第三模块 函数的微分学 第五节 隐函数及参数方程的求 导方法、高阶导数 一、隐函数的微分法 二、由参数方程所确定的函数的微分法 第三模块　函数的微分学 第五节　隐函数及参数方程的求 导方法、高阶导数 一、隐函数的微分法 二、由参数方程所确定的函数的微分法 三、对数微分法 四、高阶导数

一、隐函数的微分法 例 1 设方程 x2 + y2 = R2(R 为常数)确定函数 y = y(x)， 解 在方程两边求微分， 解 在方程两边求微分， d(x2 + y2 ) = dR2， 即 2xdx + 2ydy = 0. 由此，当 y  0 时解得 或

d(y + x – exy) = d0， 即 dy + dx - dexy = 0， 例 2 设方程 y + x – exy = 0 确定了函数 y = y(x)， 解 方程两边求微分，得 d(y + x – exy) = d0， 即 dy + dx - dexy = 0， dy + dx – exy(xdy + ydx ) = 0. 当 1 - xexy  0 时，解得 即

　　例 3 求曲线 x2 + y4 = 17 在 x = 4 处对应于曲线上的点的切线方程. 解 方程两边求微分，得 2xdx + 4y3dy = 0， 得 　　 即对应于 x = 4 有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4, 1) 和 P2(4, - 1). 将 x = 4 代入方程，得 y =  1.

在 P2 处切线的斜率 y|(4, - 1) = 2. 　　在 P1 处的切线斜率 y|(4,1)= - 2， 所以，在点 P1 处的切线方程为 y – 1 = - 2(x - 4) 即 y + 2x – 9 = 0 在点 P2 处的切线方程为 y + 1 = 2(x - 4)，即 y - 2x + 9 = 0

设 y = arcsin x，则 x = sin y，两边对 x 求微分，得 补证反三角函数的导数公式： 设 y = arcsin x，则 x = sin y，两边对 x 求微分，得 dx = cos ydy， ≤ cos y 取正号，

二、由参数方程所确定的 函数的微分法 参数方程，它的一般形式为 ① ② 对方程 ② 两边求微分，得 dy = f (t)dt， ③ 同样对方程 ① 两边求微分，得 dx =  (t)dt， ④

即

例 4　设参数方程 　(椭圆方程)确定了函数 y = y(x)， 解 dx = - a sin tdt， dy = bcos tdt ， 所以

　　例 5　求摆线 (a 为常数) 在对应于 　 时曲线上点的切线方程 . 解 与　 对应的曲线上的点为 dy = asin t dt ， dx = a(1 – cos t)dt ，

所以 点 P 处的切线方程为

地平线为 x 轴，过原点垂直 x 轴方向上的直线为 y 轴(如图). 如果不计空气阻力，以发射点为原点， 例 6 设炮弹与地平线成 a 角，初速为 v0 射出， 地平线为 x 轴，过原点垂直 x 轴方向上的直线为 y 轴(如图). 如果不计空气阻力，以发射点为原点， 由物理学知道它的运动方程为 y 中弹点 O x 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)如果中弹点与以射点同在一水平线上，求炮弹的射程. 求(1)炮弹在时刻 t 时的速度大小与方向，

它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿炮弹的前进方向，其斜率为 解 (1)炮弹的水平方向速度为 y O x 中弹点 Vy 炮弹的垂直方向速度为 Vx 所以，在 t 时炮弹速度的大小为 它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿炮弹的前进方向，其斜率为

(2)令 y = 0，得中弹点所对应的时刻

三、对数微分法 例 7 设 3 解　两边取对数，得 两边求微分，

所以

例 8　设 y = (tan x)x，求 y . 解　lny = xln(tan x) = x(lnsin x - lncos x) 所以

四、函数的高阶导数 如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导， 所得到的一个新函数， 称为函数 y = f(x) 的二阶导数， 　　　　　　　　　　　如对二阶导数再求导，则称三阶导数， 记作 f (x) 或 y 或 　四阶或四阶以上导数记为 y(4)，y(5)，· · ·，y(n) 记作 f (x) 或 　　　 　　而把 f (x) 称为 f (x) 的一阶导数. 或 · · · ，

例 9　设 y = ex，求 y(n). 解 y  = ex，y = ex， · · · ，y(n) = ex .

　　例 10　设 y = ln(1 + x) . 求 y(0)，y(0)， y(0)， · · · ，y(n)(0). 解

例 11　设 y = sin x ， 解

五、 高阶偏导数 函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数 如果这两个函数关于 一般说来仍然是 x , y 的函数， 　　　　　　　　　　　　　　　二阶偏导数有四个： 依照对变量的不同求导次序，

其中 及 称为二阶混合偏导数. 类似的，可以定义三阶、四阶、… 、n 阶偏导数， 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数， 称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数.

求函数 的所有二阶偏导数. 例 12 解 所以

本例中 ， = 有下述 定理： 这不是偶然的，

如果函数 z = f (x , y) 在区域 D 上两个二阶混合偏导数 、 连续， 定理 则在区域 D 上有 求导结果与求导次序无关， 即当二阶混合偏导数在区域 D 上连续时， 　　　　　　　　　　　　　这个定理也适用于三元及三元以上的函数. 证明从略.

试求 ， . 例 13 解

验证了

例 14 解 因为

所以 + z ( 1 + xyz ) e xyz × xy . e ) 3 1 ( 2 xyz z y x + =