4.2.1 原函数存在定理 1、变速直线运动问题变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为 4.2 微积分基本定理(79)

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第二章导数与微分习题课主要内容典型例题测验题. 求导法则求导法则求导法则求导法则基本公式导数导数微分微分微分微分高阶导数高阶微分一、主要内容.

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1 热烈欢迎各位朋友使用该课件！广州大学数学与信息科学学院. 2 工科高等数学广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东.

§4.2 第一换元积分法课件制作秦立春引例第一换元积分法. §4.2 第一换元积分法课件制作秦立春以上三式说明：积分公式中积分变可以是任意的字母公式仍然成立.

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例题教学目的: 微积分基本公式教学重点: 牛顿----莱布尼兹公式教学难点: 变上限积分的性质与应用.

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第二节微积分的基本定理在上节中，我们看到用和式极限计算定积分相当繁难。本节通过揭示定积分与原函数间的关系，导出定积分的基本计算公式：牛顿—莱布尼茨公式。一、变上限定积分由定积分定义知，定积分的大小仅与被积函数和积分区间有关。当我们固定和积分下限a时，显然，定积分的大小会随着积分上限b的变化而变化。

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第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质小结、作业 1/22.

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4.2.1 原函数存在定理 1、变速直线运动问题变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为 4.2 微积分基本定理(79)

2、积分上限函数考察定积分 4.2 微积分基本定理(79)

证 4.2 微积分基本定理(79)

由积分中值定理得 4.2 微积分基本定理(79)

补充证 4.2 微积分基本定理(79)

例1 求极限分析：这是型不定式，应用洛必达法则. 解 4.2 微积分基本定理(79)

证 4.2 微积分基本定理(79)

4.2 微积分基本定理(79)

证令 4.2 微积分基本定理(79)

（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 定理（原函数存在定理）定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 4.2 微积分基本定理(79)

4.2.2 牛顿—莱布尼茨公式定理 2（微积分基本定理）证 4.2 微积分基本定理(79)

令令牛顿—莱布尼茨公式 4.2 微积分基本定理(79)

微积分基本定理表明：求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意: 4.2 微积分基本定理(79)

例4 求定积分解原式例5 设 , 求 . 解 4.2 微积分基本定理(79)

例6 求积分解由图形可知 4.2 微积分基本定理(79)

例7 求积分解解面积 4.2 微积分基本定理(79)

4.2.5 小结与思考题1-2 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 3.微积分基本公式牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 4.2.5 小结与思考题1-2 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 3.微积分基本公式牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系． 4.2 微积分基本定理(79)

思考题 4.2 微积分基本定理(79)

思考题解答 4.2 微积分基本定理(79)

课堂练习题 4.2 微积分基本定理(79)

4.2 微积分基本定理(79)

课堂练习题答案 4.2 微积分基本定理(79)

4.2.3 定积分法 1、换元积分法定理3 4.2 微积分基本定理(79)

证 4.2 微积分基本定理(79)

4.2 微积分基本定理(79)

应用换元公式时应注意: （1）（2） 4.2 微积分基本定理(79)

例9 计算定积分解令例10 计算定积分 4.2 微积分基本定理(79)

解 4.2 微积分基本定理(79)

例11 计算定积分解原式 4.2 微积分基本定理(79)

例12 计算定积分解令原式 4.2 微积分基本定理(79)

证 4.2 微积分基本定理(79)

4.2 微积分基本定理(79)

例13 计算定积分解原式偶函数奇函数单位圆的面积 4.2 微积分基本定理(79)

证（1）设 4.2 微积分基本定理(79)

（2）设 4.2 微积分基本定理(79)

4.2 微积分基本定理(79)

解 4.2 微积分基本定理(79)

4.2.5 小结与思考题3 定积分的换元法: 几个特殊积分、定积分的几个等式. 4.2 微积分基本定理(79)

思考题解令 4.2 微积分基本定理(79)

思考题解答计算中第二步是错误的. 正确解法是 4.2 微积分基本定理(79)

课堂练习题 4.2 微积分基本定理(79)

4.2 微积分基本定理(79)

课堂练习题答案 4.2 微积分基本定理(79)

2、分部积分法定积分的分部积分公式推导 4.2 微积分基本定理(79)

例15 计算定积分解令则 4.2 微积分基本定理(79)

例16 计算定积分解 4.2 微积分基本定理(79)

例17 计算定积分解 4.2 微积分基本定理(79)

解 4.2 微积分基本定理(79)

4.2 微积分基本定理(79)

证设 4.2 微积分基本定理(79)

积分关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止 4.2 微积分基本定理(79)

于是 4.2 微积分基本定理(79)

4.2.5 小结与思考题3 定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别） 4.2 微积分基本定理(79)

思考题 4.2 微积分基本定理(79)

思考题解答 4.2 微积分基本定理(79)

课堂练习题 4.2 微积分基本定理(79)

课堂练习题答案 4.2 微积分基本定理(79)

*4.2.4 定积分的近似计算法 1、定积分近似计算的理由： (1) 被积函数的原函数不能用初等函数表示； *4.2.4 定积分的近似计算法 1、定积分近似计算的理由： (1) 被积函数的原函数不能用初等函数表示； (2) 被积函数难于用公式表示，而是用图形或表格给出的； (3) 被积函数虽然能用公式表示，但计算其原函数很困难． 4.2 微积分基本定理(79)

2、解决办法：建立定积分的近似计算方法． 3、研究思路： 4、常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法． 4.2 微积分基本定理(79)

一、矩形法(平均值法) 则有 4.2 微积分基本定理(79)

则有（1）、（2）称为矩形法（平均值法）公式 4.2 微积分基本定理(79)

二、梯形法梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形的面积，如图 4.2 微积分基本定理(79)

用矩形法和梯形法计算积分的近似值例19 解相应的函数值为列表: 4.2 微积分基本定理(79)

利用矩形法公式（１），得利用矩形法公式（２），得 4.2 微积分基本定理(79)

利用梯形法公式（３），得实际上是前面两值的平均值， 4.2 微积分基本定理(79)

三、抛物线法 4.2 微积分基本定理(79)

因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线, 4.2 微积分基本定理(79)

4.2 微积分基本定理(79)

于是所求面积为 4.2 微积分基本定理(79)

4.2 微积分基本定理(79)

对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示,用抛物线法计算该图形的面积 . 例20 对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示,用抛物线法计算该图形的面积 . 例20 站号 4.2 微积分基本定理(79)

4.2 微积分基本定理(79)

解根据抛物线公式(4)，得 4.2 微积分基本定理(79)

4.2.5 小结与思考题4 求定积分近似值的方法：矩形法、梯形法、抛物线法注意：对于以上三种方法当取得越大时近似程度就越好． 4.2.5 小结与思考题4 求定积分近似值的方法：矩形法、梯形法、抛物线法注意：对于以上三种方法当　取得越大时近似程度就越好． 4.2 微积分基本定理(79)

课堂练习题 4.2 微积分基本定理(79)

课堂练习题答案 4.2 微积分基本定理(79)

Newton, Isaac (1642-1727) England Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716) German 4.2 微积分基本定理(79)