a b c x y %定义符号变量 fxy=(a*x^2+b*y^2)/c^2; %生成符号函数 diff(fxy,x) %符号函数fxy对x求导数 ans =2*a*x/c^2 diff(fxy, y) %符号函数fxy对y求导数 ans =2*b*y/c^2 %符号函数fxy对x求积分 int(fxy, x) ans =1/c^2*(1/3*a*x^3+b*y^2*x)

二、微积分

函数limit用于求符号函数f的极限。系统可以根据用户要求,计算变量从不同方向趋近于指定值的极限值。该函数的格式及功能: 二、微积分 (一) 微积分函数 1.求极限 函数limit用于求符号函数f的极限。系统可以根据用户要求,计算变量从不同方向趋近于指定值的极限值。该函数的格式及功能:

limit(f,x,a):求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时,f(x)函数的极限值。 二、微积分 limit(f,x,a):求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时,f(x)函数的极限值。 limit(f,a):求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量,则使用该格式时,符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量,既变量x趋近于a。 limit(f):求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量;没有指定变量的目标值时,系统默认变量趋近于0,即a=0的情况。 limit(f,x,a,'right'):求符号函数f的极限值。'right'表示变量x从右边趋近于a。 limit(f,x,a,'left'):求符号函数f的极限值。'left'表示变量x从左边趋近于a。

【例5】求极限 syms x; %定义符号变量 w=limit(f) %求函数的极限 w = -1/2 二、微积分 f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)^3; %确定符号表达式 w=limit(f) %求函数的极限 w = -1/2

应用diff(s)没有指定微分变量和微分阶数,则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶微分。 二、微积分 2. 微分函数 diff函数用于对符号表达式s求微分。该函数的一般引用格式为: diff(s,’v’,n) 说明: 应用diff(s)没有指定微分变量和微分阶数,则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶微分。 应用diff(s,‘v’)或diff(s,sym(‘v’)) 格式,表示以v为自变量,对符号表达式s求一阶微分。 应用diff(s,n)格式,表示对符号表达式s求n阶微分,n为正整数。 应用diff(s,‘v’,n)diff(s,n,‘v’) 格式,表示以v为自变量,对符号表达式s求n阶微分。

【例6】求导数: x = sym('x'); %定义符号变量 t = sym('t'); diff(sin(x^2)) %求导运算 二、微积分 【例6】求导数: x = sym('x'); %定义符号变量 t = sym('t'); diff(sin(x^2)) %求导运算 ans = 2*cos(x^2)*x

积分函数int(s ,v,a,b)可以对被积函数或符号表达式s求积分。其引用格式为: int(s ,v,a,b) 说明: 二、微积分 3.积分函数 积分函数int(s ,v,a,b)可以对被积函数或符号表达式s求积分。其引用格式为: int(s ,v,a,b) 说明: 应用int(s)格式,表示没有指定积分变量和积分阶数时,系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求一阶积分。 应用int(s,v)格式,表示以v为自变量,对被积函数或符号表达式s求一阶不定积分。 应用积分函数时,如果给定 a、b两项,表示是进行定积分运算。a、b分别表示定积分的下限和上限。不指定积分的下限和上限表示求不定积分。

二、微积分 【例7】求下述积分。 求积分: syms x int(1/(1+x^2)) ans = atan(x)

级数求和运算是数学中常见的一种运算。例如: f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn 二、微积分 4. 级数(级数求和) 级数求和运算是数学中常见的一种运算。例如: f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn 函数symsum可以用于此类对符号函数f的求和运算。该函数的引用时,应确定级数的通项式s,变量的变化范围a和b。该函数的引用格式为: symsum(s, a,b)

【例8】求级数的和:键入:1/12+1/22+1/32+1/42+ …… syms k 二、微积分 【例8】求级数的和:键入:1/12+1/22+1/32+1/42+ …… syms k symsum(1/k^2,1,Inf) %k值为1到无穷大 ans = 1/6*pi^2 其结果为:1/12+1/22+1/32+1/42+ ……=π2/6

三、简化方程表达式

【例9】将表达式(x^9-1)分解为多个因式。 syms x factor(x^9-1) ans = 三、简化方程表达式 1.因式分解 factor函数的功能为:把多项式S分解为多个因式,各多项式的系数均为有理数。格式为: factor(s) 【例9】将表达式(x^9-1)分解为多个因式。 syms x factor(x^9-1) ans = (x-1)*(x^2+x+1)*(x^6+x^3+1)

【例10】将表达式x^3-6*x^2+11*x-6用嵌套形式表示。 syms x horner(x^3-6*x^2+11*x-6) 三、简化方程表达式 2.嵌套 将符号多项式s用嵌套形式表示,即用多层括号的形式表示。Horner函数可以实现此功能。该函数的格式为: horner(s) 【例10】将表达式x^3-6*x^2+11*x-6用嵌套形式表示。 syms x horner(x^3-6*x^2+11*x-6) ans = -6+(11+(-6+x)*x)*x

四、解方程

解方程函数的格式为: 四、解方程 solve(expr1,expr2,...,exprN,var1,var2,...varN) 说明: 若不指明符号表达式expr1,expr2,...,exprN的值,系统默认为0。例如给出一个表达式x^2-3*x-8,则系统将按x^2-3*x-8=0进行运算;

【例11】解代数方程:a*x2-b*x-6=0 syms a b x solve(a*x^2-b*x-6) ans = 四、解方程 【例11】解代数方程:a*x2-b*x-6=0 syms a b x solve(a*x^2-b*x-6) ans = [ 1/2/a*(b+(b^2+24*a)^(1/2))] [ 1/2/a*(b-(b^2+24*a)^(1/2))] 即该方程有两个根: x1=1/2/a*(b+(b^2+24*a)^(1/2)); x2=1/2/a*(b-(b^2+24*a)^(1/2))

习题: 1.解方程组: 2.计算: f(x)=sin(x) f(x)=1/cos(x)