第4章 扭转

§4-2 圆轴扭转时的应力和强度计算 §4-3 圆轴扭转时的变形与刚度计算 本章主要内容 §4-1 圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图 §4-2 圆轴扭转时的应力和强度计算 §4-3 圆轴扭转时的变形与刚度计算

§4-1 圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图 一、 圆轴扭转的概念与实例 1、扭转的概念 　　1、扭转的概念 　　杆件的两端受到大小相等、转向相反且作用平面直垂于杆轴线的力偶的作用，致使杆件各横截面都绕杆轴线发生相对转动，杆件表面的纵向线将变成螺旋线。 2、扭转的受力特点：受一对等值、反向、作用面在横截面内的力偶作用时，圆轴产生扭转变形。 3、圆轴扭转的变形特点：各横截面绕杆轴线发生相对错动。 轴：以扭转变形为主的杆件称为轴

4、实例

发生扭转变形的水轮机轴

已知轴传递的功率，轴的转速，力偶矩的计算公式为： 二、 扭矩与扭矩图 １、 外力偶矩的计算 　　已知轴传递的功率，轴的转速，力偶矩的计算公式为： 其中： P---功率（kW)  T---外力偶矩(N.m)   n---轴的转速（r/min)

２、 扭矩： （１）、截面法分析扭转的内力——扭矩(T) 当杆件受到外力偶矩作用发生扭转变形时其横截面上的内力偶矩。 （用T表示；单位：N.m或kN.m)

（２）、 扭矩的正负号规定右手螺旋法则。

（３）、 指定截面扭矩的计算方法。

Me-T=0 用一假想的截从要求内力处将 杆件切开分成两段，取其中的任意一段为研究对象，画出其受力图，利用平衡方程，求出 内力（扭矩） 注意：在受力图中，扭矩最好假设成正方向，如上图。  由力偶平衡得：   Me-T=0 即：T=Me 

3、 扭矩图： 用一个图形来表示截面上的扭矩随其截面位置变化关系。

2、用一截面从2-2处将轴切开，取右部分为研究对象，受力图如图（d) 例1：图示圆轴的外力偶矩 MB=636.6N.m，MA=1591.5N.m， MC=954.9N.m。试作出其扭矩图。 解：1、用一截面从1-1处将轴切开，取左部分为研究对象， 受力图如图（c) 由（c）图可得：T1- MB =0 所以 T1=636.6N.m 2、用一截面从2-2处将轴切开，取右部分为研究对象，受力图如图（d) 由（d）图可得：T2+MC=0 所以 T2= -954.9N.m 3、作扭矩图 如图(b)

§4-2 圆轴扭转时的应力和强度计算 目的要求：掌握扭转横截面上的应力分布 教学重点：强度条件及其应用。 规律和强度条件的应用。 教学重点：强度条件及其应用。 教学难点：切应力互等定理和剪切胡克定律。

§4-2 圆轴扭转时的应力和强度计算 相互垂直两个平面上的切应力必然成对存 在，且大小相等、方向都垂直指向或背离两平面的交线。 §4-2　圆轴扭转时的应力和强度计算 一、 切应力互等定理和剪切胡克定律 １、 切应力互等定理 相互垂直两个平面上的切应力必然成对存 在，且大小相等、方向都垂直指向或背离两平面的交线。

２、 剪切胡克定律 τ＝τ’ （１）、 切应变：切应力只产生角应变，单元体的直角的改变量称为切应变。 （２）、 剪切胡克定律 在剪切比例极限的范围内，切应力和切应变成正比。比例常数为材料的切变模量（G）。 　　τ＝Gγ

二、 圆轴扭转时横截面上的应力 １、 切应力及其分布规律

２、 横截面上任一点的切应力计算公式 其中：T---截面上的扭矩 ρ---要求应力的点到圆心O点的距离

３、 横截面上最大切应力发生在周边上，计算公式为

4、实心和空心圆截的惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp (1) 实心圆截面 （2） 空心圆截面

三、 圆轴扭转时的强度计算 １、 强度条件

２、 例题 例1：如图所示，一钢制圆轴两端受外力偶m作用，已知m=2.5KN，直径d=6cm， 许用应力[τ]=60MPa，试校核该轴的强度。

解： 1、计算轴的扭矩T 将轴在离左端任一距离处用截面切开， 取左段为脱离体，画出其受 力图如下图， 由平衡条件可得：T=M 2、校核强度 此轴满足强度要求

§4-3 圆轴扭转时的变形与刚度计算 目的要求：掌握圆轴扭转的变形计算和刚度条件。 教学重点：圆轴扭转的刚度条件。 教学难点：对圆轴扭转的刚度条件的理解和应用。

§4-3 圆轴扭转时的变形与刚度计算 一、 圆轴扭转时的变形计算 1、扭转角(φ)：圆轴扭转时两横截面相对转过的角度。 一、 圆轴扭转时的变形计算     1、扭转角(φ)：圆轴扭转时两横截面相对转过的角度。       2、单位扭转角(θ)：单位长度上的扭转角。 (rad/m)        其中：T---截面上的扭矩　　　 Iρ---截面对圆心O点的极惯性矩           L---两截面之间的距离　 G---剪切弹性模量

其中：[θ]---许用单位扭转角（rad/m或°/m) 二、 圆轴扭转时的刚度计算     １、 刚度条件             其中：[θ]---许用单位扭转角（rad/m或°/m)

三、刚度计算举例 例2：如图所示的实心传动轴，Nk1=50KW，Nk2=150KW，Nk3=100KW， n=300r/min，许用应力[τ]=100MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa，试设计此轴的直径D。

解：1、求外力偶矩 2、求各段的扭矩     T1=M1=1591.7N.m     T2=M1-M2=3183.3N.m

4、设计直径 由

5、按刚度条件设计D         由强度计算和刚度计算可知     D≥69.4mm

【例9】 已知解放牌汽车的传动轴AB，如图所示，是由45 号无缝钢管制成，外径D=90 mm，壁厚t=2 【例9】 已知解放牌汽车的传动轴AB，如图所示，是由45 号无缝钢管制成，外径D=90 mm，壁厚t=2.5 mm ，传递的最大力矩为 M =1.5kN⋅m ，材料的许用应力[τ] = 60MPa ，剪切弹性模量G = 80GPa ，[θ ] =2o/m。 (1) 试校核其强度和刚度； (2) 若改用相同材料的实心轴，并要求它和原来的传动轴的强度相同，试计算其直径D1 ；生物力学中，动物骨头的内外直径比为8：11，若采用这一比例，试计算其外径D2； (3) 比较以上三种设计的重量。

解：(1) 校核传动轴AB 的强度和刚度 按强度条件 MPa< 按刚度条件 o/m< (2) 计算另外两种轴的直径。 mm mm

(3)比较以上三种设计的重量： 结论：虽然最好的设计方法是第二种设计方案，但第三种设计方案外径较小，当然在实际的工程应用中根据实际情况，选取合适的设计方案。

本章小结 一、知识点 1、掌握圆轴扭转切应力的计算 2、了解圆轴扭转时的强度条件 3、了解圆轴扭转时的刚度条件 二、重点内容 1、圆轴扭转时的强度计算 2、圆轴扭转时的刚度计算