<<实用数值计算方法>>

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数值分析第五节数值微分在实际问题中，往往会遇到某函数 f(x) 是用表格表示的, 用通常的导数定义无法求导, 因此要寻求其他方法近似求导。常用的数值微分方法有 : 一. 运用差商求数值微分二.运用插值函数求数值微分三. 运用样条插值函数求数值微分四. 运用数值积分求数值微分.

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第六章数值微分 6.1 插值型数值微分公式 6.2 插值型数值积分. 6.1 插值型数值微分公式当 x 为插值节点时，上式简化为故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数值进行近似计算，以便估计误差。一般地这类公式称为插值型数值微分公式。

高等数学（ XJD ）第二章导数与微分返回高等数学（ XAUAT ）高等数学（ XJD ）求导法则基本公式导数导数微分微分微分微分求导方法高阶导数微分法则导数与微分关系图导数与微分关系图.

第五节函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分形式不变性五、微分在近似计算中的应用六、小结.

第二章导数与微分习题课主要内容典型例题测验题. 求导法则求导法则求导法则求导法则基本公式导数导数微分微分微分微分高阶导数高阶微分一、主要内容.

目录上页下页返回结束习题课一、导数和微分的概念及应用二、导数和微分的求法导数与微分第二章.

第 8 章数值积分与数值微分 8.1 Newton-Cotes 公式 Newton-Cotes 公式 8.2 复化求积公式复化求积公式 8.3 自适应步长求积方法自适应步长求积方法 8.4 Gauss 求积方法 Gauss 求积方法 8.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 8.6 数值积分的.

第九章常微分方程数值解法 §1 、引言. 微分方程的数值解：设方程问题的解 y(x) 的存在区间是 [a,b] ，令 a= x 0 < x 1

1 4.5 高斯求积公式一般理论求积公式含有个待定参数当为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为次. 如果适当选取有可能使求积公式具有次代数精度，这类求积公式称为高斯 (Gauss) 求积公式.

2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用.

第八章第四节机动目录上页下页返回结束一个方程所确定的隐函数及其导数隐函数的微分法.

第 5 章数值积分 §1 插值型求积公式 §2 复化求积公式 §3 龙贝格 (Romberg) 求积方法 §4§4 数值微分数值微分.

第 4 章数值微积分. 4.1 内插求积 Newton-Cotes 公式第 4 章数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes 公式.

1 第四章数值积分与数值微分 — Gauss 求积公式. 2 内容提要数值积分数值微分基本概念 Newton-Cotes 求积公式复合求积公式 Gauss 求积公式 Romberg 求积公式多重积分.

2.6 隐函数微分法第二章第二章二、高阶导数一、隐式定义的函数三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数, 由表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此隐函数求导方法.

2.5 函数的微分一、问题的提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分的求法六、小结.

1 、牛顿 - 莱布尼兹公式另外若给出的函数 f(x) 是数据表，也不好求函数的积分。计算定积分的方法：但是求函数 f(x) 的原函数 F(x) 不一定比计算积分容易，例如函数找不到用初等函数表示的原函数。一、数值求积的基本思想实验 4 数值积分与微分主讲人：魏志强.

第二章导数与微分一. 内容要点二. 重点难点三. 主要内容四. 例题与习题.

全微分教学目的：全微分的有关概念和意义教学重点：全微分的计算和应用教学难点：全微分应用于近似计算.

2.3 函数的微分. 四川财经职业学院课前复习高阶导数的定义和计算方法。作业解析：

Course 1 演算法: 效率、分析與量級 Algorithms: Efficiency, Analysis, and Order

第三章函数逼近 — 最佳平方逼近.

第3章积分的数值方法 3.1 概述 3.2 梯形积分法 3.3 抛物积分法 3.4 龙贝格积分法 3.5 高斯求积.

第二章数值微分和数值积分.

第二节微积分基本定理一、积分上限函数及其导数二、积分上限函数求导法则三、微积分基本公式.

第4章数值积分与数值微分 4.1 引言数值求积的基本思想一、问题如何求积分数学分析中的处理方法：

第四章定积分及其应用 4.3 定积分的概念与性质微积分基本公式定积分的换元积分法与分部积分法 4.5 广义积分

定积分性质和微积分学基本定理一、定积分性质二、变上限积分函数三、定积分基本公式.

第四章　函数的积分学第六节　微积分的基本公式一、变上限定积分二、微积分的基本公式.

第4章数值积分与数值微分 4.1 数值积分概论 4.2 牛顿-柯特斯公式 4.3 复合求积公式 4.4 龙贝格求积公式

9.1 数值积分基本方法 9.2 梯形积分 9.3 Simpson积分 9.4 Newton-Cotes积分 9.5 Romberg积分

定积分的换元法和分部积分法换元公式分部积分公式小结 1/24.

§5.3 定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法三、小结、作业.

第四章一元函数的积分 §4.1 不定积分的概念与性质 §4.2 换元积分法 §4.3 分部积分法 §4.4 有理函数的积分

第四章数值积分与数值微分 — 基本概念 — Newton-Cotes 公式.

计算方法第2章数值微分与数值积分 2.1 数值微分.

Chapter 7 数值积分与数值微分.

第5章定积分及其应用基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法

利用定积分求平面图形的面积.

第六章定积分第一节定积分的概念第二节微积分基本公式第三节定积分的积分法.

定积分习题课.

不确定度的传递与合成间接测量结果不确定度的评估

§5 微分及其应用一、微分的概念实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..

第三章导数与微分习题课主要内容典型例题.

2-7、函数的微分教学要求教学要点.

§5 微分及其应用一、微分的概念实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..

初中数学九年级(下册) 5.3　用待定系数法确定二次函数表达式.

Introduction To Mean Shift

第5章 §5.3 定积分的积分法换元积分法不定积分分部积分法换元积分法定积分分部积分法.

高斯求积公式引言求积公式高斯求积公式的系数和余项举例.

第四章数值积分与数值微分 — 复合求积公式 — Romberg 算法.

数值积分  在[a, b]上取 a  x0 < x1 <…< xn  b，做 f 的 n 次插值多项式，即得到

§2 求导法则 2.1 求导数的四则运算法则下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .

计算机数学基础(下) 第5编数值分析第12章数值积分与微分(续).

软件测试第3章测试用例设计 Kerry Zhu

高等数学西华大学应用数学系朱雯.

第二章函数插值 — 分段低次插值.

第14章基本数值算法举例数值计算是Fortran语言的强项，也是Fortran语言发明者的初衷。本节主要介绍在计算机程序设计语言学习中经常遇到的一些基本数值算法。目的在于加深对Fortran语言的理解和分析，解决问题的一般思路，并希望通过这些例程介绍一些代码编写方面的技巧。

第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的几何意义三、基本积分表四、不定积分的性质五、小结思考题.

第一章基本知识 1.1 计算机中的数 1.2 误差分析 1.3 数值计算中出现的问题 1.4 求解题目本身的特性 1.5 典型示例分析

学习任务三偏导数结合一元函数的导数学习二元函数的偏导数是非常有用的. 要求了解二元函数的偏导数的定义, 掌握二元函数偏导数的计算.

第二章函数插值 — 三次样条插值.

 隐式欧拉法 /* implicit Euler method */

第二节函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质三、小结思考题.

第六章数值积分与数值微分.

第三节函数的微分 3.1 微分的概念 3.2 微分的计算 3.3 微分的应用.

第四章　函数的积分学第七节　定积分的换元积分法　　　与分部积分法一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法.

教学大纲（甲型，54学时）教学大纲（乙型， 36学时）

教学大纲（甲型，54学时）教学大纲（乙型， 36学时）

第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质小结、作业 1/22.

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<<实用数值计算方法>> 第五章第五章　求积与求导 5.1　数值求积问题 5.2　插值多项式求积 5.3　控制精度的求积方法 5.4　待定系数法 5.5　Gauss开式求积 5.6　其他求积方法 5.7　插值多项式求导 5.8　数值求导的误差分析 5.9　其他求导方法浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.1 数值求积问题浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.1.1 机械求积方法图 5.1 函数值计算过程简单节点权函数值余值浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 　5.1.2　不同的求积形式闭式半闭式开式外延式图 5.2 不同的求积形式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 　5.1.3　代数精度浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.2　插值多项式求值图 5.3 插值多项式的函数形式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.2.1 用Lagrange多项式求积浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.2.1 图 5.4 不等间距开式求积示例浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.2.1 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.2.2 等间距闭式求积公式 Newton-Cotes 求积公式图 5.5 等间距求积示意浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.2.2 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.2.2 图 5.6 当n=1时浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.2.2 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.2.2 　　　依次类推得到Newton-Cotes系数表表 5.1 Newton--Cotes 系数表浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.2.2 以及相应的误差余值估计式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 　5.2.3 复合求积方法 Composite Quadrature 　　高阶插值多项式有产生严重震荡的可能　　故采取用低阶复合的方法图 5.7 低阶复合公式示意浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.2.3 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.3 控制精度的求积方法 5.3.1 外推原则　　 Richardson's Extrapolation 　　复合梯形法求积的误差表示为浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.3.1 图 5.8 Richardson's 外推浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.3.1 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.3.2 Romberg 求积利用外推原则弯度较小分段弯度较大分段图 5.9 自适应求积过程　　根据规定精度的要求，在每一分段中取不同的　　加精步数－－精度控制的自适应求积算法浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.3.2 表 5.2 Romberg求积格式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.3.3 简易的自适应求积算法 Adaptive Quadrature Algorithm 图 5.10 求积函数区间分隔 ( 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.3.3 图 5.11 简易自适应梯形求积算法框图 Simplified Adaptive Quadrature Algorithm Based on Trapezoidal Rule 开始 eps: 精度要求允许误差 Tolerance 否是 k=0? 是 k=0? 否否 Ek<eps? 是是否结束 k=n? 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.3.3 库程序 QUANC8 Quadrature,Adaptive,Newton-Cotes,8-panel 用于求积图 5.12 Behavior of adaptive quadrature routine QUANC8 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.3.3 图 5.13 求积简单的情形图 5.14 求积困难的情形浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

Error of method (log scale) 5.3.3 图 5.15 T DIFFICULT CASE A S Error of method (log scale) Slope=-2 slope=-1.1 Slope=-2 SMOOTH CASE T S A f(x) evaluations (log scale) Rate of convergence for quadrature methods test T--Trapezoidal rule S--Simpson rule A--Adaptive algorithm 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.4 待定系数法和求积公式 Method of Undetermined Coefficients 5.4.1 以闭式求积为例　Closed Quadrature 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.4.1 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.4.2 其它等间隔求积公式图 5.16 4节点外延式等间距求积浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.4.2 图 5.18 4节点等间距外延求积浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.4.2 图 5.19 3节点开式等间距求积浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.4.2 图 5.20 4节点等间距开式求积浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.4.2 图 5.21 5节点等间距外延求积浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.4.2 23 -16 5 23 -16 5 23 -16 5 23 -16 5 …………….. 23 -16 5 23 -16 5 23 -16 5 ……………. 23 -16 5 23 -16 5 23 -16 5 23 7 12 12 ……………………….. 12 12 12 -11 5 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

5.5 Gauss 开式求积 Gaussian Open Quadratrue 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.5.1 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.5.2 Legendre 多项式的性质 Gauss开式求积方法图 5.24 Gauss节点与Legendre多项式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.5.2 Legendre 多项式的递推算式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.5.2 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.5.3 Gauss 求积法示例对一定的m,ti和bi均为固定值表 5.2 Gauss开式求积的系数浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.5.3 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.6 其他求积方法 5.6.1 样条函数求值 Spline Quadrature 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.6.2 多重求积 Multiple Quadrature 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.6.2 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.6.2 多重积分计算示例浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

（Impossible Integration） 5.6.3 特殊求积 Improper Integrals 几种类型： 1. 被积函数在积分上限或下限处的极限存在，但函数值不存在 2. 积分上限是，或积分下限是。 3. 在积分限的两端存在积分奇异点 4. 在积分上限和下限之间的某已知点处存在积分奇点。 5. 在积分区间内某未知点处存在积分奇点（Impossible Integration）浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.6.3 类型1的求积方法：只要采用开式求积公式即可以解决问题类型2问题的的解法：  变量置换方法：常用的变量置换公式有：  极限过程：浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.6.3 例：计算  无穷区间的截断——略去无穷区间的“尾巴” 而把无穷区间化为一个有限区间。例：计算浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.6.3 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> G1 积分算法总结 Gauss 求积公式的定义浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> G2 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> R1 Romberg 算法原理浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> R2 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> R3 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> R4 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> N1 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> N2 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> N3 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.7 插值多项式求导以下诸节讨论不能以x显式的形式表达的函数对x的求导。 5.7.1 一般化的形式由需要求导区间邻近若干节点的数据构成Lagrange插值多项式图 5.24 插值求导与插值的关系浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.7.1 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.7.1 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.7.1 等间距的常用推导方法浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.7.1 可以写成紧凑的形式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.7.2 等间距节点数据求导（差分法）根据Newton--Gregory向前差分多项式浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.7.2 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.7.2 示例表 5.3 求导用差分表这些数已不可靠这一位数误差可能很大浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.7.2 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.8 数值求导的误差分析本节讨论方法误差和舍入误差在数值求导中的影响。 5.8.1 数值求导中的方法误差浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.8.1 精确值浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.8.1 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.8.2 舍入误差对数值求导的影响 (1) IBM360 单精度运算结果表 5.4 Results with single precision 以下误差大于 10% 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.8.2 (2) IBM360 双精度运算结果表 5.5 Results with double precision 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.8.3 步长(h)对误差的综合影响可见数值求导的误差不能由不断减小h而降低数值求导是一种不稳定的算法浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.8.3 表 5.6 sin(x)函数表浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 5.8.3 表5.7 计算试验结果浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>

<<实用数值计算方法>> 第五章习题 5.1 Write a FORTRAN subroutine which implements Simplified Adaptive Quadrature Algorithm based on Trapezoidal Rule by using the following nomenclature： SUBROUTINE SAQAT(FUN,XL,XU,N,TOL,HM,AQ,ER,NF) where the input variables are： FUN -- name of the integrand function subprogram FUN(X), XL -- lower quadrature limit of X, XU -- upper quadrature limit of X, N -- number of basic subintervals, TOL -- tolerance of relative error, HM -- maximum step size allowed and the output variables are： AQ -- result of quadrature, ER -- estimated relative error bound, NF -- vector of length N containing the numbers of function values used in each subinterval. Verify your program by executing the quadrature of the function： Derive numerical differentiation algorithm based upon spline interpolation. 5.2 浙江大学研究生学位课程 <<实用数值计算方法>>