第 3 章 傅里叶变换

目 录 3.1 周期信号的傅里叶级数分析 3.2 典型周期信号的傅里叶级数 3.3 傅里叶变换 3.4 典型非周期信号的傅里叶变换 3.1 周期信号的傅里叶级数分析 3.2 典型周期信号的傅里叶级数 3.3 傅里叶变换 3.4 典型非周期信号的傅里叶变换 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换 3.6 周期信号的傅里叶变换 3.7 取样信号的傅里叶变换 3.8 系统的频域分析

3.1 周期信号的傅里叶级数分析 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。

3.1.1 三角形式的傅里叶级数 设周期信号为f(t), 其重复周期是T1,角频率 f(t)分解为不同频率三角函数线性组合的无穷级数。 推导 3.1.1 三角形式的傅里叶级数 设周期信号为f(t), 其重复周期是T1,角频率 f(t)分解为不同频率三角函数线性组合的无穷级数。 其中 推导 基波，二次谐波….n次谐波 傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。

三角形式的傅里叶级数也可表示成： （2） 其中 an为 的偶函数， 为 的奇函数 cn为 的偶函数， 为 的奇函数

例题 求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。 解：一个周期内 的表达式为：

因此

3.1.2 指数形式的傅里叶级数 f(t)分解为不同频率指数函数线性组合的无穷级数。 其中 f(t) →Fn建立一一对应关系。 3.1.2 指数形式的傅里叶级数 f(t)分解为不同频率指数函数线性组合的无穷级数。 其中 f(t) →Fn建立一一对应关系。 Fn与nw1形成函数关系

例题：如图所示信号f(t)的指数形式的傅里叶级数。 -Ts Ts -τ/2 τ/2 t E 分析：要求级数只要确定了系数Fn即可。 解：

例题：已知信号f(t)=cos100t,求指数形式的傅里叶级数系数Fn。 所以 解： 例题：已知指数形式的傅里叶级数系数Fn如图所示，求信号f(t) - 2w1 2w1 -w1 w1 nw1 Fn 3 1 解： 所以

3.1.3 周期信号的频谱及其特点 1. 周期信号的频谱 （1） （2） （3） f(t) →Fn建立一一对应关系。 3.1.3 周期信号的频谱及其特点 1. 周期信号的频谱 （3） （1） （2） f(t) →Fn建立一一对应关系。 不同时域信号对应的Fn不同，因此可以通过研究Fn来研究信号的特性。Fn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅度和相位变化规律称为频谱函数。直接画出各次谐波对应的Fn的线状分布图形称为信号的频谱图。

例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。 -w1 w1 nw1 Fn 0.5 例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。 解： 所以 例题：已知信号f(t)的频谱Fn如图所示，求信号f(t)。 - 2w1 2w1 -w1 w1 nw1 Fn 2 1 解： 所以

例题 求题图所示的周期矩形信号指数形式的傅里叶级数，并画出频谱图。 解：一个周期内 的表达式为：

幅度频谱和相位频谱 频谱的特点 离散性 谐波性 收敛性

2. 周期信号频谱的特点 （1）离散性 -------- 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱称为 离散频谱 （2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 的整数倍上。 （3）收敛性 -------- 幅度谱的谱线幅度随着 而逐渐 衰减到零。 3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系 如果f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。

（1）偶函数 所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能含有（直流）和余弦分量。

（2）奇函数 在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流与余弦分量，只可能包含正弦分量。 （3）奇谐函数 或

（3）奇谐函数 例如

可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。

3.2 典型周期信号的频谱 3.2.1 周期矩形脉冲信号 (1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数

f(t)的指数形式的傅里叶级数为 （2）频谱图

一般情况： 若 则 第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有n-1根谱线。 有效带宽： 或 结论：矩形脉冲的频带宽度与脉冲宽度成反比。

（3）频谱结构与波形参数的关系（T1, ） 1. 若 不变， 扩大一倍，即

2.若 不变， 减小一半，即 谱线间隔 只与与T1成反比；等效带宽与 成反比。

3.2.2 周期冲激信号 ….. ….. t δT(t) w Fn w1 2w1 -2w1 -w1 0 周期冲激信号的频谱为常数。 (1) 3.2.2 周期冲激信号 (1) t δT(t) T1 2T1 -2T1 -T1 0 ….. 1/T1 w Fn w1 2w1 -2w1 -w1 0 ….. 周期冲激信号的频谱为常数。

3.3 傅里叶变换及典型信号的傅里叶变换 一.傅里叶变换 周期信号的离散谱 非周期信号的连续谱 由于

F [ f(t)] F –1 频谱密度函数 ----------- 非周期信号f(t) 的傅里叶变换 --------- 傅里叶逆变换 ------------ 幅度谱 ------------ 相位谱

傅里叶变换： ------ 连续谱 周期信号： ------ 离散谱 Fn与F(w)关系

二. 典型非周期信号的傅里叶变换 1、单边指数信号 α>0

2、双边指数信号 α>0 实偶信号的傅里叶变换也为实偶函数。

3、符号函数

幅度频谱： 相位频谱：

4、对称矩形脉冲信号 周期矩形脉冲信号： P102最下边 之间满足如下关系：

f(t)的频谱与f(t)的周期延拓函数频谱关系： 1)包络线相似 2)离散谱可以通过对连续谱等间隔抽样获得

5、 冲激函数和冲激偶函数 (1）冲激函数的傅里叶变换 （2）冲激偶的傅里叶变换 F F

6.直流信号 F 7、阶跃信号 F

3.5 傅里叶变换的基本性质 3.5.1 线性 若F[f1(t)]=F1(w), F[f2(t)]=F2(w) 3.5 傅里叶变换的基本性质 3.5.1 线性 若F[f1(t)]=F1(w), F[f2(t)]=F2(w) 则F[af1(t)+b f2(t)]=aF1(w)+b F2(w) 3.5.2 对称性 若F[f(t)]=F(w),则F[F(t)]=2πf(-w) (1) t F(ω)=R(ω)=1 ω 1 t F(t)=1 1 2πf(ω) ω (2π)

又如：

例：求 的傅里叶变换。 解：

例 求 的傅里叶变换。 解： 根据对称性 -w0 w0 w F(W) 取τ/2=w0则有

3.5.3 对偶性

两种特定关系： 1. 若f(t)是实函数，或纯虚函数 [f(t)= j g(t)]，则 |F(w) |是偶函数, φ(w)是奇函数。 2. 若f(t)是 t的 实偶函数，则 F(w)必为 w 的实偶函数 F(w)=R(w) 若f(t)是 t 的实奇函数，则 F(w)必为 w的虚奇函数 F(w)=jx(w)

例：求下图所示的单边矩形脉冲信号的频谱函数。 3.5.4 位移特性 （1）时移特性 若 F[f(t)] 则 F[f(t-t0)]= 同理 F[f(t+t0)]= 例：求下图所示的单边矩形脉冲信号的频谱函数。 解： 因为对称矩形脉冲信号EGτ(t) 的傅里叶变换为 F[EGτ(t) ]=EτSa(wτ/2) 根据时移特性 F[f(t) ]=EτSa(wτ/2)e-jwτ/2

(2)频移特性 若 F[f(t)] 则 例： 求 的频谱。 解：

例：已知的频谱如图所示，求f(t)cosw0t。 F(w) -wm wm w 例：已知的频谱如图所示，求f(t)cosw0t。 解： w -wm 0 wm -w0-wm -w0 -w0+wm w0-wm w0 w0+wm

例3：求矩形调幅信号的频谱函数，已知f(t)=G(t) cosω0t，其中 G(t)为矩形脉冲，脉幅为E, 脉宽为τ。 解：f(t)=G(t) cosω0t=0.5 G(t)(ejω0t+e-jω0t)

F[f(t)] F[f(at)] 3.5.5 尺度变换特性 若 则 由上可见，信号在时域中压缩等效在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展等效在频域中压缩。

F[f(at-t0)] F[f(at+t0)] F[f(t)] F[df(t)/dt] F[dnf(t)/dtn] 综合时移特性和尺度变换特性，可以证明以下两式： F[f(at-t0)] F[f(at+t0)] 3.5.6 微分与积分特性 F[f(t)] 若 （1）时域微分特性 则 F[df(t)/dt] F[dnf(t)/dtn]

例如：由于 F 所以 （2）时域积分特性 则 若 F[f(t)] F 若F(0)=0 则 F

（3）频域微分特性 若 则 例：

3.5.7 卷积定理 F[f2(t)] F[f1(t)] F[f2(t)] F[f1(t)] （1）时域卷积定理 若 则 3.5.7 卷积定理 （1）时域卷积定理 若 F[f2(t)] 则 F[f1(t) *f2(t)]= F[f1(t)] （2）频域卷积定理 若 则 F[f2(t)] F[f1(t)] F[f1(t) f2(t)]=

例3-13：利用频域卷积定理求余弦脉冲的频谱。 f(t) t 解：我们把f(t)看作是矩形脉冲G(t) 与无穷长余弦函数的乘积。 t F t

F t t 卷积 f(t) t 相乘

解：可把三角脉冲看作是两个同样的矩形脉冲的卷积。 例3-12：利用时域卷积定理求三角脉冲的频谱 解：可把三角脉冲看作是两个同样的矩形脉冲的卷积。 f(t) t -τ/2 τ/2 E t -τ/4 τ/4 G(t)

t -τ/4 τ/4 G(t) f(t) t -τ/2 τ/2 E

3.6 周期信号的傅里叶变换 1. 虚指数信号、正弦、余弦信号的傅里叶变换

2. 一般周期信号的傅里叶变换 周期信号f(t)： 周期为T1, 角频率为 对式（1）两边取傅里叶变换

1）周期单位冲激序列傅里叶变换。

2）周期矩形脉冲信号傅里叶变换

设：

2. 一般周期信号的傅里叶变换 周期信号f(t)： 周期为T1, 角频率为 对式（1）两边取傅里叶变换

也称抽样，它是用离散化的一组样本值表示连续函数的过程或者方法。 3.7 取样信号的傅里叶变换 也称抽样，它是用离散化的一组样本值表示连续函数的过程或者方法。 3.7.1 信号的取样 所谓“取样”就是利用取样脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中“取样”一系列的离散样值，这种离散信号通常称为“取样信号”。 原始信号 抽样脉冲信号p(t)的频率 称为抽样频率，记为fs。 抽样脉冲信号 已抽样脉冲信号

fs(t) 取样 连续信号 f(t) 量化、编码 数字信号 取样脉冲p(t) 取样过程方框图 已取样信号

3.7.2 已取样信号的傅里叶变换Fs(w) 令连续信号f(t)的傅里叶变换为F(w); 取样脉冲p(t)的傅里叶变换为P(w); 已取样信号fs(t)的傅里叶变换为 其中：

（1）矩形脉冲取样 取样脉冲p(t)是矩形脉冲，令它的脉冲幅度为E，脉宽为τ，取样角频率为ωs，这种取样也称为“自然取样”。 E

ω P(ω) ωs -ωs (Eτωs) E p(t) t Ts 设： 相乘 t fs(t) Ts 卷积 ω Fs(jω) ωs -ωs

（2）冲激取样 若取样脉冲p(t)是冲激序列，此时称为“冲激取样”或“理想取样” t p(t) Ts (1)

t p(t) Ts (1) ω P(ω) (ωs) ωs -ωs t fs(t) Ts 相乘 ω Fs(ω) ωm -ωm 1/Ts ωs -ωs 卷积

3.7.3 取样定理 ω Fs(ω) ωm -ωm 1/Ts ωs -ωs 从上图可知：只有满足 才不会产生频谱混叠，即 保留了原连续时间信号的全部信息。这时只要将 施加于“ 理想低通滤波器”，就可恢复原信号f(t) 。 理想低通滤波器的频率特性为：

通常把最低允许的取样率称为奈奎斯特取样率，把最大允许的取样间隔称为奈奎斯特间隔。即 ω Fs(ω) ωm -ωm 1/Ts ωs -ωs 或： ω ωm -ωm 1/Ts

时域取样定理：一个频谱受限的信号 f(t)，如果频谱只占据-ωm~ωm的范围，则信号 f(t)可以用等间隔的取样值来惟一地表示。而取样间隔Ts≤1/(2fm) (其中ωm=2πfm），或者说，取样频率fs≥2fm。 若不满足，则会产生混叠现象。

t f(t) ω F(ω) ωm -ωm 1 ω ωm -ωm 1/Ts -ωs ωs t fs(t) Ts ω ωm -ωm 1/Ts

例3-16已知信号 用 对其进行取样， F 解:（ 1） （1）确定奈奎斯特取样率； （2）若取 求取样信号 并画出波形图； 例3-16已知信号 用 对其进行取样， （1）确定奈奎斯特取样率； （2）若取 求取样信号 并画出波形图； （3）求 并画出频谱图； （4）确定低通滤波器的截止频率 F 解:（ 1） 奈奎斯特取样率为：

（2） （3）

（4） 低通滤波器的截止频率 应满足下式： 即

3.8 系统的频域分析 F F 3.8.1 系统响应的频域表示 （1） 设 对式（1）两边取傅里叶变换： 或： 3.8 系统的频域分析 3.8.1 系统响应的频域表示 （1） 设 F 对式（1）两边取傅里叶变换： 或： -------- 系统函数（或转移函数） F

3.8.2 系统的频域模型 ------- 系统频率响应 由于 可对 进行某种加工变成响应信号，因而， 也称为系统的频率响应特性，简称频率特性或频响特性。 --------- 相频特性 --------- 幅频特性

求 例3-18：已知 解法一：对微分方程两边取傅里叶变换得 解法二：先求h(t)再求 由2.3节介绍的求冲激响应的方法，可求出

再对上式取傅里叶变换，得 F

作业 3-1 3-3 3-4 3-15 3-19 (b) 3-21 3-23 3-24 3-25 3-26 3-29(1)(4)(6) 3-39 (1)(4 ) 3-41 课下练习： 3-7 3-8 3-11 3-14 3-16 3-17 3-19 (a) 3-29(2)(3)(5)(7) 3-31 3-42 3-33 3-34 3-40 3-42