第三节 函数的微分 3.1 微分的概念 3.2 微分的计算 3.3 微分的应用
3.1 微分的定义 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 变到 问此薄片面积改变了多少? 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 变到 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 当 x 在 取 得增量 时, 面积的增量为 关于△x 的线性主部 时为 的高阶无穷小 故 称为函数在 的微分
定义2.3 (81 页): 若函数 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 在点 可微, 而 称为 的微分, 记作 即 定理2.6: 函数 在点 可微的充要条件是 即
重要结论：证明不作要求 1、函数 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 故 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 故 在点 的可导, 且
证明不作要求 “充分性” 已知 在点 的可导, 则 即
说明: 当 时 , 所以 时 与 是等价无穷小, 故当 很小时, 有近似公式
微分的几何意义
微分的几何意义 切线纵坐标的增量 当 很小时, 记 自变量的微分, 记作 则有 导数也叫作微商 从而
3.2 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 5. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为 微分形式不变
例1、
3.3 微分在近似计算中的应用 当 很小时, 得近似等式: 使用原则:
特别当 很小时, 常用近似公式: 很小) 证明: 令 得
微分在估计误差中的应用 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限
误差传递公式 : 若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为 按公式 计算 y 值时的误差 故 y 的绝对误差限约为 相对误差限约为
内容小结 1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可微 可导 2. 微分运算法则 微分形式不变性 : ( u 是自变量或中间变量 ) 近似计算 3. 微分的应用 估计误差