§3.9角动量的Schwinger’s振子模型 回顾:对Euler角表征的转动， 可见只要求出 ，，则可得到 例如对j=1/2, 对j=1，利用Jy=(J+-J-)/2i及J±的矩阵元得： 由于 ，用级数展开,可知 最终得： 类似方法可给出d(j>1)(β),但过程复杂.下面介绍简便获得d(j)的方法。

角动量的Schwinger’s振子模型 一、无耦合振子 将无耦合的两类谐振子分别标记为“+”和“-”，有相应的产生与湮灭算符 对易关系为 对N±的共同本征态|n+,n->，有 N±|n+,n->= n±|n+,n-> 类比单振子态可写出

二、角动量和无耦合振子 定义 则有 (满足角动量対易关系) 对 可有关系 则有 (满足角动量対易关系) 对 可有关系 把“+”振子看成自旋向上1/2粒子，而“-”振子为自旋向下1/2粒 子，则J+产生一自旋向上粒子同时消灭一自旋向下粒子，从而 角动量的z分量加 。类似地，J-使总自旋z分量- 在上述操作中，总粒子数(n++n-)均不变

将n+与j+m对应，n-与j-m对应，则上式与熟知的算符J±、Jz及J2作用形式相同. 故可用 将角动量为j的体系看为(j+m)个自旋向上和(j-m)个自旋向下的粒子组成，这种等价至少对转动下的变换性质适用(具有相同的代数关系式)。但这种对应有特殊性。由于 (j+m)自旋向上粒子和(j-m)自旋向下粒子可导致总角动量为J=j,j-1,j-2,…。这种对应相当于向上自旋与向下自旋态以完全对称形式叠加的特殊情形。 这里：|0>=|0,0>

三、任意角动量体系的转动矩阵表达式 由于 ，对 有 由 ，利用Baker-Hausdorff引理： 可得 及

利用Schwinger振子模型的推导比以前的推导方式简洁很多 可推得 对照 相比 项系数 得 此即 的Wigner公式，适用于任意j。 利用Schwinger振子模型的推导比以前的推导方式简洁很多

§3.11 张量算符 一、矢量算符 矢量在转动下其分量Vi按 变换，要求量子力学中的矢量算符之期望值在转动下具有与经典矢量在转动下的变换行为： 即 对无穷小角转动  分析x,y,z分量可得出: 上式可作为矢量算符的定义。 因角动量算符的对易关系是上式的特例，故角动量是矢量算符。类似地，x, p也是矢量算符。 矢量算符对易关系也决定了其有限转角下的变换行为 （ ， ）

二、直角张量和不可约张量 将矢量变换推广,定义直角张量Tijk的转动变换性质： 指标ijk…的数目称为张量的“阶”（“秩”）。 相比 对应于 分量的变换可看做n个3维矢量直积的变换 3独立分量J=1；n个J=1直积空间的转动可约化为一定 数量不可约空间的直和。

例如： 将两矢量U,V笛卡分量相乘构成T的分量， , 有9个分量，是二阶笛卡张量。 笛卡张量具有可约性的缺陷，即可分解为具有不同转动变换性质的几部分，如 三部分的独立分量对应L=0,1,2的角动量多重性。笛卡张量可分解为按0，1，2阶球谐函数变换的三个张量。因此，球张量更基本。

三、球张量算符 球张量的定义是参考球谐函数的转动变换性质来给出的 对 由于 采用 对应算符的变换结果： 

球张量 算符球谐函数的转动变换结果： 定义k阶（秩）球张量算符为 其中q的个数（即张量的分量数）为2k+1。等价地有 不难看出 是磁量子数为q的k阶球张量。 但 包括更普遍的球张量形式（如 ）。

注意：球张量分量依球谐函数的分量方式构造。如： 

四、球张量与角动量的对易关系 对无穷小转动 得 即 上两式也可作为球张量的定义

五、张量的乘积 由2个1阶张量可构造出0-2阶的新张量，如 一般的有： 该定理了指出通过两张量的乘积构造高阶或低阶张量的方法（与角动量叠加中基函数变换关系相似） 一般的有：

证：

六、张量算符的矩阵元 1）磁量子数选择定则： 这是因为： 是Jz 的本征矢（但一般不是 的本征矢） 可以证明： 是 的共同本征矢

2）Wigner-Eckart定理： 张量算符在角动量本征态的矩阵元满足 其中<α’j’||T(k)||αj>与m,m’及q无关，而<jk;mq|jk;j’m’>为CG系数. 该定理表明其矩阵元可分为两部分，一部分只依赖于体系的取向而与具体张量无关，另一部分与取向无关，但依赖于张量及（波函数）径向分布。 证明思路：利用 和J±对|jm>的作用结果，可知<α’j’m’|T(kq)|αjm>与 <jkmq|jkj’m’>满足相同的一阶线性齐次方程，从而成比例。

证明 可知<α’j’m’|T(kq)|αjm>与 <jkmq|jkj’m’>满足相同的一阶线性齐次方程，从而成比例。

Wigner-Eckart定理的简单应用： a) 对标量S，则 即标量不改变j,m b) 对矢量k=1，q=1,0,-1，由CG系数知 （但00跃迁不发生

3)投影定理 (Lande公式)： 径向积分只牵涉标量，角度部分则是已知的。 证：据Wigner-Eckart定理，

作业 3.23、3.29、3.30