第二章 线性系统的时域分析法 3-1 系统时间响应的性能指标 3-2 一阶系统的时域分析 3-3 二阶系统的时域分析 第二章 线性系统的时域分析法 3-1 系统时间响应的性能指标 3-2 一阶系统的时域分析 3-3 二阶系统的时域分析 3-4 高阶系统的时域分析 3-5 线性系统的稳定性分析 3-6 线性系统稳态误差的计算

3-1 系统时间响应的性能指标

一、动态和稳态过程 1、典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度、正弦等 2、系统的时间响应，由动态过程和稳态过程两部分组成 3、动态过程（过渡过程或瞬态过程）：系统在典型信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的过程。 4、稳态过程：系统在典型信号作用下，当时间t趋向无穷时，系统输出量的表现形式。 与此对应，性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标

动态性能指标定义1 h(t) t h(t) t h(t) t A B 超调量σ% = 100% 超调量σ% = A B 100% A B 时间tr 上 升 峰值时间tp A B 超调量σ% = 100% 调节时间ts h(t) t h(t) t 超调量σ% = A B 100% A B 峰值时间tp 时间tr 上 升 调节时间ts

动态性能指标定义2 h(t) t 调节时间 ts 上升时间tr

1、延迟时间td：指响应曲线第一次达到其终值一半所需要的时间。 2、上升时间tr：指响应曲线从终值10%上升到终值90%所需要的时间；对于有振荡的系统，也可定义为响应从零第一次上升到终值所需要的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。

3、峰值时间tp：指响应超过终值达到第一个峰值所需要的时间。 4、调节时间ts：指响应达到并保持在终值±5%（或±2%）内所需要的时间。

5、超调量σ%：指响应的最大偏离量h(tp)与终值h(∞)之差的百分比，即：

6、稳态性能：稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数和加速度函数作用下进行测定或计算。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。

3-2 一阶系统的时域分析

一、一阶系统数学模型 开环传递函数 闭环传递函数

二、一阶系统单位阶跃响应

t T 2T 3T 4T 5T … ∞ c(t) 0.632 0.865 0.950 0.982 0.993 1

特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。 性能指标： （1）延迟时间：td=0.69T （2） 上升时间：tr=2.20T （3）调节时间：ts=3T (△=0.05)

例3.1 某一阶系统如图,(1) 求调节时间ts, (2) 若要求ts=0.1s, 求反馈系数 Kh . 0.1 C(s) R(s) E(s) 100/s (-) Kh 解: (1) 与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s (2) 要求ts=0.1s，即3T=0.1s, 即 ,得 解题关键：化闭环传递函数为标准形式。

二、一阶系统单位脉冲响应 t 0.135/T 0.018/T T 2T 3T 4T 初始斜率为 0.368/T 0.05/T c(t) c(t) 单位脉冲响应曲线

三、一阶系统单位斜坡响应 所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为 t-T t k(t) T 一阶系统能跟踪斜坡输入信号,但存在稳态误差。

三、一阶系统单位加速度响应 上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。

1 1(t) t 表3-1一阶系统对典型输入信号的响应 等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 微 分  微 分  表3-1一阶系统对典型输入信号的响应 输入信号 时域 频域 输出响应 传递函数 1 1(t) t 等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。

3-3 二阶系统的时域分析

一、二阶系统数学模型 标准形式： 自然振荡频率 阻尼比

闭环特征方程： 闭环特征根：

二、二阶系统单位阶跃响应 1、 <0: 负阻尼系统 两个特征根位于S右半平面，系统响应发散 ×  j <-1 × j -1<<0 1 c(t) t 发散振荡

2、 =0: 无阻尼系统 两个特征根为一对共轭纯虚根： s1,2=±jn × j  =0 1 2 c(t) t 等幅振荡

3、 0<<1: 欠阻尼系统 两个特征根为一对负实部共轭复根： 令： ，称为有阻尼振荡频率

（1）单位阶跃响应： 稳态分量 瞬态分量

1 c(t) n t 衰减振荡

阻尼比ξ越大，系统的超调量越小，响应平稳；阻尼比ξ越小，系统的超调量越大，响应的平稳性越差 。

（2）性能指标： ①延迟时间 ： ②上升时间： ③峰值时间： 令

④超调量％ 可见，超调量％只与有关，与n 无关。

为了简化调节时间的计算，一般用包络线来代替实际响应估算调节时间。 ⑤调节时间： 为了简化调节时间的计算，一般用包络线来代替实际响应估算调节时间。

例题：系统结构图如图所示，要求系统性能指标σ％＝20％，tp=1s （1）求系统阻尼比，自然振荡频率。 （2）确定K与τ的值。 （3）求阻尼振荡频率，阻尼角 （4）计算上升时间tr和调节时间ts。

闭环传递函数

4、 ＝1: 临界阻尼系统 两个特征根为一对相等负实根 ×  j ＝1 c(t) 1 t 单调上升过程

5、 >1: 临界阻尼系统 两个特征根为一对不相等负实根 ×  j >1 c(t) 1 t 单调上升过程

• ζ越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长； 以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 nt c(t) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 =0 0.1 0.4 0.2 0.5 0.3 0.6 0.7 0.8 1.0 2.0 • ζ越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长； •ζ过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差； •ζ=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量%<5%，平稳性也好，故称ζ=0.7为最佳阻尼比。

三、二阶系统的性能改善 改善二阶系统性能的两种方法： 比例-微分控制 测速反馈控制

1、比例－微分控制 t r(t) 1 c(t) e(t) u(t) t1 未超前校正 超前校正

可见，比例－微分控制不改变自然振荡频率和开环增益，但增大阻尼比，以抑制振荡。比例－微分控制相当于增加了一个零点，故称为有零点的二阶系统。 R(s) (-) C(s) Go(s) Tds+1 K=n/2ζ 可见，比例－微分控制不改变自然振荡频率和开环增益，但增大阻尼比，以抑制振荡。比例－微分控制相当于增加了一个零点，故称为有零点的二阶系统。

注意：微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在输入端噪声较强时，不用比例-微分控制。此时，可考虑用测速－反馈控制。

2、测速－反馈控制 R(s) (-) C(s) KtS 测速－反馈控制 开环传递函数为： 可见，开环增益减小。

（1）测速反馈可以使阻尼比增加，振荡和超调减小，改善了系统平稳性；但不影响系统的自然频率； 闭环传递函数： 结论： （1）测速反馈可以使阻尼比增加，振荡和超调减小，改善了系统平稳性；但不影响系统的自然频率； （2）测速反馈不增加闭环系统的零点，对系统性能改善的程度与比例-微分控制是不一样的； （3）测速反馈会降低系统原来的开环增益，通过增益补偿，可不影响原系统的稳态误差。

3-4 高阶系统的时域分析

一、高阶系统的单位阶跃响应

二、闭环主导极点，偶极子 1、主导极点：距离虚轴最近的极点，且其周围无零点，对过渡过程影响较大 。 2、偶极子：靠得很近，作用可以相互抵消的闭环零极点对。(0.1距离)

略去非主导极点和偶极子，用主导零极点对应的低阶系统估算高阶系统性能指标。 三、高阶系统性能估算——零点、极点法 略去非主导极点和偶极子，用主导零极点对应的低阶系统估算高阶系统性能指标。 -0.75 -5 p2 p3 p1  j j1.2 -j1.2 (a)闭环极点分布图 (b)单位阶跃响应曲线 c(t) t

3-5 线性系统稳定性分析

一、稳定性的定义 如小球平衡位置b点,受外界扰动作用,从b点到 b’点，外力作用去掉后,小球围绕b点作几次反复振荡,最后又回到b点,这时小球的运动是稳定的。 如小球的位置在a或c点,在微小扰动下,一旦偏离平衡位置,则无论怎样,小球再也回不到原来位置,则是不稳定的。

定义：系统在扰动作用下偏离了原来的平衡位置，当扰动消除后，系统能回到原来的平衡位置，则称系统稳定；否则系统不稳定。 对线性定常系统，若其脉冲响应收敛，则系统稳定，否则不稳定。线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数,而与外作用及初始条件无关,是系统的固有特性。

二、系统稳定的充要条件：闭环极点严格位于S左半平面。 欲满足 ,则必须各个分量都趋于零。即只有当系统的全部特征根都具有负实部才满足。

三、系统的稳定性判据 高阶方程求解不易，用求特征根方法判定稳定性不现实。 设系统特征方程为： 根据特征方程系数判定系统稳定性

1、赫尔维茨稳定判据 （1）必要条件：ai>0，若不满足ai>0，则系统是不稳定的。若满足，则需进一步判定。 判定以下系统的稳定性 不稳定 不稳定（缺3次项） 可能稳定

（2）系统闭环稳定的充分必要条件: 特征方程各项系数均大于零,即 ai>0 下列行列式和各阶顺序主子式全部为正。

已经证明，在特征方程各项系数均大于零时，赫尔维茨奇次行列式全为正，则赫尔维茨偶次行列式必全为正；反之亦然。

2、劳思稳定判据 (1)系统稳定的必要条件是特征方程的所有系数ai>0均大于零。 ①不缺项。 ②系数同号。它是系统稳定的必要条件，也就是说，只能用来判断系统的不稳定而不能用来判别稳定。 (2)劳思判据2为：线性系统稳定的充要条件是劳思阵列表中第一列所有项系数均大于零，系数变量次数为极点在s右半平面的个数。

例题： ，判定稳定性及在右半平面根个数 变号两次，有两个闭极点在s右半平面。

1、某行第一列元素为0，该行元素不全为0时 ：乘因子 (s+a)，a为任意正数。 四、劳思判据特殊情况 1、某行第一列元素为0，该行元素不全为0时 ：乘因子 (s+a)，a为任意正数。 例题： ，判定s右半平面中闭环根的个数。 s3 1 -3 s2 2 s1 ∞

以（s+3)乘以原来方程得到 s4 1 -3 6 s3 3 -7 s2 s1 s0 -0.67 20 变号两次，有两个正根，实际上

2、在劳斯阵列表中，如果某一行中的所有元素都等于零，则表明在s平面内存在两个大小相等符号相反的根。 在这种情况下，利用全为零行的上一行的系数，可组成一个辅助方程，并用这个辅助方程导数的系数取代各项，最后用劳斯判据加以判断。

例题： 试求系统在右半s平面的根数及虚根值。 右半s平面无根

五、劳思判据应用 ①判定稳定性，确定正根的个数 ②确定是系统稳定的参数取值范围 例题：系统如图，确定使系统稳定的和K的范围。

稳定范围

例题：系统如图，确定使系统闭环极点全部落在s=-1左边时K的范围 。

3-6 线性系统稳态误差计算 稳态误差是系统的稳态性能指标，是系统控制精度的度量。 只讨论系统的原理性误差，不包括非线性等因素所造成的附加误差。 计算系统的稳态误差以系统稳定为前提条件。

一、误差与稳态误差 1、从输入定义误差——偏差=误差 2、从输出定义误差

3、两种定义的误差间关系 对单位反馈系统 4、稳态误差

5、稳态误差计算的一般方法 终值定理： （1）判定系统的稳态性 （2）求误差传递函数 （3）利用误差定义求取，求出误差响应的原函数e(t)，求极值 （4）若满足终值定理，利用终值定理求取（终值定理条件：sE(s)所有极点位于s左半平面。）

例题 设单位反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts , 输入信号分别 为 1）r(t)=t ，2) r(t)=t2/2，3) r(t)=sinωt，求系统稳态误差。 解：误差传递函数为 1） , 符合终值定理应用条件。 2） , 符合终值定理应用条件。 3） ,不符合终值定理应用条件。 使用终值定理将得出错误结论。 本题说明：1）使用终值定理要注意条件 2）稳态误差与输入有关。

二、 系统类型与静态误差系数法 1、影响稳态误差的因素  一般开环传递函数可以写成如下形式：  式中，K为开环增益。  为开环系统在s平面坐标原点的极点重数，=0,1,2时，系统分别称为 0 型、Ⅰ型、Ⅱ型系统。 显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的阶次、开环增益K以及输入信号的形式。

2、阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数

3、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数

4、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数

5、系统型别、静态误差系数与输入信号行式之间的关系 表3-1 输入信号作用下的稳态误差 减小或消除误差的措施：提高开环积分环节的阶次 、增加开环增益 K。

求r(t)=1(t)+2t, n(t)=-1(t)时系统稳态误差。 例题 C(s) G1(s) G2(s) R(s) N(s) (-) 例题 解：r(t)作用时：Kp=∞, Kv=K=10, essr=0+2/10=0.2 。

三 动态误差系数法 动态误差系数法适用于研究输入信号为任意时间函数时的系统稳态误差。 设误差传递函数在s邻域展开成泰勒级数为： 其中 C0，C1，C2，…为动态误差系数。

控制系统在扰动作用下的稳态误差，反映了系统的抗干扰能力。在理想情况下，其稳态误差应为0，但实际上并不能实现。 四、扰动作用下的稳态误差 控制系统在扰动作用下的稳态误差，反映了系统的抗干扰能力。在理想情况下，其稳态误差应为0，但实际上并不能实现。 C(s) G1(s) G2(s) R(s) N(s) (-)

求r(t)=1(t)+2t, n(t)=-1(t)时系统稳态误差。 例题 C(s) G1(s) G2(s) R(s) N(s) (-) 例题 解：r(t)作用时：Kp=∞, Kv=K=10, essr=0+2/10=0.2 。 n(t)作用时： 对扰动作用来讲，减小或消除误差的措施：增大扰动作用点之前的前向通路增益、增大扰动作用点之前的前向通路积分环节数。 终值定理法不能表示稳态误差随时间变化的规律。