格林公式及其应用 姓名 学号 班级 兰浩 20123600 12级数学与应用数学

一、格林公式 单连通与复连通区域,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域. 对平面区域D的边界曲线L,我们规定L的正向如下当观察者沿L的这个方向行走时,D内在他近处的那一部分总在他的左边区域D的边界曲线的方向.

定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有 其中L是D的取正向的边界曲线 简要证明 仅就D即是X－型又是Y－型的情形进行证明 设D{(x y)| } 因为 连续 所以由二重积分的计算法有 另一方面 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有 因此 设D{(x y)| } 类似地可证 由于D即是X－型的又是Y－型的,所以以上两式同时成立,两式合并即得

应注意的问题: 对复连通区域D,格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分,且边界的方向对区域D来说都是正向. 设区域D的边界曲线为L, 取P=-y Q=x 则由格林公式得 例1 椭圆 , ， 所围成图形的面积A 分析 只要 ,就有 解 设D是由椭圆 ， 所围成的区域 令 ， 则 例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明 证 令P=2xy Q=x^2，则 因此 由格林公式有 例3 计算 其中D是以O(0,0)A(1,1)B(0,1)为顶点的三角形闭区域 .

解 令P=0 , ,则 因此 由格林公式有 例4 计算 其中L为一条无重点、 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L 的方向为逆时针方向 。 解 ：令 则当x^2+y^2≠0时 有 记L 所围成的闭区域为D 当(0，0)不属于D时,由格林公式得 当(0，0)属于D时，在D内取一圆周 L.x^2+y^2=r^2(r>0)

由L及l围成了一个复连通区域D 1 应用格林公式得 ,c于是 =2π 二．平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关,设G是一个开区域 P(x,y)、Q(x,y)在区域G内具有一阶连续偏导数 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2 等式。 恒成立，就说曲线积分 在G内与路径无关,否则说与路径有关 。 设曲线积分 在G内与路径无关，L 1和L 2是G内任意两条从点A到点B的曲线,则有

因为 Û Û Û 所以有以下结论 曲线积分 在Ｇ内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分 等于零。 定理2 设开区域G是一个单连通域 函数Ｐ(x,y）及Ｑ(x,y)在Ｇ内具有一阶连续偏导数 则曲线积分 内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式 在G内恒成立 . 充分性易证: 若 ,则 由格林公式，对任意闭曲线A,有 必要性：假设存在一点Ｍ属于Ｇ,使　　　　不妨设η>0 ，则由 的连续性 存在M的一个δ 邻域Ｕ(M,δ)，使在此邻域内有 于是沿邻域Ｕ(M,δ)边界l 的闭曲线积分

这与闭曲线积分为零相矛盾，因此在G内 　　　 应注意的问题：定理要求 区域G是单连通区域 且函数P(x,y)及Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数 ,如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立 ． 破坏函数P、Q及、　　　连续性的点称为奇点 ． 例5 计算　　　　其中L为抛物线y＝x＾2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧． 解：因为　　　　在整个xOy面内都成立，所以在整个xOy面内 积分　　　　与路径无关． 讨论 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向．问　　　　　是否一定成立？提示这里 　　　和 在点(0,0)不连续。因为当x^2+y^2≠0时 所以如果(0,0)不在L所围成的区域内,则结论成立 而当(0,0)在L所围成的区域内时,结论未必成立。

三、二元函数的全微分求积 曲线积分在G内与路径无关 表明曲线积分的值只与起点从点(x0,y0)与终点(x,y)有关 .如果 与路径无关，则把它记为 即 若起点(x0，y0)为G内的一定点，终点(x,y)为G内的动点,则u(x,y) 为G内的的函数 。 二元函数u(x,y)的全微分为du(x,y)=ux(x,y)dx+uy(x,y)dy 表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？ 定理3:设开区域G是一个单连通域 函数P(x,y)及Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数 则P(x,y)dx+Q(x,y)dy 在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充分必要条件是等式 .在G内恒成立 。

简要证明:必要性 假设存在某一函数u(x,y) 使得duP(x,y)dx+Q(x,y)dy则有 , 因为 , 连续,所以 即 充分性 因为在G内 ,所以积分 在G内与路径无关，考虑函数u(x,y) 因为u(x,y) 所以 类似地有 从而du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy 即P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某一函数的全微分 求原函数的公式：

例6 验证 在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。 解：这里 因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数，且有 所以在右半平面内， 是某个函数的全微分。 取积分路线为从A(1,0)到B(x,0)再到C(x,y)的折线 则所求函数为 例7 验证 在整个xOy面内 xy^2dx+x^2ydy是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 解 这里P=xy^2,Q=x^2y因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数,且有 所以在整个xOy面内 xy^2dx+x^2ydy是某个函数的全微分. 取积分路线为从O(0,0)到A(x,0)再到B(x,y)的折线,则所求函数为

思考与练习: 1.在单连通区域G内,如果P(x,y)和Q(x,y)具有一阶连续偏导数 且恒有 那么(1)在G内的曲线积分 是否与路径无关? (2)在G内的闭曲线积分 是否为零? (3)在G内P(x,y)dx+Q(x,y)dy是否是某一函数u(x,y)的全微分? 2在区域G内除M点外,如果P(x,y)和Q(x,y)具有一阶连续偏导数,且恒有 G1是G内不含M的单连通区域,那么 (1)在G 1内的曲线积分 是否与路径无关? (2)在G 1内的闭曲线积分 是否为零? (3)在G1内P(x,y)dx+Q(x,y)dy是否是某一函数u(x,y)的全微分? 3 在单连通区域G内,如果P(x,y)和Q(x,y)具有一阶连续偏导数, ,但 非常简单,那么 (1)如何计算G内的闭曲线积分? (2)如何计算G内的非闭曲线积分? (3)计算 其中L为逆时针方向的上半圆周(x-a)^2+y^2=a^2,y≧0.