第三章 微积分问题的计算机求解 微积分问题的解析解 函数的级数展开与级数求和问题求解 数值微分 数值积分问题 曲线积分与曲面积分的计算

3.1 微积分问题的解析解 3.1.1 极限问题的解析解 单变量函数的极限 格式1： L= limit( fun, x, x0) 3.1 微积分问题的解析解 3.1.1 极限问题的解析解 单变量函数的极限 格式1： L= limit( fun, x, x0) 格式2： L= limit( fun, x, x0, ‘left’ 或 ‘right’)

例: 试求解极限问题 例:求解单边极限问题 >> syms x a b; >> f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x); >> L=limit(f,x,inf) L = exp(a)*b 例:求解单边极限问题 >> syms x; >> limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right') ans = 12

在(-0.1,0.1)区间绘制出函数曲线： >> x=-0.1:0.001:0.1; >> y=(exp(x.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x-sin(x)))); Warning: Divide by zero. (Type "warning off MATLAB: divideByZero" to suppress this warning.) >> plot(x,y,'-',[0], [12],'o')

多变量函数的极限： 格式： L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0) 或 L1=limit(limit(f,y,y0), x,x0) 如果x0 或y0不是确定的值，而是另一个变量的函数，如x->g(y)，则上述的极限求取顺序不能交换。

例：求出二元函数极限值 >> syms x y a; >> f=exp(-1/(y^2+x^2)) … *sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2); >> L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y)),y,inf) L = exp(a^2)

3.1.2 函数导数的解析解 函数的导数和高阶导数 例： 格式： y=diff(fun,x) %求导数 y= diff(fun,x,n) %求n阶导数 例： 一阶导数： >> syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); >> f1=diff(f); pretty(f1)

--------------- - ------------------- 2 2 2 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3) cos(x) sin(x) (2 x + 4) --------------- - ------------------- 2 2 2 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3) 原函数及一阶导数图： >> x1=0:.01:5; >> y=subs(f, x, x1); >> y1=subs(f1, x, x1); >> plot(x1,y,x1,y1,‘:’) 更高阶导数： >> tic, diff(f,x,100); toc elapsed_time = 4.6860

原函数4阶导数 >> f4=diff(f,x,4); pretty(f4) 2 sin(x) cos(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) ------------ + 4 ------------------- - 12 ----------------- 2 2 2 2 3 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 3 sin(x) cos(x) (2 x + 4) cos(x) (2 x + 4) + 12 --------------- - 24 ----------------- + 48 ---------------- 2 2 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 4 2 sin(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) sin(x) + 24 ----------------- - 72 ----------------- + 24 --------------- 2 5 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3)

多元函数的偏导： 例： 求其偏导数并用图表示。 格式： f=diff(diff(f,x,m),y,n) 或 f=diff(diff(f,y,n),x,m) 例： 求其偏导数并用图表示。 >> syms x y z=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y); >> zx=simple(diff(z,x)) zx = -exp(-x^2-y^2-x*y)*(-2*x+2+2*x^3+x^2*y-4*x^2-2*x*y)

直接绘制三维曲面 >> zy=diff(z,y) zy = (x^2-2*x)*(-2*y-x)*exp(-x^2-y^2-x*y) 直接绘制三维曲面 >> [x,y]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); >> z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); >> surf(x,y,z), axis([-3 3 -2 2 -0.7 1.5])

>> contour(x,y,z,30), hold on % 绘制等值线 >> zx=-exp(-x.^2-y.^2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.^3+x.^2.*y-4*x.^2-2*x.*y); >> zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); % 偏导的数值解 >> quiver(x,y,zx,zy) % 绘制引力线

>> syms x y z; f=sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2); 例 >> syms x y z; f=sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2); >> df=diff(diff(diff(f,x,2),y),z); df=simple(df); >> pretty(df) 2 2 2 2 2 -4 z exp(-x y - z ) (cos(x y) - 10 cos(x y) y x + 4 2 4 2 2 4 2 2 sin(x y) x y+ 4 cos(x y) x y - sin(x y))

多元函数的Jacobi矩阵: 格式：J=jacobian(Y,X) 其中，X是自变量构成的向量，Y是由各个函数构成的向量。

例： 试推导其 Jacobi 矩阵 >> syms r theta phi; >> x=r*sin(theta)*cos(phi); >> y=r*sin(theta)*sin(phi); >> z=r*cos(theta); >> J=jacobian([x; y; z],[r theta phi]) J = [ sin(theta)*cos(phi), r*cos(theta)*cos(phi), -r*sin(theta)*sin(phi)] [ sin(theta)*sin(phi), r*cos(theta)*sin(phi), r*sin(theta)*cos(phi)] [ cos(theta), -r*sin(theta), 0 ]

隐函数的偏导数： 格式：F=-diff(f,xj)/diff(f,xi)

例： >> syms x y; f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y); >> pretty(-simple(diff(f,x)/diff(f,y))) 3 2 2 -2 x + 2 + 2 x + x y - 4 x - 2 x y - ----------------------------------------- x (x - 2) (2 y + x)

3.1.3 积分问题的解析解 不定积分的推导： 例： 用diff() 函数求其一阶导数，再积分，检验是否可以得出一致的结果。 格式： F=int(fun,x) 例： 用diff() 函数求其一阶导数，再积分，检验是否可以得出一致的结果。 >> syms x; y=sin(x)/(x^2+4*x+3); y1=diff(y); >> y0=int(y1); pretty(y0) % 对导数积分 sin(x) sin(x) - 1/2 ------ + 1/2 ------ x + 3 x + 1

对原函数求4 阶导数，再对结果进行4次积分 >> y4=diff(y,4); >> y0=int(int(int(int(y4)))); >> pretty(simple(y0)) sin(x) ------------ 2 x + 4 x + 3

例:证明 >> syms a x; f=simple(int(x^3*cos(a*x)^2,x)) f = 1/16*(4*a^3*x^3*sin(2*a*x)+2*a^4 *x^4+6*a^2*x^2*cos(2*a*x)-6*a*x*sin(2*a*x)-3*cos(2*a*x)-3)/a^4 >> f1=x^4/8+(x^3/(4*a)-3*x/(8*a^3))*sin(2*a*x)+... (3*x^2/(8*a^2)-3/(16*a^4))*cos(2*a*x); >> simple(f-f1) % 求两个结果的差 ans = -3/16/a^4

定积分与无穷积分计算: 格式： I=int(f,x,a,b) 格式： I=int(f,x,a,inf)

例： >> syms x; I1=int(exp(-x^2/2),x,0,1.5) ％无解 I1 = 1/2*erf(3/4*2^(1/2))*2^(1/2)*pi^(1/2) >> vpa(I1,70) ans = 1.085853317666016569702419076542265042534236293532156326729917229308528 >> I2=int(exp(-x^2/2),x,0,inf) I2 = 1/2*2^(1/2)*pi^(1/2)

多重积分问题的MATLAB求解 例： >> syms x y z; f0=-4*z*exp(-x^2*y-z^2)*(cos(x^2*y)-10*cos(x^2*y)*y*x^2+... 4*sin(x^2*y)*x^4*y^2+4*cos(x^2*y)*x^4*y^2-sin(x^2*y)); >> f1=int(f0,z);f1=int(f1,y);f1=int(f1,x); >> f1=simple(int(f1,x)) f1 = exp(-x^2*y-z^2)*sin(x^2*y)

顺序的改变使化简结果不同于原函数，但其误差为0，表明二者实际完全一致。这是由于积分顺序不同，得不出实际的最简形式。 >> f2=int(f0,z); f2=int(f2,x); f2=int(f2,x); >> f2=simple(int(f2,y)) f2 = 2*exp(-x^2*y-z^2)*tan(1/2*x^2*y)/(1+tan(1/2*x^2*y)^2) >> simple(f1-f2) ans = 顺序的改变使化简结果不同于原函数，但其误差为0，表明二者实际完全一致。这是由于积分顺序不同，得不出实际的最简形式。

例： >> syms x y z >> int(int(int(4*x*z*exp(-x^2*y-z^2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi) ans = (Ei(1,4*pi)+log(pi)+eulergamma+2*log(2))*pi^2*hypergeom([1],[2],-pi^2) Ei(n,z)为指数积分，无解析解，但可求其数值解： >> vpa(ans,60) 3.10807940208541272283461464767138521019142306317021863483588

3.2 函数的级数展开与 级数求和问题求解 3.2.1 Taylor 幂级数展开 3.2.2 Fourier 级数展开 3.2 函数的级数展开与 级数求和问题求解 3.2.1 Taylor 幂级数展开 3.2.2 Fourier 级数展开 3.2.3 级数求和的计算

3.2.1 Taylor 幂级数展开 3.2.1.1 单变量函数的 Taylor 幂级数展开

>> syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); 例: >> syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); >> y1=taylor(f,x,9); pretty(y1) 2 23 3 34 4 4087 5 3067 6 515273 7 386459 8 1/3 x - 4/9 x + -- x - ---- x + ------x - ------ x +---------- x - --------- x 54 81 9720 7290 1224720 918540

>> taylor(f,x,9,2) >> syms a; taylor(f,x,5,a) % 结果较冗长，显示从略 ans = 1/15*sin(2)+(1/15*cos(2)-8/225*sin(2))*(x-2)+ (-127/6750*sin(2)-8/225*cos(2))*(x-2)^2 +(23/6750*cos(2)+628/50625*sin(2))*(x-2)^3 +(-15697/6075000*sin(2)+28/50625*cos(2))*(x-2)^4 +(203/6075000*cos(2)+6277/11390625*sin(2))*(x-2)^5 +(-585671/2733750000*sin(2)-623/11390625*cos(2))*(x-2)^6 +(262453/19136250000*cos(2)+397361/5125781250*sin(2))*(x-2)^7 +(-875225059/34445250000000*sin(2)-131623/35880468750*cos(2))*(x-2)^8 >> syms a; taylor(f,x,5,a) % 结果较冗长，显示从略 sin(a)/(a^2+3+4*a) +(cos(a)-sin(a)/(a^2+3+4*a)*(4+2*a))/(a^2+3+4*a)*(x-a) +(-sin(a)/(a^2+3+4*a)-1/2*sin(a)-(cos(a)*a^2+3*cos(a)+4*cos(a)*a-4*sin(a)-2*sin(a)*a)/(a^2+3+4*a)^2*(4+2*a))/(a^2+3+4*a)*(x-a)^2+…

例:对y=sinx进行Taylor幂级数展开,并观察不同阶次的近似效果。 >> x0=-2*pi:0.01:2*pi; y0=sin(x0); syms x; y=sin(x); >> plot(x0,y0,'r-.'), axis([-2*pi,2*pi,-1.5,1.5]); hold on >> for n=[8:2:16] p=taylor(y,x,n), y1=subs(p,x,x0); line(x0,y1) end p = x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7 x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7+1/362880*x^9 x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7+1/362880*x^9-1/39916800*x^11 x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7+1/362880*x^9-1/39916800*x^11+1/6227020800*x^13

p = x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7+1/362880*x^9-1/39916800*x^11+1/6227020800*x^13-1/1307674368000*x^15

3.2.1.2 多变量函数的Taylor 幂级数展开 多变量函数 在 的Taylor幂级数的展开

例：？？？ >> syms x y; f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y); >> F=maple('mtaylor',f,'[x,y]',8) F = mtaylor((x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y),[x, y],8)

>> maple(‘readlib(mtaylor)’);％读库，把函数调入内存 >> F=maple('mtaylor',f,'[x,y]',8) F = -2*x+x^2+2*x^3-x^4-x^5+1/2*x^6+1/3*x^7+2*y*x^2+2*y^2*x-y*x^3-y^2*x^2-2*y*x^4-3*y^2*x^3-2*y^3*x^2-y^4*x+y*x^5+3/2*y^2*x^4+y^3*x^3+1/2*y^4*x^2+y*x^6+2*y^2*x^5+7/3*y^3*x^4+2*y^4*x^3+y^5*x^2+1/3*y^6*x >> syms a; F=maple('mtaylor',f,'[x=1,y=a]',3); >> F=maple('mtaylor',f,'[x=a]',3) (a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)+((a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a^2-y^2-a*y))*(x-a)+((a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)*(-1+2*a^2+2*a*y+1/2*y^2)+exp(-a^2-y^2-a*y)+(2*a-2)*exp(-a^2-y^2-a*y)*(-2*a-y))*(x-a)^2

3.2.2 Fourier 级数展开

function [A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b) if nargin==3, a=-pi; b=pi; end L=(b-a)/2; if a+b, f=subs(f,x,x+L+a); end％变量区域互换 A=int(f,x,-L,L)/L; B=[]; F=A/2; %计算a0 for i=1:n an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; A=[A, an]; B=[B,bn]; F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L); end if a+b, F=subs(F,x,x-L-a); end ％换回变量区域

>> syms x; f=x*(x-pi)*(x-2*pi); 例: >> syms x; f=x*(x-pi)*(x-2*pi); >> [A,B,F]=fseries(f,x,6,0,2*pi) A = [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] B = [ -12, 3/2, -4/9, 3/16, -12/125, 1/18] F = 12*sin(x)+3/2*sin(2*x)+4/9*sin(3*x)+3/16*sin(4*x)+12/125*sin(5*x)+1/18*sin(6*x)

例: >> syms x; f=abs(x)/x; % 定义方波信号 >> xx=[-pi:pi/200:pi]; xx=xx(xx~=0); xx=sort([xx,-eps,eps]); % 剔除零点 >> yy=subs(f,x,xx); plot(xx,yy,'r-.'), hold on % 绘制出理论值并保持坐标系 >> for n=2:20 [a,b,f1]=fseries(f,x,n), y1=subs(f1,x,xx); plot(xx,y1) end

a = [ 0, 0, 0] b = [ 4/pi, 0] f1 = 4/pi*sin(x) [ 0, 0, 0, 0] [ 4/pi, 0, 4/3/pi] 4/pi*sin(x)+4/3/pi*sin(3*x) ……

3.2.3 级数求和的计算 是在符号工具箱中提供的

>> format long; sum(2.^[0:63]) %数值计算 例:计算 >> format long; sum(2.^[0:63]) %数值计算 ans = 1.844674407370955e+019 >> sum(sym(2).^[0:200]) % 或 syms k; symsum(2^k,0,200) ％把2定义为符号量可使计算更精确 3213876088517980551083924184682325205044405987565585670602751 >> syms k; symsum(2^k,0,200)

例:试求解无穷级数的和 >> syms n; s=symsum(1/((3*n-2)*(3*n+1)),n,1,inf) %采用符号运算工具箱 s = 1/3 >> m=1:10000000; s1=sum(1./((3*m-2).*(3*m+1)));%数值计算方法,双精度有效位16,“大数吃小数”,无法精确 >> format long; s1 % 以长型方式显示得出的结果 s1 = 0.33333332222165

例:求解 >> syms n x >> s1=symsum(2/((2*n+1)*(2*x+1)^(2*n+1)),n, 0,inf); >> simple(s1) % 对结果进行化简，MATLAB 6.5 及以前版本因本身 bug 化简很麻烦 ans = log((((2*x+1)^2)^(1/2)+1)/(((2*x+1)^2)^(1/2)-1)) %实际应为log((x+1)/x)

例:求 >> syms m n; limit(symsum(1/m,m,1,n)-log(n),n,inf) ans = eulergamma >> vpa(ans, 70) % 显示 70 位有效数字 .5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677

3.3 数值微分 x-h x x+h B C A T f(x)

3.3.1 数值微分算法 向前差商公式： 向后差商公式

两种中心公式：

3.3.2 中心差分方法及其 MATLAB 实现 function [dy,dx]=diff_ctr(y, Dt, n) yx1=[y 0 0 0 0 0]; yx2=[0 y 0 0 0 0]; yx3=[0 0 y 0 0 0]; yx4=[0 0 0 y 0 0]; yx5=[0 0 0 0 y 0]; yx6=[0 0 0 0 0 y]; switch n case 1 dy = (-diff(yx1)+7*diff(yx2)+7*diff(yx3)- … diff(yx4))/(12*Dt); L0=3; case 2 dy=(-diff(yx1)+15*diff(yx2)- 15*diff(yx3)… +diff(yx4))/(12*Dt^2);L0=3; ％数值计算diff(X)表示数组X相邻两数的差

case 3 dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)-6*diff(yx3)-6*diff(yx4)+... 7*diff(yx5)-diff(yx6))/(8*Dt^3); L0=5; case 4 dy = (-diff(yx1)+11*diff(yx2)-28*diff(yx3)+28*… diff(yx4)-11*diff(yx5)+diff(yx6))/(6*Dt^4); L0=5; end dy=dy(L0+1:end-L0); dx=([1:length(dy)]+L0-2-(n>2))*Dt; 调用格式： y为 等距实测数据， dy为得出的导数向量， dx为相应的自变量向量，dy、dx的数据比y短 。

求导数的解析解,再用数值微分求取原函数的1～4 阶导数，并和解析解比较精度。 例： 求导数的解析解,再用数值微分求取原函数的1～4 阶导数，并和解析解比较精度。 >> h=0.05; x=0:h:pi; >> syms x1; y=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3); % 求各阶导数的解析解与对照数据 >> yy1=diff(y); f1=subs(yy1,x1,x); >> yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x); >> yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x); >> yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x);

>> y=sin(x)./(x.^2+4*x+3); % 生成已知数据点 >> [y1,dx1]=diff_ctr(y,h,1); subplot(221),plot(x,f1,dx1,y1,':'); >> [y2,dx2]=diff_ctr(y,h,2); subplot(222),plot(x,f2,dx2,y2,':') >> [y3,dx3]=diff_ctr(y,h,3); subplot(223),plot(x,f3,dx3,y3,':'); >> [y4,dx4]=diff_ctr(y,h,4); subplot(224),plot(x,f4,dx4,y4,':') 求最大相对误差： >> norm((y4-… f4(4:60))./f4(4:60)) ans = 3.5025e-004

3.3.3 用插值、拟合多项式的求导数 基本思想：当已知函数在一些离散点上的函数值时，该函数可用插值或拟合多项式来近似，然后对多项式进行微分求得导数。 选取x=0附近的少量点 进行多项式拟合或插值 g(x)在x=0处的k阶导数为

通过坐标变换用上述方法计算任意x点处的导数值 令 将g(x)写成z的表达式 导数为 可直接用 拟合节点 得到系数 d=polyfit(x-a,y,length(xd)-1)

例：数据集合如下： xd: 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000 yd: 0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053 计算x=a=0.3处的各阶导数。 >> xd=[ 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000]; >> yd=[0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053]; >> a=0.3;L=length(xd); >> d=polyfit(xd-a,yd,L-1);fact=[1]; >> for k=1:L-1;fact=[factorial(k),fact];end >> deriv=d.*fact deriv = 1.8750 -1.3750 1.0406 -0.9710 0.6533 0.6376

建立用拟合（插值）多项式计算各阶导数的poly_drv.m function der=poly_drv(xd,yd,a) m=length(xd)-1; d=polyfit(xd-a,yd,m); c=d(m:-1:1); ％去掉常数项 fact(1)=1;for i=2:m; fact(i)=i*fact(i-1);end der=c.*fact; 例： >> xd=[ 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000]; >> yd=[0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053]; >> a=0.3; der=poly_drv(xd,yd,a) der = 0.6533 -0.9710 1.0406 -1.3750 1.8750

3.3.4 二元函数的梯度计算 格式： 若z矩阵是建立在等间距的形式生成的网格基础上，则实际梯度为

例： 计算梯度，绘制引力线图： >> [x,y]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); >> [fx,fy]=gradient(z); >> fx=fx/0.2; fy=fy/0.2; >> contour(x,y,z,30); >> hold on; >> quiver(x,y,fx,fy) %绘制等高线与 引力线图

绘制误差曲面: >> zx=-exp(-x.^2-y.^2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.^3+x.^2.*y-4*x.^2-2*x.*y); >> zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); >> surf(x,y,abs(fx-zx)); axis([-3 3 -2 2 0,0.08]) >> figure; surf(x,y,abs(fy-zy)); axis([-3 3 -2 2 0,0.11]) ％建立一个新图形窗口

为减少误差，对网格加密一倍： >> [x,y]=meshgrid(-3:.1:3,-2:.1:2); z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); >> [fx,fy]=gradient(z); fx=fx/0.1; fy=fy/0.1; >> zx=-exp(-x.^2-y.^2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.^3+x.^2.*y-4*x.^2-2*x.*y); >> zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); >> surf(x,y,abs(fx-zx)); axis([-3 3 -2 2 0,0.02]) >> figure; surf(x,y,abs(fy-zy)); axis([-3 3 -2 2 0,0.06])

3.4 数值积分问题 4.3.1 由给定数据进行梯形求积

Sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2

格式： S=trapz(x,y) 例： >> x1=[0:pi/30:pi]'; y=[sin(x1) cos(x1) sin(x1/2)]; >> x=[x1 x1 x1]; S=sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2 S = 1.9982 0.0000 1.9995 >> S1=trapz(x1,y) % 得出和上述完全一致的结果 S1 =

例： 画图 >> x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2]; % 这样赋值能确保 3*pi/2点被包含在内 >> y=cos(15*x); plot(x,y) % 求取理论值 >> syms x, A=int(cos… (15*x),0,3*pi/2) A = 1/15

随着步距h的减小，计算精度逐渐增加： >> h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[]; >> for h=h0, x=[0:h:3*pi/2, 3*pi/2]; y=cos(15*x); I=trapz(x,y); v=[v; h, I, 1/15-I ]; end >> v v = 0.1000 0.0539 0.0128 0.0100 0.0665 0.0001 0.0010 0.0667 0.0000 0.0001 0.0667 0.0000 0.0000 0.0667 0.0000 >> format long，v

3.4.2 单变量数值积分问题求解 梯形公式 格式：(变步长） y=quad(Fun,a,b) y=quadl(Fun,a,b) % 求定积分 y=quad(Fun,a,b, ) y=quadl(Fun,a,b, ) %限定精度的定积分求解，默认精度为10－6。后面函数算法更精确，精度更高。

例： 第一种，一般函数方法 第二种：inline 函数 第三种：匿名函数(MATLAB 7.0)

>> y=quad('c3ffun',0,1.5) 函数定义被积函数： >> y=quad('c3ffun',0,1.5) y = 0.9661 用 inline 函数定义被积函数： >> f=inline('2/sqrt(pi)*exp(-x.^2)','x'); >> y=quad(f,0,1.5) 运用符号工具箱： >> syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60) y0 = .966105146475310713936933729949905794996224943257461473285749 >> y=quad(f,0,1.5,1e-20) % 设置高精度，但该方法失效

例： 提高求解精度： >> y=quadl(f,0,1.5,1e-20) y = 0.9661 >> abs(y-y0) ans = .6402522848913892e-16 >> format long ％16位精度 0.96610514647531

例：求解 绘制函数: >> x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4]; >> y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2); >> y(end)=0; >> x=[eps, x]; >> y=[0,y]; >> fill(x,y,'g') ％为减少视觉上的误 差，对端点与间断点 （有跳跃）进行处理。

调用quad( ): >> f=inline('exp(x.^2).*(x<=2)+80*(x>2)./(4-sin(16*pi*x))','x'); >> I1=quad(f,0,4) I1 = 57.76435412500863 调用quadl( ): >> I2=quadl(f,0,4) I2 = 57.76445016946768 >> syms x; I=vpa(int(exp(x^2),0,2)+int(80/(4-sin(16*pi*x)),2,4)) I = 57.764450125053010333315235385182

3.4.3 Gauss求积公式 为使求积公式得到较高的代数精度 对求积区间[a,b]，通过变换 有

以n=2的高斯公式为例： function g=gauss2(fun,a,b) h=(b-a)/2; c=(a+b)/2; x=[h*(-0.7745967)+c, c, h*0.7745967+c]; g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1))+gaussf(x(3)))+0.88888889*gaussf(x(2))); function y=gaussf(x) y=cos(x); >> gauss2('gaussf',0,1) ans = 0.8415

3.4.4 基于样条插值的数值微积分运算 基于样条插值的数值微分运算 格式： Sd=fnder(S,k) 该函数可以求取S的k阶导数。 Sd=fnder(S,[k1,…,kn]) 可以求取多变量函数的偏导数

例： >> syms x; f=(x^2-3*x+5)*exp(-5*x)*sin(x); >> ezplot(diff(f),[0,1]), hold on >> x=0:.12:1; y=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x); >> sp1=csapi(x,y);％建立三次样条函数 >> dsp1=fnder(sp1,1); >> fnplt(dsp1,‘--’)％绘制样条图 >> sp2=spapi(5,x,y);％5阶次B样条 >> dsp2=fnder(sp2,1); >> fnplt(dsp2,':'); >> axis([0,1,-0.8,5])

例： 拟合曲面 >> x0=-3:.3:3; y0=-2:.2:2; [x,y]=ndgrid(x0,y0); >> z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); >> sp=spapi({5,5},… {x0,y0},z); ％B样条 >>dspxy=fnder(sp,[1,1]); >> fnplt(dspxy) %生成样条图

理论方法： >> syms x y; z=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y); >> ezsurf(diff(diff(z,x),y),[-3 3],[-2 2]) ％对符号变量表达式做三维表面图

例：考虑 中较稀疏的样本点,用样条积分的方式求出定积分及积分函数。 基于样条插值的数值积分运算 格式： f=fnint(S) 其中S为样条函数。 例：考虑 中较稀疏的样本点,用样条积分的方式求出定积分及积分函数。 >> x=[0,0.4,1 2,pi]; y=sin(x); >> sp1=csapi(x,y); a=fnint(sp1,1); ％建立三次样条函数并积分 >> xx=fnval(a,[0,pi]); xx(2)-xx(1) ans = 2.0191

>> sp2=spapi(5,x,y); b=fnint(sp2,1); >> xx=fnval(b,[0,pi]); xx(2)-xx(1) ans = 1.9999 绘制曲线 >> ezplot('-cos(t)+2',[0,pi]); hold on ％不定积分可上下平移 >> fnplt(a,'--'); >> fnplt(b,':')

3.4.5 双重积分问题的数值解 矩形区域上的二重积分的数值计算 格式： 矩形区域的双重积分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM) 限定精度的双重积分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM， )

例：求解 >> f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)','x','y'); >> y=dblquad(f,-2,2,-1,1) y = 1.57449318974494

任意区域上二元函数的数值积分 (调用工具箱NIT），该函数指定顺序先x后y.

>> fh=inline('sqrt(1-x.^2/2)','x'); % 内积分上限 例 >> fh=inline('sqrt(1-x.^2/2)','x'); % 内积分上限 >> fl=inline('-sqrt(1-x.^2/2)','x'); % 内积分下限 >> f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)','y','x'); % 交换顺序的被积函数 >> y=quad2dggen(f,fl,fh,-1/2,1,eps) y = 0.41192954617630

解析解方法： >> syms x y >> i1=int(exp(-x^2/2)*sin(x^2+y), y, -sqrt(1-x^2/2), sqrt(1-x^2/2)); >> int(i1, x, -1/2, 1) Warning: Explicit integral could not be found. > In D:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\@sym\int.m at line 58 ans = int(2*exp(-1/2*x^2)*sin(x^2)*sin(1/2*(4-2*x^2)^(1/2)), x = -1/2 .. 1) >> vpa(ans) .41192954617629511965175994017601

例：计算单位圆域上的积分： 先把二重积分转化： >> syms x y i1=int(exp(-x^2/2)*sin(x^2+y), x, -sqrt(1-y.^2), sqrt(1-y.^2)); Warning: Explicit integral could not be found. > In D:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\@sym\int.m at line 58

对x是不可积的，故调用解析解方法不会得出结果，而数值解求解不受此影响。 >> fh=inline('sqrt(1-y.^2)','y'); % 内积分上限 >> fl=inline('-sqrt(1-y.^2)','y'); % 内积分下限 >> f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)','x','y'); %交换顺序的被积函数 >> I=quad2dggen(f,fl,fh,-1,1,eps) Integral did not converge--singularity likely I = 0.53686038269795

3.4.6 三重定积分的数值求解 格式: I=triplequad(Fun,xm,xM,ym,yM, zm,zM， ,@quadl) 其中@quadl为具体求解一元积分的数值函数,也可选用@quad或自编积分函数,但调用格式要与quadl一致。

例： >> triplequad(inline('4*x.*z.*exp(-x.*x.*y-z.*z)', … 'x','y','z'), 0, 1, 0, pi, 0, pi,1e-7,@quadl) ans = 1.7328

3.5 曲线积分与曲面积分的计算 3.5.1 曲线积分及MATLAB求解 第一类曲线积分 起源于对不均匀分布的空间曲线总质量的求取.设空间曲线L的密度函数为f(x,y,z),则其总质量 其中s为曲线上某点的弧长,又称这类曲线积分为对弧长的曲线积分.

数学表示 若 弧长表示为

例： >> syms t; syms a positive; x=a*cos(t); y=a*sin(t); z=a*t; >> I=int(z^2/(x^2+y^2)*sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2+ diff(z,t)^2),t,0,2*pi) I = 8/3*pi^3*a*2^(1/2) >> pretty(I) 3 1/2 8/3 pi a 2

例： >> x=0:.001:1.2; y1=x; y2=x.^2; plot(x,y1,x,y2) ％绘出两条曲线 >> syms x; y1=x; y2=x^2; I1=int((x^2+y2^2)*sqrt(1+diff(y2,x)^2),x,0,1); >> I2=int((x^2+y1^2)*sqrt(1+diff(y1,x)^2),x,1,0); I=I2+I1 I = -2/3*2^(1/2)+349/768*5^(1/2)+7/512*log(-2+5^(1/2))

3.5.1.2 第二类曲线积分 又称对坐标的曲线积分，起源于变力 沿曲线 移动时作功的研究 曲线 亦为向量,若曲线可以由参数方程表示 沿曲线 移动时作功的研究 曲线 亦为向量,若曲线可以由参数方程表示 则两个向量的点乘可由这两个向量直接得出.

例：求曲线积分 >> syms t; syms a positive; x=a*cos(t); y=a*sin(t); >> F=[(x+y)/(x^2+y^2),-(x-y)/(x^2+y^2)]; ds=[diff(x,t);diff(y,t)]; >> I=int(F*ds,t,2*pi,0) % 正向圆周 I = 2*pi

例： >> syms x; y=x^2; F=[x^2-2*x*y,y^2-2*x*y]; ds=[1; diff(y,x)]; >> I=int(F*ds,x,-1,1) I = -14/15

3.5.2曲面积分与MATLAB语言求解 3.5.2.1 第一类曲面积分 其中 为小区域的面积，故又称为对面积的曲面积分。曲面 由 给出，则该积分可转换成x-y平面的二重积分为

例： ％四个平面，其中三个被积函数的值为0，只须计算一个即可。 >> syms x y; syms a positive; z=a-x-y; >> I=int(int(x*y*z*sqrt(1+diff(z,x)^2+ diff(z,y)^2),y,0,a-x),x,0,a) I = 1/120*3^(1/2)*a^5

若曲面由参数方程 曲面积分

例： >> syms u v; syms a positive; >> x=u*cos(v); y=u*sin(v); z=v;f=x^2*y+z*y^2; >> E=simple(diff(x,u)^2+diff(y,u)^2+diff(z,u)^2); >> F=diff(x,u)*diff(x,v)+diff(y,u)*diff(y,v)+diff(z,u)* diff(z,v); >> G=simple(diff(x,v)^2+diff(y,v)^2+diff(z,v)^2); >> I=int(int(f*sqrt(E*G-F^2),u,0,a),v,0,2*pi) I = 1/4*a*(a^2+1)^(3/2)*pi^2+1/8*log(-a+(a^2+1)^(1/2)) *pi^2-1/8*(a^2+1)^(1/2)*a*pi^2

3.5.2.2 第二类曲面积分 又称对坐标的曲面积分 可转化成第一类曲面积分

若曲面由参数方程给出

例： 的上半部，且积分沿椭球面的上面。 ％引入参数方程 x=a*sin(u)*cos(v); y=b*sin(u)*sin(v); z=c*cos(u)， u[0,pi/2], v[0,2*pi]. >> syms u v; syms a b c positive; >> x=a*sin(u)*cos(v); y=b*sin(u)*sin(v); z=c*cos(u); >> A=diff(y,u)*diff(z,v)-diff(z,u)*diff(y,v); >> I=int(int(x^3*A,u,0,pi/2),v,0,2*pi) I = 2/5*pi*a^3*c*b