第七章偏微分方程 7.1 一般介绍 7.2 一阶双曲型方程的差分求解法 7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法

Slides:

Advertisements

Similar presentations

数值分析第五节数值微分在实际问题中，往往会遇到某函数 f(x) 是用表格表示的, 用通常的导数定义无法求导, 因此要寻求其他方法近似求导。常用的数值微分方法有 : 一. 运用差商求数值微分二.运用插值函数求数值微分三. 运用样条插值函数求数值微分四. 运用数值积分求数值微分.

Advertisements

高等数学（ XJD ）第二章导数与微分返回高等数学（ XAUAT ）高等数学（ XJD ）求导法则基本公式导数导数微分微分微分微分求导方法高阶导数微分法则导数与微分关系图导数与微分关系图.

一、一阶线性微分方程及其解法二、一阶线性微分方程的简单应用三、小结及作业 §6.2 一阶线性微分方程.

第五节全微分方程一、全微分方程及其求法二、积分因子法三、一阶微分方程小结. 例如所以是全微分方程. 定义 : 则若有全微分形式一、全微分方程及其求法.

第五节函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分形式不变性五、微分在近似计算中的应用六、小结.

第二章导数与微分习题课主要内容典型例题测验题. 求导法则求导法则求导法则求导法则基本公式导数导数微分微分微分微分高阶导数高阶微分一、主要内容.

第九章常微分方程数值解法 §1 、引言. 微分方程的数值解：设方程问题的解 y(x) 的存在区间是 [a,b] ，令 a= x 0 < x 1

2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用.

第八章第四节机动目录上页下页返回结束一个方程所确定的隐函数及其导数隐函数的微分法.

第七节函数的微分一、微分概念二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、小结.

积分的应用不定积分的应用定积分的应用第四章微分方程不定积分的应用第一节第一节学习重点微分方程的概念一阶微分方程的求解.

第 4 章数值微积分. 4.1 内插求积 Newton-Cotes 公式第 4 章数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes 公式.

2.6 隐函数微分法第二章第二章二、高阶导数一、隐式定义的函数三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数, 由表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此隐函数求导方法.

计算机数学基础（下）－－数值分析教师：孙继荣电话： 028 －

1 热烈欢迎各位朋友使用该课件！广州大学数学与信息科学学院. 2 工科高等数学广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东.

5.4 微分一、微分概念二、微分的运算法则与公式三、微分在近似计算上的应用. 引例一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x 0 变到 x 0  x  考查此薄片的面积 A 的改变情况  因为 A  x 2  所以金属片面积的改变量为  A  (x 0 

2.5 函数的微分一、问题的提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分的求法六、小结.

一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. 解法为微分方程的解. 分离变量法 §2 一阶常微分方程.

第二章导数与微分一. 内容要点二. 重点难点三. 主要内容四. 例题与习题.

2.3 函数的微分. 四川财经职业学院课前复习高阶导数的定义和计算方法。作业解析：

第三节微分 3.1 、微分的概念 3.2 、微分的计算 3.3 、微分的应用. 一、问题的提出实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.

8.1 不定积分的概念和基本积分公式  原函数和不定积分  基本积分公式表  不定积分的线性运算法则第八章不定积分.

3.4 空间直线的方程.

1.非线性振动和线性振动的根本区别 §4-2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法方程

代数方程总复习五十四中学苗伟.

静电场的Laplace方程和Poisson方程

§1 二阶与三阶行列式 ★二元线性方程组与二阶行列式 ★三阶行列式

一、二阶行列式的引入用消元法解二元线性方程组. 一、二阶行列式的引入用消元法解二元线性方程组.

第三章函数逼近 — 最佳平方逼近.

第一章行列式第五节 Cramer定理设含有n 个未知量的n个方程构成的线性方程组为 (Ⅰ) 由未知数的系数组成的n阶行列式

恰当方程（全微分方程）一、概念二、全微分方程的解法.

一、原函数与不定积分二、不定积分的几何意义三、基本积分公式及积分法则四、牛顿—莱布尼兹公式五、小结

计算方法第2章数值微分与数值积分 2.1 数值微分.

第三节函数的求导法则一函数的四则运算的微分法则二反函数的微分法则三复合函数的微分法则及微分形式不变性四微分法小结.

不确定度的传递与合成间接测量结果不确定度的评估

第四节一阶线性微分方程线性微分方程伯努利方程小结、作业 1/17.

§5 微分及其应用一、微分的概念实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..

1.5 场函数的高阶微分运算 1、场函数的三种基本微分运算标量场的梯度f ，矢量场的散度F 和F 旋度简称 “三度” 运算。

第二章　导数与微分第二节　函数的微分法一、导数的四则运算二、复合函数的微分法.

第三章导数与微分习题课主要内容典型例题.

2-7、函数的微分教学要求教学要点.

§5 微分及其应用一、微分的概念实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..

§3 微分及其运算一、微分的定义二、基本初等函数的微分公式与微分运算法则.

初中数学九年级(下册) 5.3　用待定系数法确定二次函数表达式.

数值计算方法第八章常微分方程初值问题数值解法　重庆邮电大学.

第2章 Z变换 Z变换的定义与收敛域 Z反变换系统的稳定性和H(z) 系统函数.

§3.7 热力学基本方程及麦克斯韦关系式热力学状态函数 H, A, G 组合辅助函数 U, H → 能量计算

第九章微分方程与差分方程简介 §9.1 微分方程的基本概念 §9.2 一阶微分方程 §9.3 高阶常系数线性微分方程

计算机数学基础主讲老师: 邓辉文.

第4章非线性规划 4.5 约束最优化方法 2019/4/6 山东大学软件学院.

第一章函数与极限.

人教版五年级数学上册第四单元解方程（一）马郎小学陈伟.

Partial Differential Equations §2 Separation of variables

3.8.1 代数法计算终点误差终点误差公式和终点误差图及其应用 3.8 酸碱滴定的终点误差

线性代数厦门大学线性代数教学组 2019年4月24日6时8分 / 45.

第九节赋值运算符和赋值表达式.

國立臺灣海洋大學機械與機電工程學系 PDE 期末報告

第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的几何意义三、基本积分表四、不定积分的性质五、小结思考题.

第三章　函数的微分学第二节　导数的四则运算法则一、导数的四则运算二、偏导数的求法.

位移法 —— 例题主讲教师：戴萍.

学习任务三偏导数结合一元函数的导数学习二元函数的偏导数是非常有用的. 要求了解二元函数的偏导数的定义, 掌握二元函数偏导数的计算.

一般的代数方程函数solve用于求解一般代数方程的根，假定S为符号表达式，命令solve (S)求解表达式等于0的根,也可以再输入一个参数指定未知数。例： syms a b c x S=a*x^2+b*x+c; solve(S) ans = [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))]

一元二次不等式解法（1）.

第二章函数插值 — 三次样条插值.

线性代数厦门大学线性代数教学组 2019年5月12日4时19分 / 45.

第四节第七章一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程.

§2 方阵的特征值与特征向量.

5.2.1 变量可分离的微分方程形如的微分方程成为变量可分离的微分方程. 解法分离变量法 5.2 一阶微分方程（80）

教学大纲（甲型，54学时）教学大纲（乙型， 36学时）

《偏微分方程》第一章绪论第一章绪论 1.1.

Presentation transcript:

第七章偏微分方程 7.1 一般介绍 7.2 一阶双曲型方程的差分求解法 7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法第七章偏微分方程 7.1 一般介绍 7.2 一阶双曲型方程的差分求解法 7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法 7.4 一阶双曲型方程的线上求解法 7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法 7.6 二阶椭圆型方程的有限元求解法 7.7 二阶椭圆型方程的加权残差求解法 7.8 二阶抛物型方程的差分求解法 7.9 二阶抛物型方程的线上求解法 7.10 二阶双曲型方程的特征线求解法浙江大学实用数值计算方法

7.1 偏微分方程的一般介绍 Partial Differential Equations(PDEs) 自变量数至少2个阶数方程中导数的最高阶数性态以一阶方程为例浙江大学实用数值计算方法

7.1 浙江大学实用数值计算方法

Advection Equation(AE) 7.1 类型一阶栓区型方程流动方程 Advection Equation(AE) 二阶线性方程浙江大学实用数值计算方法

有限差分法 Method of Finite Differences (MFD) 7.1 求解方法有限差分法 Method of Finite Differences (MFD) 特征线法 Method of Characteristics (MOC) 线上求解法 Method of Lines (MOL) 有限元素法 Method of Finite Elements (MFE) 加权残差法 Method of Weighled Residuals (MWR) 问题收敛性 Convergence 当采取的步骤趋于无限时，数值结果是否趋于理论值？稳定性 Stability 在某一步引入的误差，经多步数值计算后，会扩大或抑制？浙江大学实用数值计算方法

7.2 一阶双曲型方程的差分求解法或称流动方程 Advective Advection Equation (AE) v为流速因子 7.2 一阶双曲型方程的差分求解法或称流动方程 Advective Advection Equation (AE) v为流速因子该方程的介折解求具体解时需要提供2个辅助条件浙江大学实用数值计算方法

图 7.1 Propagation of the Wave Front 7.2 assuming the forcing function is a Rump The solution of is shown below. 图 7.1 Propagation of the Wave Front 浙江大学实用数值计算方法

7.2.1 最简单的差分化格式构想图 7.2 浙江大学实用数值计算方法

Forward Time Centered Space FTCS represetation 实际上这个方法不能用：不稳定的方法 7.2.1 以上方法称为时间镶嵌空间中心的差分表达 Forward Time Centered Space FTCS represetation 实际上这个方法不能用：不稳定的方法 Unstable Method 考虑数据误差 r 由于原方程为线性，故误差的传播关系是与原方程完全相同的差分方程差分方程独立解的一般形式 Independent Solutions of Difference Equations 浙江大学实用数值计算方法

应为补充解和特殊解之和补充解系由下式求出 7.2.1 应为补充解和特殊解之和补充解系由下式求出补充解系由两个独立解组成浙江大学实用数值计算方法

差分方程的解可用算符运算方法 Operator Calculus 导出差分算符 Difference Operator 7.2.1 差分方程的解可用算符运算方法 Operator Calculus 导出差分算符 Difference Operator 它和微分算符一样，是一种线性算符用于线性二阶差分方程和微分方程类似，它的补充解可由下式得到浙江大学实用数值计算方法

故补充系由两个独立解组成两个独立解为（Independent Solutions）差分方程的一个独立解（Eigenmode） 7.2.1 故补充系由两个独立解组成（Independent Solutions）两个独立解为差分方程的一个独立解（Eigenmode）浙江大学实用数值计算方法

7.2.1 差分方程独立解的一般形式用于本题的情况将独立解代入差分表达式得到浙江大学实用数值计算方法

7.2.2 差分格式的改进图 7.3 Courant Condition 图 7.4 浙江大学实用数值计算方法

可以看成为以下偏微分方程的FTCS差分式 7.2.2 Courant 条件的物理意义波形传递系沿x=vt线 t节点的选取当节点取在线上：当节点取在线外：当节点取在线内： Lax差分格式也写成以下形式可以看成为以下偏微分方程的FTCS差分式图 7.5 dissipative term 耗散项 Numerical Viscosity 数值黏度浙江大学实用数值计算方法

7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法 Method of Characteristics (MOC) 这是原方程的转换方程，它们的解相同。为原方程的特征线方程在特征线上，满足的为解。浙江大学实用数值计算方法

7.3.1 Method of Characteristics (MOC) 图 7.6 浙江大学实用数值计算方法

7.3.1 Method of Characteristics (MOC) 图 7.7 浙江大学实用数值计算方法

7.3.1 浙江大学实用数值计算方法

7.4 一阶双曲型方程的线上求解法 Method of Lines (MOL) 有限差分法：偏微分方程完全离散成为一组差分方程用线性代数方程组求解线上求解法：偏微分方程部分离散成为一组常微分方程用常微分方程积分方法求解浙江大学实用数值计算方法

线上求解法 Method of Lines (MOL) 7.4 线上求解法 Method of Lines (MOL) 线间距积分步长图 7.8 浙江大学实用数值计算方法

7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法称为稳态热传导方程，通式为 Dirichlet 问题 Neumann 问题浙江大学实用数值计算方法

边界条件也需4个，有3类给定方法 Dirichlet 边界条件 Neumann 边界条件混合边界条件图 7.9 7.5 u(x0,y)=f1(y) u(xm,y)=f2(y) 图 7.9 Laplace 方程的 Dirichlet 边界条件和 Neumann 边界条件和 Poisson 方程边界条件也需4个，有3类给定方法 Dirichlet 边界条件 Neumann 边界条件混合边界条件浙江大学实用数值计算方法

7.5.1 Laplace算符的差分表达用于Laplace算符浙江大学实用数值计算方法

7.5.1 图 7.10 浙江大学实用数值计算方法

例：Laplace 方程的Dirichlet 边界问题 7.5.1 例：Laplace 方程的Dirichlet 边界问题图 7.11 浙江大学实用数值计算方法

7.5.1 为了提高精度需要加密网络图 7.12 浙江大学实用数值计算方法

Laplace 方程 Dirichlet边界问题的差分求解 7.5.1 Laplace 方程 Dirichlet边界问题的差分求解消去法直接迭代 Liebmann 方法相继松弛 S.O.R. 方法交替方向A.D.I.方法浙江大学实用数值计算方法

7.6 二阶椭圆型方程的有限元素法求 Method of Finite Elements (MFE) 以Laplace 方程的Dirichlet 问题为例根据变分原则 Variational Principles 等价性定理以上方程的解将使以下泛函为最小。图 7.13 浙江大学实用数值计算方法

7.6 将D进行剖分，常用的是三角剖分法对任何一个元素用二原线性函数近似在三个顶点上可得到其中浙江大学实用数值计算方法

7.6 Uk=Wk Ui=Wi Uj=Wj 图 7.14 浙江大学实用数值计算方法

7.6 所以其中既然顶点坐标均为规定，所以并有浙江大学实用数值计算方法

7.6 使泛函最小的问题，即对近似为对求极值，或因此得到：可解得边界上的W为给定 n为内部节点数浙江大学实用数值计算方法

7.6 对于更为一般性的情况需要极小化的泛函将是也可剖分为有限个元素后求解图 7.15 浙江大学实用数值计算方法

7.8 二阶抛物型方程的差分求解法动态扩散方程对于一维空间用差商代替微商，可以有各种选择，例如所以有需要另有更方便的方法 7.8 二阶抛物型方程的差分求解法动态扩散方程对于一维空间用差商代替微商，可以有各种选择，例如所以有需要另有更方便的方法浙江大学实用数值计算方法

7.8 显式方法得到或者：则有：图 7.16 浙江大学实用数值计算方法

7.8 示例：取得到的数值解与以下解析解比较图 7.17 空气饱和蒸汽 C2H5OH 浙江大学实用数值计算方法

图 7.18 Number of time steps Analytical Solutions Numerical Solutions 7.8 图 7.18 Number of time steps Analytical Solutions Numerical Solutions Analytical versus Numerical Solutions Diffusion Dynamics r0.25 浙江大学实用数值计算方法

图 7.19 Number of time steps Analytical Solutions Numerical Solutions 7.8 图 7.19 Number of time steps Analytical Solutions Numerical Solutions Analytical versus Numerical Solutions Diffusion Dynamics r0.5 浙江大学实用数值计算方法

7.8 显式法的稳定性分析所以浙江大学实用数值计算方法

7.8 因此有浙江大学实用数值计算方法