第4章 扭转
§4-2 圆轴扭转时的应力和强度计算 §4-3 圆轴扭转时的变形与刚度计算 本章主要内容 §4-1 圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图 §4-2 圆轴扭转时的应力和强度计算 §4-3 圆轴扭转时的变形与刚度计算
§4-1 圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图 一、 圆轴扭转的概念与实例 1、扭转的概念 1、扭转的概念 杆件的两端受到大小相等、转向相反且作用平面直垂于杆轴线的力偶的作用,致使杆件各横截面都绕杆轴线发生相对转动,杆件表面的纵向线将变成螺旋线。 2、扭转的受力特点:受一对等值、反向、作用面在横截面内的力偶作用时,圆轴产生扭转变形。 3、圆轴扭转的变形特点:各横截面绕杆轴线发生相对错动。 轴:以扭转变形为主的杆件称为轴
4、实例
发生扭转变形的水轮机轴
已知轴传递的功率,轴的转速,力偶矩的计算公式为: 二、 扭矩与扭矩图 1、 外力偶矩的计算 已知轴传递的功率,轴的转速,力偶矩的计算公式为: 其中: P---功率(kW) T---外力偶矩(N.m) n---轴的转速(r/min)
2、 扭矩: (1)、截面法分析扭转的内力——扭矩(T) 当杆件受到外力偶矩作用发生扭转变形时其横截面上的内力偶矩。 (用T表示;单位:N.m或kN.m)
(2)、 扭矩的正负号规定右手螺旋法则。
(3)、 指定截面扭矩的计算方法。
Me-T=0 用一假想的截从要求内力处将 杆件切开分成两段,取其中的任意一段为研究对象,画出其受力图,利用平衡方程,求出 内力(扭矩) 注意:在受力图中,扭矩最好假设成正方向,如上图。 由力偶平衡得: Me-T=0 即:T=Me
3、 扭矩图: 用一个图形来表示截面上的扭矩随其截面位置变化关系。
2、用一截面从2-2处将轴切开,取右部分为研究对象,受力图如图(d) 例1:图示圆轴的外力偶矩 MB=636.6N.m,MA=1591.5N.m, MC=954.9N.m。试作出其扭矩图。 解:1、用一截面从1-1处将轴切开,取左部分为研究对象, 受力图如图(c) 由(c)图可得:T1- MB =0 所以 T1=636.6N.m 2、用一截面从2-2处将轴切开,取右部分为研究对象,受力图如图(d) 由(d)图可得:T2+MC=0 所以 T2= -954.9N.m 3、作扭矩图 如图(b)
§4-2 圆轴扭转时的应力和强度计算 目的要求:掌握扭转横截面上的应力分布 教学重点:强度条件及其应用。 规律和强度条件的应用。 教学重点:强度条件及其应用。 教学难点:切应力互等定理和剪切胡克定律。
§4-2 圆轴扭转时的应力和强度计算 相互垂直两个平面上的切应力必然成对存 在,且大小相等、方向都垂直指向或背离两平面的交线。 §4-2 圆轴扭转时的应力和强度计算 一、 切应力互等定理和剪切胡克定律 1、 切应力互等定理 相互垂直两个平面上的切应力必然成对存 在,且大小相等、方向都垂直指向或背离两平面的交线。
2、 剪切胡克定律 τ=τ’ (1)、 切应变:切应力只产生角应变,单元体的直角的改变量称为切应变。 (2)、 剪切胡克定律 在剪切比例极限的范围内,切应力和切应变成正比。比例常数为材料的切变模量(G)。 τ=Gγ
二、 圆轴扭转时横截面上的应力 1、 切应力及其分布规律
2、 横截面上任一点的切应力计算公式 其中:T---截面上的扭矩 ρ---要求应力的点到圆心O点的距离
3、 横截面上最大切应力发生在周边上,计算公式为
4、实心和空心圆截的惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp (1) 实心圆截面 (2) 空心圆截面
三、 圆轴扭转时的强度计算 1、 强度条件
2、 例题 例1:如图所示,一钢制圆轴两端受外力偶m作用,已知m=2.5KN,直径d=6cm, 许用应力[τ]=60MPa,试校核该轴的强度。
解: 1、计算轴的扭矩T 将轴在离左端任一距离处用截面切开, 取左段为脱离体,画出其受 力图如下图, 由平衡条件可得:T=M 2、校核强度 此轴满足强度要求
§4-3 圆轴扭转时的变形与刚度计算 目的要求:掌握圆轴扭转的变形计算和刚度条件。 教学重点:圆轴扭转的刚度条件。 教学难点:对圆轴扭转的刚度条件的理解和应用。
§4-3 圆轴扭转时的变形与刚度计算 一、 圆轴扭转时的变形计算 1、扭转角(φ):圆轴扭转时两横截面相对转过的角度。 一、 圆轴扭转时的变形计算 1、扭转角(φ):圆轴扭转时两横截面相对转过的角度。 2、单位扭转角(θ):单位长度上的扭转角。 (rad/m) 其中:T---截面上的扭矩 Iρ---截面对圆心O点的极惯性矩 L---两截面之间的距离 G---剪切弹性模量
其中:[θ]---许用单位扭转角(rad/m或°/m) 二、 圆轴扭转时的刚度计算 1、 刚度条件 其中:[θ]---许用单位扭转角(rad/m或°/m)
三、刚度计算举例 例2:如图所示的实心传动轴,Nk1=50KW,Nk2=150KW,Nk3=100KW, n=300r/min,许用应力[τ]=100MPa,[θ]=1°/m,G=80GPa,试设计此轴的直径D。
解:1、求外力偶矩 2、求各段的扭矩 T1=M1=1591.7N.m T2=M1-M2=3183.3N.m
4、设计直径 由
5、按刚度条件设计D 由强度计算和刚度计算可知 D≥69.4mm
【例9】 已知解放牌汽车的传动轴AB,如图所示,是由45 号无缝钢管制成,外径D=90 mm,壁厚t=2 【例9】 已知解放牌汽车的传动轴AB,如图所示,是由45 号无缝钢管制成,外径D=90 mm,壁厚t=2.5 mm ,传递的最大力矩为 M =1.5kN⋅m ,材料的许用应力[τ] = 60MPa ,剪切弹性模量G = 80GPa ,[θ ] =2o/m。 (1) 试校核其强度和刚度; (2) 若改用相同材料的实心轴,并要求它和原来的传动轴的强度相同,试计算其直径D1 ;生物力学中,动物骨头的内外直径比为8:11,若采用这一比例,试计算其外径D2; (3) 比较以上三种设计的重量。
解:(1) 校核传动轴AB 的强度和刚度 按强度条件 MPa< 按刚度条件 o/m< (2) 计算另外两种轴的直径。 mm mm
(3)比较以上三种设计的重量: 结论:虽然最好的设计方法是第二种设计方案,但第三种设计方案外径较小,当然在实际的工程应用中根据实际情况,选取合适的设计方案。
本章小结 一、知识点 1、掌握圆轴扭转切应力的计算 2、了解圆轴扭转时的强度条件 3、了解圆轴扭转时的刚度条件 二、重点内容 1、圆轴扭转时的强度计算 2、圆轴扭转时的刚度计算