第三章 函数的微分学 第二节 导数的四则运算法则 一、导数的四则运算 二、偏导数的求法
一、导数的四则运算 定理 1 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， 则它们的和、差、积与商 在 x 处也可导， 且 (u(x) v(x)) = u(x) v (x); (u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);
证 上述三个公式的证明思路都类似，我们只证第二个． 因为 u (x + x) - u(x) = u， 即 u (x + x) = u(x) + u， 同理有 v (x + x) = v(x) + v . 令 y = u(x)v(x)， 则 y = u(x + x) v(x + x) - u(x)v(x) = [u(x) + u] · [v(x) + v] - u(x)v(x) = u(x)v + v(x)u + u v .
所以
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数). 推论 2
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0). (5cos x) = 5(cos x)， 又(x4) = 4x3， (cos x) = - sin x， (ex) = ex， (1) = 0， 故 f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) = (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1) = 12x3 - ex - 5sin x . f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1
例 2 设 y = xlnx ， 求 y . 解 根据乘法公式，有 y = (xlnx) = x (lnx) + (x)lnx
例 3 设 求 y . 解 根据除法公式，有
例 4 设 f (x) = tan x， 求 f (x). 解 即 (tan x) = sec2x . 同理可得 (cot x) = - csc2x .
例 5 设 y = sec x， 求 y . 解 根据推论 2，有 即 (sec x) = sec x tan x . 同理可得 (csc x) = - csc x cot x .
另外可求得 (以后补证)
一、偏导数的求法 在点 (2 , 1) 处的两个偏导数. 例 6 解 因为 所以
例 7 求证： 证明 因为 将它们代入等式左边得 所以
例 8 设
必须分别按定义计算， 解 求 g(x , y) 在 (0 , 0) 处的两个偏导数， 类似地可以求得
3. 偏导数的几何意义 一元 函数 y = f (x) 的导数的几何 意义是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , y0) 处切线的斜率， 我们知道 而二元函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0) 处的偏导数， 实际上就是一元函数 z = f ( x , y0) 及 z = f (x0 , y )分别在点 x = x0 及 y = y0 处的导数． 因此二元函数 z = f (x , y) 的偏导数的几何意义 也是曲线切线的斜率.
在点 (x0 , y0 , f (x0 , y0 ) )处的切线的斜率, 在点(x0 , y0 , f (x0 , y0))处的切线的斜率， 同理 是曲线