第十二章 移动荷载下的结构内力分析

第一节 概述 1.移动荷载的概念 移动荷载就是在结构上可移动位置的荷载。

共同的特征 在位置变化的过程中，荷载的大小（分布荷载为荷载的集度）和方向是不变的。

1)平行移动 （集中荷载组）荷载 (a)平行移动荷载

2)移动均布荷载 (b)平行移动均布荷载

3）可任意分布均布荷载 图12-1-2

2.移动荷载下结构分析的概念 结构在某一确定的恒载或静力荷载作用下，内力图是唯一确定的。但在移动荷载作用下，结构的内力图会随着荷载位置的变化而变化，准确说，每个截面的内力都在变化。

在移动荷载作用下的结构内力分析，要考虑任意指定截面上的最大或最小内力值，用以做截面设计或验算；还要考虑结构所有截面中的最大或最小内力及它们所在的截面，用以确定结构设计中的最危险控制截面。

第二节 影响线及静力法作静定结构的影响线 1.影响线概念 在单位移动荷载作用下，结构的某指定截面k上的某一量值Z的变化规律图叫z的影响线。见图12-2-1。

(a) (b) (c) (d) 图12-2-1

2.静力法作单跨静定梁的影响线 1）简支梁的支座反力影响线 用静力平衡条件作影响线的方法叫静力法。 （1）写FBy影响线函数（或建立影响线方程）

建立荷载位置坐标x，这样就可把单位移动荷载FP=1看作是在x处的恒载一样 写出静力平衡方程，即FBy的影响线方程，见式(a)。 (a) 规定：竖向支座反力以竖直向上方向为正。

(2)绘制FBy影响线图 取x坐标轴为基线（一般与杆轴重合），用以标注荷载位置；y坐标轴垂直于x轴并一般以向上为正。FBy影响线图x=k处y方向上的竖标yk，表示移动荷载FP=1移动到k处时产生的FBy量值的大小。   规定：影响线图以在基线上方竖标为正。影响线图要求标注正负号。

2）简支梁的内力（剪力、弯矩）影响线 以所示简支梁上C截面的内力影响线为例。见图12-2-2(a)。 (a)

（1）建立内力影响线方程 由前已知在移动荷载FP=1作用下简支梁的支座反力，见图12-2-1(b)。 (b)

由C截面任一侧的静力平衡条件可得C截面的内力影响线方程,见图12-2-2(b)。

注意 以所考虑的截面C为界，内力影响线方程在该截面两侧的表达式是不同的，应分别求出。

当FP=1在截面C以左： (d) (a)

当x=0时， 当x=a时， 当FP=1在截面C以右 (f)

(b) 当x=a时， 当x=L时，

（2）绘制内力影响线图 分别绘出剪力FQC影响线、弯矩MC影响线图，见图(e)、(c)。 (c)MC影响线 (e)FQC影响线

剪力以使隔离体有顺时针转动趋势为正；梁的弯矩以使梁下侧受拉为正。 规定： 剪力以使隔离体有顺时针转动趋势为正；梁的弯矩以使梁下侧受拉为正。 说明： 1） 静定结构的反力、内力影响线是由直线构成的图形。

2） 弯矩和剪力影响线都是由两条斜直线构成的，若把在界限截面C以左、以右的直线分别叫做左直线、右直线，则简支梁的弯矩和剪力影响线的左右直线，均可分别由两个支座的竖向反力影响线图作简单组合构成。 3） 剪力影响线的左右直线是平行线。

例12-2-1 作图(a)所示伸臂梁下列量值影响线：Mk1，FQk1、Mk2、FQk2。

解：1)由梁的整体平衡条件，求FP=1在x处时的支座反力，见图(b)所示。

2）作Mk1、FQk1影响线 Ak1段 = =

k1C段 = =

绘影响线图： (e)Mk1影响线图 (f)FQk1影响线

3)作截面k2的弯矩Mk2、FQk2影响线 参照图(c)。 (c)

重新建立新的荷载位置坐标x`，见图(c)、(f)所示。

Mk2、FQk2影响线图见图(g)、(h)。 k2C段 Mk2、FQk2影响线图见图(g)、(h)。 (g) (h)

例12-2-2 作图(a)所示多跨静定梁的MD、FQE影响线。 (a)

解： 1）作MD影响线 当FP=1在AB梁上时，去掉BC部分，仅考虑AB部分作为伸臂梁的计算，见图(b) (b)

F支座的反力已求出。MD影响线方程： AD段 BD段 =

先由BC部分得出B铰处的约束力，将其反作用到AB部分，由AB部分即可写出MD的影响线方程。见图(c)。

BC段 =

2)作FQE影响线 BE段 = EC段 =

3)最后作影响线图，见图(d)、(e)。 (d) MD影响线 (e) FQE影响线

第三节间接（结点）荷载下的影响线 1、间接荷载下影响线的概念 主梁承受由各结点传来得力，因此又可以说，本节是研究结点荷载下的影响线问题。注意，主梁在间接荷载下由结点（横梁）传递的力的位置是固定的。

(a)

(b)

(c) 主梁在直接荷载下的Mk影响线图

(d) 主梁在间接荷载下的Mk影响线图

(e) 主梁在间接荷载下的FQk影响线图

3.间接荷载下影响线制作方法 以作主梁k截面的弯矩Mk影响线为例。 取纵梁CD考虑，见图(b)。 (b)

图(c)所示为主梁在直接荷载下的Mk影响线图。

根据叠加原理，可将由C、D两点传来的力分别乘以主梁在直接荷载下影响线中C、D两点上的竖标，即可得到在间接荷载下主梁影响线方程，即： (a)

在间接荷载作用下，主梁在C、D段上的Mk影响线，是一条连接主梁在直接荷载下Mk影响线在C、D两处的竖标的直线图形。 将CD纵梁两端的x值代入式(a)，得： (b) 在间接荷载作用下，主梁在C、D段上的Mk影响线，是一条连接主梁在直接荷载下Mk影响线在C、D两处的竖标的直线图形。

叠加法作主梁在间接荷载下影响线的方法： 若求主梁在间接荷载下的某量值z的影响线，先作主梁在直接荷载下量值z的影响线，然后依次将该影响线上相邻结点的竖标连直线，即得量值z在间接荷载下的影响线图。

例12-3-1 作图(a)所示梁的MD、FQB影响线。 解：各量值的影响线图绘制见图示。 (a)

(b)MD影响线图

(c)B左FQB影响线图

(d)B右FBQ影响线图

第四节 机动法作静定结构的影响线

以图12-4-1(a)所示伸臂梁的支座B反力FBy影响线为例。 1)虚位移法得出的影响线方程及影响线 以图12-4-1(a)所示伸臂梁的支座B反力FBy影响线为例。 (a)

(1)去掉结构上拟求量值相应的约束，使原结构成为一个机构，并按正方向代以FBy (2)使机构沿FBy方向发生约束允许的微小刚体虚位移，见图(b)所示。FBy作用处的虚位移为dB，荷载FP=1作用处的虚位移为dP。 (b)

让机构上的所有外力在图示的虚位移上作虚功，即建立虚位移方程： (a) 即： (b)

2)机动法 为了具有通用性，将式(a)所示虚位移方程写成一般式： (c) 将FP=1，并令dz=1代入式(c)，得： (11-4-1)

静定结构某量值z的影响线，是原结构去掉与z相应的约束后的机构，沿z的正方向发生单位虚位移的刚体虚位移图。

例12-4-1 用机动法重做例12-2-1 图(a)所示伸臂梁下列量值影响线：Mk1，FQk1。

解：用机动法作静定梁的弯矩、剪力影响线的两个主要内容为：虚位移图，影响线图。本例解见图(b)~(e)。

(c)Mk1影响线 (d)

(e)FQk1影响线

用机动法作静定结构影响线图需注意： 1)虚位移图必须按拟求量值z规定的正方向作出 2)与量值z相应的位移dz应等于1。 3)作相应于剪力的虚位移图时，注意左右直 线平行的特点。

例12-4-2 用机动法作图示多跨静定梁的MH、FBy、MA的影响线。

解： (a) (b)MH

(c) (d)FFy

(e) (f)MA

说明： 机动法在静定结构的影响线，关键是作相应的虚位移图。 还应注意： 1)静定结构的力的影响线是由直线段组成的图形。 2)虚位移一定要是约束允许的。 3)影响线的基线一般与单位移动荷载的移动方 向平行，即不一定与杆轴重合。

第五节 影响线的应用 1、最不利荷载位置的概念 当一组移动荷载移动到结构上的某一位置时，使结构的某指定截面上的某量值z有最大值zmax（或最小值zmin），该荷载位置即是量值z的最不利荷载位置。

移动荷载在给定的位置处对某量值z的影响（z值的大小），可由移动荷载与其位置下该量值z影响线上的竖标的代数和得出。 例如图12-5-1(c) (c)

当结构上作用荷载为分布移动荷载时，如图12-5-1(d)，分布荷载作用在某一位置上时对某量值z2的影响，可由微段dx上的荷载合力qdx与z2影响线竖标的乘积在荷载分布区段积分、求和得出，

即： 写成一般式： (11-5-2) 若将该面积用A，式(12-5-2)可写成： (11-5-3)

(b)z2影响线 z2影响线图在C点有突变。C点的竖标在基线以上的，是FP=1在C右时的z2值，在基线以下的，是FP=1在C左时的z2值。由于它们分别是影响线图中的最大和最小竖标值，因此当移动荷载FP在C右或C左时，分别由zmax和zmin，则图示荷载位置(应区分左右)是量值z2的最不利荷载位置。

(c) z1影响线 图(c)，所示影响线竖标都在基线以上正号部分，有两个集中荷载组成移动荷载。

当FP1=FP2时，图中所示FP2在影响线顶点时是量值z1有最大值的最不利荷载位置，因为此时在C点两侧等距离位置上的影响线竖标，坡度较缓一侧的y1大于坡度较陡一侧的y2。

利用影响线判断最不利荷载位置的原则： 当一组移动荷载中，荷载值较大，分布密度较大部分在z影响线顶点的范围，且其中的一个集中荷载作用在影响线顶点时，可能是z的最不利荷载位置。

2.最不利荷载位置的判别 由于考虑的是平行移动荷载，以其中的一个荷载位置建立荷载位置坐标x。由式(12-5-1) 可得出z(x)，然后通过z(x)函数性质，由数学中函数极值、最大值的概念，寻找出使z有最大值或最小值的条件，从而决定判定z的最不利荷载位置的路径和方法。

1)最不利荷载位置和临界荷载判别式 图12-5-2 z影响线图及移动荷载 (a) 上式(a)可表示成： (b)

式中， —影响线第j个直线段上荷载的等效合力 — 下影响线上的竖标值 k — 影响线直线段总数 式(b)即为荷载在图示x位置（由FP1的位置表示）时z值的大小。

令在此新的荷载位置上对z的影响为 ，则： 因为， 所以上式写成： 则荷载移动Dx后，z值的改变量为： 即： 式(d)为量值z的变化率 (c)

分析式(d)如下： (1)z的极值点（除区间两端点外），是两条直线 (2)使z的变化率改变正负号的条件： 使 变号的集中荷载应处于z影响线的一个顶点上，用FPcr表示，叫临界荷载。见下图12-5-3。

注意，FPcr是单独提出的，没有包含在影响线任一直线段荷载的合力中。 图12-5-3 Z影响线及荷载临界位置 注意，FPcr是单独提出的，没有包含在影响线任一直线段荷载的合力中。

(3)最不利荷载位置与临界位置 每个临界荷载FPcr对应z的一个极值。与FPcr相应的移动荷载位置，称为使 z有极值的临界位置。最不利荷载位置是z所有极值中的最大（或最小）值对应的荷载位置。

aj — z影响线中第j个直线段与基线（坐标x轴）的锐角。当aj在第一象限内为正，在第四象限内为负。 临界荷载判别式： (d) 式中， aj — z影响线中第j个直线段与基线（坐标x轴）的锐角。当aj在第一象限内为正，在第四象限内为负。 Dx— 荷载位置的改变量。与坐标x方向一致为正。

(1)当z有极大值时，临界荷载FPcr应满足： 荷载（临界荷载）由临界位置稍向左或向右移动，均应 成立。 当荷载左移时， 则： (e) 当荷载右移时， 则： (f) 式(e)、(f)既是z有极大值时的临界荷载判别式。

(2)当z有极小值时，临界荷载FPcr应满足： 荷载（临界荷载）由临界位置稍向左或向右移动，均应 成立。 当荷载左移时，Dx小于零，因此 小于零， 则： (g) 当荷载右移时，Dx大于零，因此 大于零， 则： (f) 式(g)、(h)既是z有极小值时的临界荷载判别式。

当荷载左移，FPcr进入左直线，判别式(e)改写为： 2）z影响线为三角形的临界荷载判别式 图11-5-4 Z影响线（三角形）及荷载临界位置 当荷载左移，FPcr进入左直线，判别式(e)改写为： 当荷载右移，FPcr进入右直线，判别式(f)改写为：

z影响线为三角形时，z有最大值的临界荷载判别式为： 当荷载左移（FPcr进入左直线），应满足： (12-5-2a) 当荷载右移（FPcr进入右直线），应满足： (12-5-2b)

例12-5-1 已知图中所示移动荷载FP1=FP2=200kN，FP3=FP4=400kN，求：a、跨中截面C的最大弯矩MCmax； b、截面D 的剪力FQD的最不利荷载位置。

解：a、求Mcmax 参照图(a) (a) MC影响线图及可能的临界位置 (1)作MC影响线图。

(2)由判别式判断临界荷载，并计算相应的极大值 满足。FP2是 临界荷载。 计算该荷载位置时的极大值：

设图中II所示的是临界位置，FP3为临界荷载。 计算该荷载位置时的极大值： 比较两极值，截面C在移动荷载作用下的 最大弯矩值为：

b、确定截面D剪力FQD的最不利荷载位置 (1)作截面D的剪力影响线，见图(b)。 (b)FQD影响线及可能的临界位置

(2)通过试算确定FQD的最大、最小值，及相应的最不利荷载位置 比较后，知： 则位置I是FQmax的最不利荷载位置 同理可得，图示位置III时，有： 即，位置III是FQmax的最不利荷载位置。

说明： 图(b)所示剪力影响线不属于本节所提的三角形影响线，因此判别式(12-5-2)不适用，只能按一般原则先假设可能的最不利荷载位置，然后由试算确定。

第六节 简支梁的绝对最大弯矩 和内力包络图

1.简支梁的绝对最大弯矩 1) 绝对最大弯矩的概念 在移动荷载作用下，简支梁的所有截面的最大弯矩中的最大值，叫简支梁的绝对最大弯矩。

2) 绝对最大弯矩的计算 绝对最大弯矩是简支梁上某一个截面的最大弯矩，应该完全满足与指定截面最大弯矩相同的条件。但产生绝对最大弯矩的截面是未知的。找出绝对最大弯矩发生的截面，便成为本问题的关键。

下面寻找简支梁绝对最大弯矩截面。 图12-6-1

设简支梁发生绝对最大弯矩时的临界荷载FPcr在x处，由静力平衡条件求出该临界荷载下截面1的弯矩，其表现为x的函数。由该函数有极大值得条件建立方程，即可求得x值，即绝对最大弯矩截面位置。计算过程如下： （1）求支座反力 (a)

—为FPcr以左（截面1以左）移动荷载对FPcr作用点的力矩之和， （2）求截面1弯矩 取截面 1以左，得： 代入FRA后，得： (b) 式中， —为FPcr以左（截面1以左）移动荷载对FPcr作用点的力矩之和，

(3)求x值 利用M1有极值条件 即： (c) (4)结论 产生绝对最大弯矩截面恰与合力作用截面分别位于简支梁中点C两侧对称位置上。换句话说，使简支梁有绝对最大弯矩的临界荷载FPcr与作用在梁上的移动荷载的合力FR，分别位于简支梁中点C两侧对称位置1、2上。

使简支梁跨中截面有最大弯矩的临界荷载，一般是使简支梁发生绝对最大弯矩的临界荷载。 例12-6-1 求图示简支梁的绝对最大弯矩。FP1=FP2=30kN,FP3=20kN,FP4=FP5=10kkN。

解：1)判断使梁中截面C有最大弯矩的临界荷载 设FP2为临界荷载，代入判别式(12-5-2)得： 满足，FP2是临界荷载 同理，设FP3为临界荷载，不满足判别式。

2)计算移动荷载等效合力FR 满足合力等效： 满足合力矩等效：(以FP2为矩心，FR到 FP2 的距离为a) 将临界荷载FP2和等效合力放在梁中点C两侧对称位置上，见图示荷载位置.

3)计算梁的绝对最大弯矩 该弯矩值既是本例简支梁的绝对最大弯矩值，位置在离A支座9.6m处截面。

2.简支梁的内力包络图 1)内力包络图的概念 移动荷载作用下，结构的所有截面上的内力（弯矩、剪力、轴力）的最大值与基线（一般为杆轴）围成的图形。内力包络图表示，在移动荷载作用下，使整个梁（或整个结构）达到的内力极限范围。

2)简支梁的弯矩包络图 即，在移动荷载作用下，简支梁上所有截面的最大弯矩（包括绝对最大弯矩）连线形成的图形。 简支梁弯矩包络图的绘制方法： 将简支梁沿轴线分成若干等分，计算每一个等分点处截面的最大弯矩，然后计算绝对最大弯矩。最后，描点连线绘出包络图。

3)简支梁的剪力包络图 简支梁的剪力包络图的绘制过程与弯矩包络图相同。简支梁的绝对最大剪力必定发生在梁端，且同一截面处剪力既有最大值又有最小值，因此简支梁的剪力包络图是分别以梁两端为最大值的，并由基线以上和基线以下两条曲线围成。

第七节 超静定梁的影响线轮廓

1.超静定梁的影响线绘制思路 (a)原结构 (b)力法基本结构 (c) (d) 图12-7-1

当荷载移动时 是变化的，其变化规律就是FRB的变化规律。 据此建立只含一个未知量的力法方程为： 解得： (a) 根据位移互等定理 且x1=FRB，代入式(a)，得： (b) 式(b)是FRB的影响线方程 当荷载移动时 是变化的，其变化规律就是FRB的变化规律。

可由图(c)中 说明 的变化规律。 的变化规律就是图中变形曲线表示的规律。该变形曲线图形及表示FRB的影响线形状。 2.超静定梁的影响线轮廓绘制 考虑n次超静定结构某量值z的影响线 轮廓制作方法及步骤：

1)去掉元n次超静定结构中相应于z的约束，使其变成n-1次超静定； 2)使得到的n-1次超静定结构仅在z=1作用下，并使z作用点发生沿z正方 1)      向的位移，绘制满足约束允许的、变形连续相容的梁的变形曲线； 3)按该变形曲线图形在基线的上、下侧位置，分别标注正、负号，即得到量值z的影响线轮廓。

说明： 量值z的方向按规定的正方向设定。 以上所述作超静定结构的影响线轮廓的方法，相似于作静定结构影响线的机动法，所以时常也叫机动法。

例12-7-1 作图(a)所示连续梁量值 的影响线轮廓。 (a) 解： (a) MA影响线轮廓

(b) FQA影响线轮廓 (c) MC影响线轮廓

(d) FQG影响线轮廓 (e) FQC2影响线轮廓

3.连续梁在可断续分布的均布荷载下的最不利荷载位置及内力包络图 1)连续梁的最不利荷载布置 图12-7-2量值z的影响线轮廓和荷载位置 上部BC、CD跨上布满的荷载是z有最大值的最不利荷载位置。下部AB、DE跨布满的荷载是z有最小值的最不利荷载位置。

2)连续梁的内力包络图制作 不论是梁上哪个量值的最不利荷载位置，都是在相应的几个跨上整垮布置。如果分别计算并绘出连续梁的每一跨单独布满均布荷载时梁的剪力图或弯矩图，然后将计算结果和同一内力图叠加，就是剪力或弯矩包络图。