第九章 微分方程与差分方程简介 §9.1 微分方程的基本概念 §9.2 一阶微分方程 §9.3 高阶常系数线性微分方程 §9.4 差分方程的基本概念 §9.5 常系数线性差分方程

§9.1 微分方程的基本概念 解 这里是从所建立的含有未知函数导数的关系式 中来解出未知函数的，这种含有未知函数导数的关系式 称为微分方程，求解未知函数的过程称为解微分方程．

一、微分方程的定义 凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程; 未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程; 未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的 微分方程，称为偏微分方程; 例如 常微分方程 偏微分方程. 本章仅研究一元函数的常微分方程,简称微分方程.

二、微分方程的阶 实质: 联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式． 在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现，但必须含有未知函数的导数(或微分)． 二、微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数 称为微分方程的阶. 3 2 1

分类1: 一阶微分方程 高阶(n≥ 2)微分方程 分类2: 线性与非线性微分方程 (此微分方程中对于含未知函数和各阶导数的项关于未知函数和各阶导数整个项都是一次的) 线性: 非线性:

三、微分方程的解 如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称 此函数为该微分方程的解． 例如 可见一个微分方程有无穷多个解．

微分方程解的分类： (1) 通解: 微分方程的解中含有独立的任意常数,且其个数与微分方程的阶数相同. 阶微分方程 通解的一般形式 或 注意 通解并不一定包含微分方程的所有解.

例如: 微分方程 通解为: 显然 也是解， 但通解中由于找不到一个常数C， 使得 ，所以通解中不包含 . 奇解: 不包含在通解中的微分方程的解. 是微分方程 的一个奇解．

(2) 特解: 微分方程任意确定的解即确定了通解中任意常数以后的解. 定解条件: 用来确定微分方程特解的条件. 定解问题: 求微分方程满足定解条件的解的问题. 初值条件: 系统处于初始状态时的定解条件. 初值问题: 求微分方程满足初值条件的解的问题. 一阶: 二阶:

微分方程的通解其图象是平面上一族积分曲线，它的 阶微分方程的定解条件一般为： 为 个常数. (自变量在同一点取值) 当 为自变量的初始取值时，上述定解条件 为初值条件. 微分方程的通解其图象是平面上一族积分曲线，它的 一个特解是这一族积分曲线中的一条积分曲线． 微分方程的解可由显函数表示，也可用隐函数表示.

解

所求特解为

故函数所满足的微分方程为：

练一练 （1）判断函数 是否是微分方程 的解. （2）写出以 为通解的微分方程 ， 为任意常数. 其中

解 答 （1）因为 （2）因为 即 所以 是该微分方程的解. 微分方程为 因为 中不含任意常数, 故为该微分方程的特解.

§9.2 一阶微分方程 我们只讨论几种特殊形式的一阶微分方程. 一、可分离变量的微分方程 1、已分离变量的微分方程： 分离变量法 一阶微分方程的一般形式： 我们只讨论几种特殊形式的一阶微分方程. 一、可分离变量的微分方程 1、已分离变量的微分方程： 分离变量法 为微分方程的通解. 注：分离变量法的依据是不定积分中积分变量与被积函数变量必须一致.

2、可分离变量的微分方程 (1) 或 (2) (1)式当g(y)0时，可转化为 用分离变量法求解. (2)式当P(x) 0,N(y)0时，可转化为 用分离变量法求解. 当g(y)=0、P(x) =0或N(y)=0时，要注意找奇解的问题.

例1 求微分方程 解 分离变量 两端积分

例2 求解微分方程 解 两端积分

例3 解微分方程

注意 １、通解结果中常数的形式和结构变化； ２、求通解与求解微分方程的区别.(奇解) 例4 求定解问题

先看书 再做练习 作业 练习9.1 P171:T3 练习9.2 P185:T1(3),(4).

已分离变量的微分方程： 分离变量法 可分离变量的微分方程 (1) 或 (2) (1)式当g(y)0时，可转化为 用分离变量法求解. (2)式当P(x) 0,N(y)0时，可转化为 用分离变量法求解. 当g(y)=0、P(x) =0或N(y)=0时，要注意找奇解的问题.

二、齐次微分方程(可化为分离变量方程) 的微分方程称为一阶齐次方程. 作变量代换 已分离变量的方程

例8 求解微分方程 解 微分方程的解为

解 代入原方程 原方程的通解为

三. 一阶线性微分方程 （一）、一阶线性微分方程的标准形式 上面方程称为一阶齐次线性微分方程. 上面方程称为一阶非齐次线性微分方程. 三. 一阶线性微分方程 （一）、一阶线性微分方程的标准形式 上面方程称为一阶齐次线性微分方程. 上面方程称为一阶非齐次线性微分方程. 非齐次的; 例如 非线性的. 齐次的;

（二）、一阶线性微分方程的解法 1.一阶齐次线性微分方程 分离变量:

一阶齐次线性微分方程的通解为 例1 解

例2 解

2.一阶非齐次线性微分方程 讨论: 设y=g(x)是解, 则 (两边同乘以 积分 非齐次方程解的形式

把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 设解为 积分得 (2) 非齐次方程通解

对应齐次方程通解 非齐次方程特解 对应齐次方程通解与 非齐次方程特解之和.

例1 解

例2 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 解 两边求导得 解此微分方程

所求曲线为

例3 注意 解

例4 解

练一练

解 答 的函数， 此方程关于 不是一阶线性微分方程 把 看作 于是

作业 先看书 再做练习 练习9.2 P185:T4(2),(5),(7).

§9.3 高阶常系数线性微分方程 二阶线性微分方程： 为二阶齐次线性微分方程 为二阶非齐次线性微分方程 §9.3 高阶常系数线性微分方程 二阶线性微分方程： 为二阶齐次线性微分方程 为二阶非齐次线性微分方程 当P(x)、Q(x)为常数时，称为二阶常系数线性 微分方程；否则为变系数二阶线性微分方程.

本节只研究二阶常系数线性微分方程： 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程 1.二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式 2.二阶常系数齐次线性微分方程解的结构

问题:

定理2 二阶常系数齐次线性微分方程(1)有且仅 有两个线性无关的解.

例如 3.二阶常系数齐次线性微分方程(1)通解的求法: 由定理3知，求二阶常系数齐次线性微分方程(1)的通解，关键是求出方程的两个线性无关的特解. 根据观察，方程(1)的解应该具有特征： 函数、函数的一阶导数、函数的二阶导数，其表达式由同类项构成，即求一阶、二阶导以后函数的形式不变，只有这样，它们的线性组合才可能恒等于零.故可设其解为：

将其代入上面方程, 得 特征方程 故有 特征根 特征方程法: 用二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的根确定 　　通解.

(1)有两个不相等的实根 特征根为 得两个线性无关的特解 于是齐次方程的通解为

反之：

(2) 有两个相等的实根 特征根为 一特解为 =0 =0 于是齐次方程的通解为

反之：

3、 有一对共轭复根 特征根为 得两个线性无关的解 由欧拉公式

重新组合 可以验证 、 是该齐次方程的两个实数解 于是得齐次方程的通解为

总结:

二. 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 对应的常系数齐次线性微分方程

1、二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构 =0

特解的叠加原理 例如：

2.二阶常系数非齐次线性方程通解求法 I.常数变易法 若对应齐次方程通解为 (3) 设非齐次方程的解为 (4) 设

(5) (4),(5)联立方程组 (I)

附: 积分可得 非齐次方程特解为

先看书 再做练习 作业 练习9.3 P199: T1(2),(8);

原方程的通解为

考察方程 的特解形式 求其一阶、二阶导代入原方程，并消去 ，有

综上讨论

例10.写出微分方程 的待定特解的形式. 解 设 的特解为 的特解为 则所求特解为 特征根 （重根）

练一练 解 答 通解为：

总结: 的形式 特解 的表达式

解 解 答

先看书 再做练习 作业 练习9.3 P200: T2(1),(6);T3(1).

§9.5 差分方程的概念 微分方程研究连续变量问题 差分方程研究离散变量问题 一、差分的概念 定义1

函数值用差分表示

差分的性质

例1 由定义 解 例2 解

注意：k次多项式的k阶差分为常数，k+1阶及其以上差分均为零. 例3 解 由差分的性质与定义，有 注意：k次多项式的k阶差分为常数，k+1阶及其以上差分均为零.

二、差分方程 定义2 差分方程的上述两种形式可以互换，如

三、差分方程的阶 定义3 如

四、差分方程的解 定义4

§9.6 常系数线性差分方程 一、n阶常系数线性差分方程

二、n阶常系数线性差分方程的基本性质 定理1 定理2 定理3

定理4 三、一阶常系数线性差分方程

1、一阶常系数齐次线性差分方程(4)的通解 例1 解

2、一阶非齐次线性差分方程(3)的特解与通解  i、

小结

例2 解

例3 解

ii、

小结

例4 解 注意 注意

或：

例5 解

iii、

例6 解

小结

作业 先看书 再做练习 练习9.5 P209: T1(1),(2). 练习9.6 P219: T1(4),(6); T2(4).