功 能 & 机械能守恒 继续寻找运动状态中的不变量 功能&机械能守恒

首次引力波和电磁波同时观测的天文学事件：双中子星合并 运气好到爆：双中子星合并，距离地球1.3亿光年

课程回顾 力的时间积累效应使得动量发生改变 力的空间积累效应使得物体动能发生改变 质点系动能定理： 其中 Ek、A外、A内 分别为质点系的总动能、外力和内力对质点系作的总功 ：

新的守恒量：机械能守恒 由势能Ep引入--保守力： 做功与路径无关 沿闭合路径一周做功为零 标准点P的势能为0—势能零点

保守力的数学表示 如果F场的旋度为零（无旋场），那么该场是保守力场，反之也是正确的。

势能曲线:保守力与相对位置的函数 一旦知道了势能的表达式，即可求得力的表达式。力是矢量，而势能是标量，一般情况下，确定标量函数比确定矢量函数要容易。如果保守力仅是两质点距离的函数，则势能是一维函数。在许多实际问题中，特别是在微观领域内，确定势能往往比确定力更方便，故用势能函数来了解力的性质是有实际意义的。 表示势能与两质点相对关系的图形叫势能图。若势能为一维函数，这时，势能图成为势能曲线。 功能&机械能守恒

势能曲线 微观粒子为几率运动→没有连续轨迹，无法定义速度和力 原子处于一些分立能量状态（能级），可以定义能量 类氢原子电子云概率密度

势能曲线

引力的本质? 单位质量物体具有重力势能gh，与材质无关→引力反映时空的性质？

势能曲线用途 由势能曲线求保守力 求平衡位置及判断平衡的稳定性（该问题我们将在第9章中再详细讨论）。

质点系的动能定理 功能&机械能守恒

物体在地球重力场中运动的机械能守恒定律的表达式中,地球在哪?? 两质点的孤立保守体系: 质量悬殊的两质量体系的机械能守恒表现为小质量物体的动能势能之和为恒量 作为体系的另一部分,质量大的物体不显现 功能&机械能守恒

几点说明 摩擦力总是与两物体的相对位移反方向。因而动摩擦总是消耗体系的机械能，是一种耗散力。而静摩擦力不同，它不消耗机械能（无相对位移）

几点说明 关于功与能的定理都是在牛顿定律基础上导出来的，因而只在惯性系中成立。在非惯性系中，如要应用牛顿定律，必须引入惯性力，因而，如果要在非惯性系中应用功与能的定理，必须计入惯性力作功以及与惯性力相关的势能。（由于惯性力没有施力物，与惯性力相联系的势能是指保守力场中的势能）。

几点说明 功总是与一个过程相联系，而能量（动能和势能）总是与物体或物体系的状态，即（相对）位置和速度相联系。因而功是过程量，能量是状态量。在力学范围内，作功的过程总是与体系能量的改变相联系。

质心系中的动能-柯尼希定理 取质心为坐标原点建立的参考系称为质心参考系或质心系。当质心系为非惯性参考系时，功能定理和机械能守恒定律也仍然正确。

柯尼希定理 设两参考系 K、KC 分别为惯性系和质心系。在惯性系 K 中，n 个质点 mi ( i = 1,2, …, n ) 的位矢、速度、加速度分别为 ri、vi、ai ( i = 1,2, …, n ) ，质心的位矢、速度、加速度分别为rC、vC、aC ；在质心系中个质点的位矢、速度、加速度分别为rCi、vCi、aCi ( i = 1,2, …, n ) 。则有： 用 Ek、EkC 分别表示质点系在惯性系 K 和质心系 KC 中的动能，有：

柯尼希定理 即体系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和。此结论称为柯尼希定理。 我们知道质点系的动量等于质心的动量，但质点系的动能，一般并不等于质心的动能。 由以上证明过程可见，不论质心系是惯性系还是非惯性系，此定理都成立。

质心系中的功能原理和机械能守恒定律 我们知道，如果我们选取了非惯性参考系统，就应计入惯性力，在动能定理中必须计及惯性力所作的功。本节将证明，只要我们选择质心系，即使它不是惯性系，也不需要考虑惯性力所作的功。 如质心的“绝对”加速度 aC = 0，则质心系也是惯性系。如 aC ≠ 0 ，则质心系为非惯性系，它是具有加速度 aC 的平动参考系。如选取质心系，则所有质点都要受到惯性力。现在我们来计算这样的惯性力系所作的功。

作用于质点 mi 的惯性力为﹣miaC ，这个力对该质点所作的功为 惯性力所作的总功为： 其中 为在质心系中所求的质心的位矢，它当然等于零。于是结论为： 只要我们选择质心系，即使它不是惯性系，也不需要考虑惯性力所作的功。

例：计算第三宇宙速度。从地面出发的火箭如具有第三宇宙速度，那就不仅能够脱离地球，而且可以逸出太阳系。 解：首先，规定无穷远点的引力势能为零，由于火箭的机械能守恒，火箭要逸出太阳系，其机械能 E 至少应等于零。这里的 E 指的是火箭的动能以及太阳—火箭的势能。在地球这样的距离上，这个判据成为 这里 R1 为地球与太阳的距离。由上式解得： 这就是说，在地球这样的距离上，一个物体必须具有42.2 千米/秒的速率才可以逸出太阳系而飞往其他恒星。但这里还没有计及地球的引力，上面的 42.2千米/秒应当是已脱离了地球引力范围时的速率。那么火箭从地面出发时相对于地球的速率 v/ 应当多大呢？

先选用“静止”（相对于太阳为静止）参考系，火箭已脱离了地球引力范围时的动能应为 (1/2)mv2，这时火箭—地球势能为 0。为了用最小的速度达到目的，应当沿地球公转方向发射火箭，以最大限度地利用地球的公转动能。考虑到地球公转速率为 29.8千米/秒，火箭以相对速率从地面出发时的动能为 (1/2)m(v/+29.8)2 。因为万有引力是保守力，我们可以运用机械能守恒原理： 其中 R 为地球半径。由此求得： 但这结果是完全错误的。

在火箭逸出地球引力范围的过程中，地球相对于“静止”参考系的速率也随之而变。由于地球质量很大，这个速率变化很小。另一方面，正因为地球质量很大，尽管速率变化很小，动能的改变却颇为可观。必须考虑地球动能的改变才可以得出正确的结果。为了计算火箭的速率，竟需要考虑地球运动情况的改变，这是太不方便了。 选取“地球—火箭”系统的质心坐标系则比较方便，因为地球的质量远远超过火箭的质量，“地球—火箭”系统的质心实际上也就是地球的质心。地球相对于它自己的质心，当然是始终静止的。在质心坐标系中，地球的动能始终为 0，无需特别计及地球的动能。

在质心系中，火箭已脱离了地球引力范围的动能应为(1/2)m(42. 2﹣29 在质心系中，火箭已脱离了地球引力范围的动能应为(1/2)m(42.2﹣29.8)2 ，其时“地球—火箭”势能为零。火箭以相对速率 v/ 从地面出发时的动能为 (1/2)mv / 2 。因为万有引力是保守力，我们可以运用机械能守恒原理： 由此求得第三宇宙速度： 这样，无需计算地球运动情况的改变，就能求得正确的第三宇宙速度。

三个宇宙速度