第3课时 函数的定义域和值域 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
要点·疑点·考点 1.能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.求函数的定义域的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 2.如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. 3.已知f(x)的定义域为A，求函数f[g(x)]的定义域，实际上是已知中间变量u=g(x)的取值范围，即u∈A，即g(x)∈A，求自变量x的取值范围.
4.函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. 5.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. 6.求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等. 返回
课 前 热 身 1．函数 的定义域是________ 2. 的值域是________ 1．函数 的定义域是________ 2. 的值域是________ 3.定义域为R的函数y=f(x)的值域为[a，b]，则函数y=f(x+a)的值域为( ) (A)[2a，a+b] (B)[0，b-a] (C) [a，b] (D) [-a，a+b] 答案： (1)(-∞，-1] (2) [5，+∞） (3) C
4.函数 的定义域为( ) (A)［2，+∞］ (B)(-∞，1) (C)(1，2) (D)(1，2) 5.若函数 的值域是[-1，1]，则函数f-1(x)的值 域是( ) (A) (B) (C) (D) D A 返回
能力·思维·方法 1.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，且a+b＞0，求f(x2)的定义域 【解题回顾】复合函数y=f[g(x)]的定义域的求法是：根据f(x)的定义域列出g(x)的不等式，解该不等式即可求出f[g(x)]的定义域
2．求下列函数的值域： (1) ; (2) (3) ; (4)
【解题回顾】第(1)题是通过求原函数的反函数的定义域， 求原函数的值域.也可将原函数式化为 ，可利用指 数函数的性质 3x＞0 得 . 第(2)题采用了“部分分式法”求解，即将原分式分解成两项 ，其中一项为常数，另一项容易求出值域．形如 (a≠0，c≠0)的函数均可使用这种方法.本题也可化为 ，利用|sinx|≤1，得 ，求函数的值域. 第(3)题用换元法求函数的值域，要特别注意换元后新变量的取值范围． 第(4)题利用基本不等式求函数的值域时，必须注意公式使用的条件，本题也可分x＞0，x＜0两类情况利用基本不等式求函数的值域；利用判别式法求函数值域的关键是构造自变量x的二次方程.
3.已知函数y=√mx2-6mx+m+8的定义域为R (2)当m变化时，若y的最小值为f(m)，求f(m)的值域 【解题回顾】对于x∈R时ax2+bx+c≥0恒成立.一定要分a=0与a＞0两种情况来讨论.这样才能避免错误. 返回
延伸·拓展 4.设f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为M(a)，最小值为m(a)，试求M(a)及m(a)的表达式. 【解题回顾】含有参变数字母的二次函数的最值问题，主要体现在顶点的变化和区间的变化，当然还有抛物线的开口方向问题，当抛物线开口方向确定时，可能会出现三种情形： (1)顶点(对称轴)不动，而区间变化(移动)； (2)顶点(对称轴)可移动，而区间不动； (3)顶点(对称轴)和区间都可移动．无论哪种情形都结合图象、顶点(对称轴)与区间的位置关系对种种可能的情形进行讨论. 返回
误解分析 1.凡涉及二次三项式恒成立问题，一定要注意讨论二次项系数是否为零. 2.用基本不等式求函数值时，要注意等号成立的充要条件. 3.不可将f(x)中的“x”和f[g(x)]的“x”混为一谈，应搞清它们“范围”之间的关系. 返回