10 能量法 10.1 概述 10.2 应变能·余能 10.3 卡氏定理 10.4 用能量法解超静定系统

10.1 概述 10.1.1 能量法的概念 弹性体受外力作用后要发生变形，同时弹性体内将积蓄能量。卸载后，这种能量又随变形的消失而全部转换为其他形式的能量。这种随弹性变形的增减而改变的能量称为应变能。 弹性体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。 Ve = W —— 功能原理 能量法 ： 利用功能原理求解弹性体或结构的位移、变形和内力等的方法 是有限单元法的重要基础

10.1.2 能量法的优势 求解应力、变形和位移的有两种方法 直接方法 －利用平衡、变形协调和物理关系 能量方法－利用能量原理 能量法的优势: 确定加力点沿加力方向的位移 求解复杂结构的位移和变形 确定结构任意点沿任意方向的位移 既可确定位移，又可确定内力和应力 既适用于线性问题，又适用于非线性问题 用于直接求解超静定问题

10.2 应变能·余能 10.2.1 应变能 线弹性条件下，通过外力功求应变能 常力作功：常力 F 沿其方向线位移  上所作的功 10.2 应变能·余能 10.2.1 应变能 线弹性条件下，通过外力功求应变能 常力作功：常力 F 沿其方向线位移  上所作的功 变力作功：在线弹性范围内，外力 F 与位移  间呈线性关系。 F  O 外力作功 基本变形在弹性范围内变形量与外力（内力）均呈线性关系： 拉压 扭转 弯曲

由 Ve = W , 可得基本变形下的应变能表达式 轴向拉压 扭转 弯曲 组合变形

拉杆的材料是非线性弹性体，当外力由 0 逐渐增大到 F1 时，杆端位移就由 0 逐渐增到 D1。 非线性弹性体，通过应变能密度求应变能 拉杆的材料是非线性弹性体，当外力由 0 逐渐增大到 F1 时，杆端位移就由 0 逐渐增到 D1。 F D  1 F F1 O 外力作功为 d F 从拉杆中取出一个各边为单位长度的单元体 p 作用在单元体上，下两表面的力为 p =  ·1·1 =  其伸长量 Dl =  · 1= 

若取单元体的边长为dx 、dy、dz，则该单元体的应变能为 p =  Dl =  该单元体上外力作功为 F D e e1 s s1 O 单位体积的应变能即应变能密度为 de s 若取单元体的边长为dx 、dy、dz，则该单元体的应变能为 dVe = ve dx dy dz p 令 dx dy dz = dV 则整个拉杆内的应变能为

轴向拉压杆 、弯曲 应变能密度 扭转杆　 应变能密度

例 10-1 在线弹性 范围内工作的杆， 已知： Me、G、l、d 。 求：在加载过程中所积蓄的应变能 Ve。 解：[法 1] 运用扭转应变能公式 [法 2] 由应变能密度求应变能

例10-2 已知：抗弯刚度为 EI 的简支梁，受均布荷载 q 作用。求：弯曲应变能 A B l y x dx w 解：[法 1 ] 运用功能原理求应变能 挠曲线方程 外力的功 应变能

q A B l y x [法 2 ] 运用弯曲应变能公式 弯矩 应变能

q A B l y x [法 3 ] 运用应变能密度求应变能 弯矩 应变能密度 应变能

例 10-3 水平杆系如图所示 ，两杆的长度均为 l，横截面面积为 A，弹性模量为E，且均为线弹性。试计算在 F 作用下的应变能。 向下移 d 。 l 由 A 点平衡得 a1 A d F 为高阶微量，可略去不计

图中绘出了 F- d 间的非线性关系曲线 该问题属于几何非线性弹性问题 F与 d 的非线性关系，不能按能量原理 Ve = W = ½ F D l a1 A d F 图中绘出了 F- d 间的非线性关系曲线 该问题属于几何非线性弹性问题 F与 d 的非线性关系，不能按能量原理 Ve = W = ½ F D 求应变能，而需用积分。

例10-4 拉杆在线弹性范围内工作。抗拉刚度 EA，受到 F1，F2 两个力作用。 (1) 若先在 B 截面加 F1 ，然后在 C 截面加 F2； (2) 若先在 C 截面加 F2 ，然后在 B 截面加 F1。 分别计算两种加力方法拉杆的应变能。 B C a b A 解：(1) 先在 B 截面加 F1，然后在 C 截面加 F2 F1  在 B 截面加 F1， B 截面的位移为 外力功为  再在 C 上加 F2 F2 C 截面的位移为 F2 作功为

B C a b A F1 F2  在加 F2 后，B 截面又有位移 在加 F2 过程中 F1 作功 应变能为

弹性范围内，应变能 Ve 只与外力的最终值有关，而与加载过程和加载次序无关。 B C a b A (2) 若先在 C 截面加 F2 ，然后 B 截面加 F1。  在 C 截面加 F2 后， F2 作功  在 B 截面加 F1后， F1 作功 F1  加 F1引起 C 截面的位移 F2 在加 F1 过程中 F2 作功 应变能为 弹性范围内，应变能 Ve 只与外力的最终值有关，而与加载过程和加载次序无关。

10.2.2 余能 非线性弹性材料制成的拉杆 F  应变能密度 外力功

与余功相应的能称为余能，余功和余能在数值上相等。 F  dF D 仿照外力功的概念 与余功相应的能称为余能，余功和余能在数值上相等。 余功 余能

几何线性问题中，同样可由仿照应变能密度计算应变能的方式，由余能密度计算余能 余能密度 余功 余能密度 F  dF D ds e 几何线性问题中，同样可由仿照应变能密度计算应变能的方式，由余能密度计算余能 余能密度 余能

余功、余能、余能密度没有具体的物理意义，仅具有功、能的量纲 注意 外力功 —— 以位移作为积分变量 余 功 —— 以力作为积分变量 F —— 广义力;  —— 广义位移. 应变能 —— 以应变 e 作为积分变量 余 能 —— 以应力 s 作为积分变量 应力 —— 可以是正应力也可以是切应力; 应变 —— 可以是正应变也可以是切应变. 余功、余能、余能密度没有具体的物理意义，仅具有功、能的量纲 线弹性材料的几何线性问题中，荷载与位移之间以及应力与应变之间均为线性关系，应变能和余能在数值上相等。

例10-5 已知两杆的长度均为 l、横截面面积均为 A、材料单轴拉伸时的 s ~ e曲线如图所示。求：荷载 F1 作用下的余能 VC B D F1 解：本题已知材料应力应变间的非线性关系，故先求余能密度。

由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此 a B D F1 由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此

作业： 习题 3-1 习题 3-3 习题 3-4 习题 3-5

10.3 卡氏定理 10.3.1 卡氏第一定理 设梁上有 n 个荷载 F1，F2，· · · ，Fn （简单加载） 10.3 卡氏定理 10.3.1 卡氏第一定理 设梁上有 n 个荷载 F1，F2，· · · ，Fn （简单加载） 与之相应的位移为 D1， D2 ， · · · ， Dn 外力作总功等与每个集中力在加载过程中所作功的总和 根据功能原理，梁内积蓄的应变能在数值上就等于外力功 即：梁内应变能 Ve 是其上所有荷载相应的最后位移 Di 的函数

假设与第 i 个荷载相应的位移有一微小的增量 dDi 梁内应变能的变化为 为应变能对于位移 Di 的变化率 只有与 Fi 相应的位移有一微小增量，而与其余各荷载相应的位移保持不变。 只有 Fi 在微小位移 dDi 上作了外力功, 梁外力功的变化为

由功能原理 得 —— 卡氏第一定理 弹性杆件的应变能对于某一位移之变化率等于与该位移对应的荷载。

Di 为 Fi 的作用点相应于Fi 的位移。 Fi 为广义力，Di 为与 Fi 相应的广义位移。 一个力 一个力偶 一对力 一对力偶 一个线位移 一个角位移 相对线位移 相对角位移 适用于线弹性体或非线性弹性体。

例10-6 图示结构中（例10-3），A、B、C 三处均为铰链， AB 杆和 BC 杆的拉压刚度均为 EA。已知： F 、l、EA 。求：加力点 B 处的位移。 解：应变能 V = V ( B ) （见例10-3） l F A C B B′ DB 应用卡氏第一定理

例 10-7 已知 ：图示悬臂梁，抗弯刚度 EI，自由端转角q 。求：自由端力偶 M。 解： 梁内任一点的线应变为 M 梁内任一点的应变能密度为 梁的应变能为

例 10-8 已知平面桁架受力如图。两杆的横截面面积均为 A，两杆的 E 相同，且均处于线弹性范围内。求：B 点水平位移与铅垂位移。 若 B 只发生水平位移 D1 解： 若 B 只发生铅垂位移 2

当水平位移与铅垂位移同时发生时 桁架的应变能

由卡式第一定理

10.3.2 卡氏第二定理 设梁上有 n 个荷载 F1，F2，· · · ，Fn （简单加载） 与之相应的位移为 D1， D2 ， · · · ， Dn 外力作总余功等与每个集中力余功的总和 梁内的余能 即：梁内余能 VC 是其上所有荷载 Fi 的函数

假设与第 i 个荷载有一微小的增量 dFi ，而与其余各荷载保持不变。 梁内余能的变化为 为余能对于荷载 Fi 的变化率 外力总余功的变化为

由外力余功在数值上等于弹性杆的余能 得 —— 余能定理 线弹性杆件或杆系中，应变能与余能在数值上相等 则有 ——卡氏第二定理 弹性杆件的应变能对于某一荷载之变化率等于与该荷载对应的位移。

说 明 卡氏第一定理与余能定理 均适用于线性或非线性弹性杆件及杆系。 卡氏第二定理与余能定理 卡氏第二定理只适用于线性弹性体。 说 明 卡氏第一定理与余能定理 均适用于线性或非线性弹性杆件及杆系。 卡氏第二定理与余能定理 卡氏第二定理只适用于线性弹性体。 Fi 为广义力，Di 为相应的位移。

卡氏第二定理的应用  轴向拉、压  扭转  弯曲  平面桁架

例10-9 已知：如图所示悬臂梁受力情况，抗弯刚度 EI。求自由端的挠度（用卡氏第二定理） 解：因自由端没有与所求位移对应的竖向集中力，需加一虚设的竖向外力F 由卡氏第二定理得

例10-10 外伸梁受力如图所示，已知抗弯刚度 EI。梁材料为线弹性体。求梁 C截面的挠度和 A 截面的转角。 B C F M l a 解： x2 x1 AB： BC： ( )

例10-11 外伸梁受力如图所示，已知抗弯刚度 EI。梁材料为线弹性体。求梁 C截面和 D 截面的挠度。 A B C F a D 解： AC： CB： BD：

AC： CB： BD：

解：在 B 两侧虚设一对外力偶 MB 。约束反力如图所示 例10-12 抗弯刚度均为 EI 的静定组合梁 ABC，梁材料为线弹性体，不计剪切变形的影响。用卡氏第二定理求梁中间铰 B 两侧截面的相对转角。 q A B C l q A B C l x1 x2 解：在 B 两侧虚设一对外力偶 MB 。约束反力如图所示 AB： BC:

AB： BC: 相对转角的转向与虚设外力偶的转向一致。

例10-13 已知：开口圆环受力如图，材料为线弹性，抗弯刚度EI，求圆环的张开位移D（不计剪力及轴力的影响）。 解： 并规定正弯矩使环的内侧伸长。 位移为正，表示与对应的广义力方向一致，即张开位移。

例10-14 刚架结构如图所示。弯曲刚度 EI 已知。材料为线弹性。不考虑轴力和剪力的影响，计算 C 截面的转角和 D 截面的水平位移。 解： 在C 截面虚设一力偶 MC , 在 D 截面虚设一水平力 F 。 A B C D a 2a Me MC F x FD FAx FAy CD:

A B C D a 2a Me MC F FD FAx FAy x CB: x AB:

CD: CB: AB:

CD: CB: AB: ( )

例10-15 各杆抗弯刚度均为 EI 的 Z 字形平面刚架受集中力 F 作用。杆的材料是线弹性的，不计剪力和轴力对变形的影响。求端面 A 的线位移和转角。 解：在 A 端虚设水平力 Fx 和外力偶 MA 。 A B C D F 3a 4a q AB ： x x CD： x BC：

AB ： CD： BC：

AB ： CD： BC：

AB ： CD： BC： （ ）

例10-16 各杆的抗拉（压）刚度均为 EA 的正方形平面桁架受水平力 F 作用。杆的材料为线弹性。求结点 C 的水平和铅垂位移。 l A B C D F F1 杆件 F1=0 AB BC CD DA AC -（F+F1） -1 -1 -F

杆件 F1=0 AB BC CD DA AC -（F+F1） -1 -F l A B C D F F1

杆件 F1=0 AB BC CD DA AC -（F+F1） -1 -F l A B C D F F1

例10-17 求 A 截面的铅垂位移。略去剪力影响 解： AB 为弯曲变形 CD 为轴向拉伸 取 AB 为研究对象 CD 杆 A B C D F l l / 2 2l / 3 EA EI 解： AB 为弯曲变形 CD 为轴向拉伸 取 AB 为研究对象 A C B FN FB F CD 杆

A B C D F l l / 2 2l / 3 EA EI AB 梁 AC： CB: A C B FN FB F x x

作业： 习题 3-8 习题 3-9

10.4 用能量法解超静定系统 例10-18 已知两杆抗弯刚度均为 EI。q = 10 kN/m ，M = 50 kN·m。不计剪力和轴力对刚架变形的影响。求支座反力。 A B C D a = 50 mm q M 解：取静定基 变形相容条件是在 B 点处的竖向位移为零。 BD： M(x) = Xx A B C D q M x x x X DC: M(x) = Xx-M CA:

A B C D q M X BD： M(x) = Xx DC: M(x) = Xx-M FAy FAx MA CA: ( )

例10-19 已知两杆抗弯刚度均为 EI。不计剪力和轴力对刚架变形的影响。求支座反力。 A B C a q 解：三次超静定问题，取静定基 变形相容条件是在 B 点处的水平、竖向位移为零，B 截面的转角为零。 X3 A B C q X1 BC： M(x) = X2 x + X3 x x X2 CA:

A B C q X2 X1 X3 BD： M(x) = X2 x + X3 CA:

A B C q X2 X1 X3 BC： M(x) = X2 x + X3 CA:

A B C q X2 X1 X3 BC： M(x) = X2 x + X3 CA:

A B C q X2 X1 X3

例10-20 两端固定半圆环在对称截面处受集中力作用，环轴线的半径为 R，抗弯刚度为 EI，不计剪力和轴力对变形的影响，求对称截面上的内力。 F R 解：这是三次超静定问题。取两个 1/4 圆环为基本静定系。 由结构和荷载的对称性可知，原超静定半圆环在对称截面上的反对称力 X3 必等于零。 与 X1，X2相对应的广义位移依次为两切开截面的相对分开量，相对转角。分别用D1， D2表示。 变形相容条件为

j

j

作业： 习题 3-14