1、可微的几何意义 2、复合函数微分法 主讲人：汪凤贞

三、可微的几何意义 已知一元函数y＝f(x)在点xo可微的几何意 义是:曲线y＝f(x)在点(x0,f(x0))存在不平行 于y轴的切线，类似地，二元函数z＝ f(x，y) 在点(x0,y0)可微的几何意义 是:曲面z＝ f(x，y)在 点(x0, y0,f(x0,y0)) 存在不平行于z轴的切 平面，为此先必须给 出切面的定义。 　　 P d M Q h X Y T

平面曲线Ｃ在点Ｐ的切线PT是割线PQ的极限 位置，如图所示知Q－>P时，　　 而 所以当Q－>P即d －> 0则h－> 0, 故有PT 是曲线Ｃ在Ｐ点的 切线即： . Q M P T C h d 0<h<d

仿照这一想法,引入曲面S在一点M的切平面的定义。 １、切平面的定义　 设Ｍ是曲面Ｓ上的一点，　是过点Ｍ上的一个平面，又设曲面Ｓ上的动点Ｑ到平面　 的距离为h，曲面Ｓ上的动点Ｑ到定点Ｍ的距离为d，若当动点Ｑ在曲线Ｓ上以任意方式无限接近Ｍ点，即：d －> 0时，有 ，

　即：　　　 (即h=o(d))则称平面　为曲面Ｓ 在点Ｍ的切平面，称Ｍ为切点，曲面z＝f(x，y) 在点Ｍ(x0, y0,f(x0,y0))存在不平行 于z轴的切平面的充要条件 是：函数ƒ(x，y)在 (x0，y0)可微。

２、切平面存在的充要条件 定理４：二元函数z＝ f(x，y)在P0(x0,y0)可微　　平面　 ： 　　 是曲面z＝ f(x，y)在点Ｍ(x0, y0,f(x0,y0))的切平面. 　(例如:z＝ f(x，y) ＝ 在(0,0)点不存在偏导数，因此不可微。所以锥面在(0,0)点不存在切平面)。

证明：(=>)因为可微， 所以全增量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 其中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 设　　　　　　　　　　　　　 ，则上式为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 其中 即 根据空间点(a,b,c)到平面　　　　　　　　　 的距离:

知曲面Ｓ上任一动点Ｑ(x，y，z)到平面　的距离

同样，根据空间中两点间的距离公式知Ｑ到Ｍ点的距离: 于是 根据 ,当 ,必有 且

根据两边夹定理得： 所以根据切平面的定义，知　 是曲面Ｓ在Ｍ点的切平面。 (<=)略 将 的方程改写为 则根据向量的点积运算性质：

且 知向量 与向量 垂直 根据点(x,y,z)任意性，知切平面上任一过M0点的向 量都与 垂直即 平面 。

- 3、法线 （1)定义：过切点Ｍ(x0, y0,,z0)且与切平面 垂直的直线称为曲面S在点M的法线。 （2)法线的方程 由于法线l ,而 所以根据方向向量的定义 ， 可以作为法线l的方向向量。因此，过 Ｍ(x0, y0,,z0) 点的曲面S的法线 方程为: l (x ,y ,z) M(x0 ,y ,z) - ∴l ∥

（3) 方向余弦：指法线的方向向量向余弦，由于法线l的方向向量可以是 ，也可以为 ，因此相应的方向余弦也有符号互为相反的两组，设 为法线l的方向向量与三条坐标轴的正向夹角，则 其中

4、可微的几何意义 二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)可微的几何意义是曲面z=f(x,y)在点M(x0, y0,f(x0,y0))存在切平面(不平行于z轴)与法线(不平行于xy面)。 例1　求曲面z=x2+y2-1在点(2，1,4)的切平面方程与法线方程及法线的方程余弦。

解：∵ 在R2连续,∴可微 ∴存在切平面且 ∴所求的切平面方程为：4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0 即: 4x+2y-z-6=0 法线方程 ∴方向余弦为：

一元函数的微分 在几何上表示切线上纵坐标的改变量，类似地，z=f(x,y)的全微分 5、全微分的几何意义 一元函数的微分 在几何上表示切线上纵坐标的改变量，类似地，z=f(x,y)的全微分 在几何上表示切平面上的 竖坐标的改变量。 P dy M Q N X Y y=f(x) 增量 微分

全增量 全微分 (x0+△x,y0+ △y, 0) x0 y0 y0+ △y N M dz M0 Q(x,y)=(x0+△x,y0+ △y) z=f(x,y) π x0+ △x 全增量 全微分

四、复合函数微分法 定理5：若z=f(x,y)在点(x,y)可微，而 在t可导，则复合函数(一元) 在t也可导，且 x z t y 　　有增量 　于是，二元函数z=f(x,y)有增量

且由可微知全增量 其中 特别地，若 ，则规定

由于 可导，∴必连续 ∴当 ,所以 ∴根据导数的定义，有

. . . 推广：若n元函数z=f(x1,…xn)在点(x1,…xn)可微，而 一元函数 在t可导(k=1,2,…n)， 则复合函数

推论：若z=f(x,y)在(x,y)可微，而 在(t,s)存在偏导数，则复合函数 在(t,s)也存在偏导数，且 （1） （2） x y z t s [证]：将二元函数 中的s当作常 数,应用定理5则得到（1），再将t作为常数得到（2）。

推广:1、若自变量与中间变量的个数多于两个，并满足相应的条件，则有类似的结果。 例如：若u=f(x,y,z)在(x,y,z)可微，而x=x(r,s,t), y=y(r,s,t), z=z(r,s,t)在(r,s,t)存在偏导数，则复合函数u=f[(x=x(r,s,t), y=y(r,s,t),z=z(r,s,t)]，在点(r,s,t)也存在偏导数，且

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