新疆医科大学 主讲人：张利萍 计 算 方 法

zlp 第五章 常微分方程数值解

5.1 引言 ( 基本求解公式 ) 5.2 Runge-Kutta 法 5.3 微分方程组和高阶方程解法简介

本章要点： 本章作业 本章主要研究基于微积分数值解法的常 微分方程数值解，主要方法有 线性单步法中的 Euler 方法、 Simpson 方法、 Runge-Kutta 方法 高阶微分方程和微分方程组的数值解法 P

本章应用题 : 驱逐舰在浓雾中搜索潜艇，其时发现潜艇在 3 英里 的海面上，但潜艇立即下潜，驱逐舰速度两倍于潜 艇，且已知潜艇下潜后即以全速朝某一未知方向直 线前进，问驱逐舰应采取什么路线才能保证它会开 过潜艇的上方以投放深水炸弹？ 提示 取极坐标，并以发现潜艇时潜艇的位置为原点 ——— 反潜

5.1 引言 ( 基本求解公式 ) 在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解 而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解 在高等数学中我们见过以下常微分方程： (1) (2)

(3) (1),(2) 式称为初值问题,(3) 式称为边值问题 (4) 另外, 在实际应用中还经常需要求解常微分方程组 : 本课程主要研究问题 (1) 的数值解法, 对 (2)~(4) 只作简单介绍 我们首先介绍初值问题 (1) 的解存在的条件

定理 1. 对于问题 (1), 要求它的数值解

(1) 从 (1) 的表达式 可以看出, 求它的数值解的关键在于 而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过

一、基于数值微分的常微分方程数值解法 (1) 对于初值问题 (1) 在下列子区间上分别应用两点数值微分公式 为了讨论方便, 假设以下节点为等距节点

(5) ( 一 ) Euler 公式

由 (5) 式每组的前一半可得 (6) (7) 记 其中 (6) 和 (7) 式称为求解初值问题 (1) 的 ( 前进 )Euler 公式和误差项

由 (5) 式每组的后一半可得 记 其中 (8) (9) (8) 和 (9) 式称为求解初值问题 (1) 的后退 Euler 公式和误差项

从 (6) 或 (8) 式不难看出, 这种类型的方法称为单步格式或单步法 Euler 方法的几何体现 : 前进 Euler 公式 后退 Euler 公式

Euler1.m 例 1. 解:解: 由前进 Euler 公式

得 依此类推, 有

由于后退 Euler 公式是隐形公式, 计算例 1 将很麻烦 事实上大多数情况下用后退 Euler 公式都较困难 就可得到新的 Euler 公式 (10) 此方法称为预测 — 校正系统

用 Euler 公式的预测 —— 校正系统求解例 1.例 1 例 2. 解:解: 由 (10) 式, 有 Euler1.m

依此类推, 得 比较不同的结果

( 二 ) 常微分方程数值解的截断误差 评价一个微分方程求解公式的标准当然是其精度 而在求解公式 中 误差项

定义 1. 因为一般情况下, 求解公式的每一步都存在误差, 因此有 定义 2. 定义 3.

Euler 公式的局部截断误差为 具有 1 阶精度 后退 Euler 公式的局部截断误差为 也具有 1 阶精度 显然一个求解公式的精度越高, 计算解的精确性也就越好 从前面的分析可知,Euler 法的精度并不算高 因此有必要找寻精度更高的求解公式

二、基于数值积分的常微分方程数值解法 (1) 对于初值问题 (11)

矩形求积公式 梯形求积公式, 误差为 Simpson 求积公式, 误差为 将以上求积公式代入 (11) 式, 并加以处理就 可得到相对应的求解公式

( 一 ) 矩形求解公式 由 可得 令 (12) (12) 式称为矩形公式 ( 矩形法 ) 实际上就是 Euler 求解公式

( 二 ) 梯形求解公式 由 可得 令 (13) 称 (13) 式为梯形求解公式 ( 梯形法 ) 注意 :(13) 式是隐形公式

则梯形公式第 k 步的截断误差为 显然梯形法具有二阶精度 由于梯形公式为隐形公式, 一般情况下不易显化

------(14) 以上公式称为改进的 Euler 求解公式 ( 改进 Euler 法 ), 即 (15)

例 3. 用 Euler 公式、梯形公式和改进 Euler 公式求 解初值问题, 并比较结果的精度 解:解: (1)Euler 公式

(2) 梯形公式

(3) 改进 Euler 公式 改进 Euler 公式 x y 使用 MATLAB 软件 Euler2.m 结果为

Euler 公式 梯形公式 改进 Euler 公式 结果比较 Euler 法的精度不如梯形公式

( 三 ) Simpson 求解公式 将 Simpson 求积公式 代入（ 11 ） 简化后, 得 (16)

由 Simpson 求积公式的误差 可以近似得到 (16) 式的截断误差为 仔细分析 (16) 式 如何求 ? 求积公式 (16) 的精度为 4 阶

考虑将 (16) 式改为下面的形式 (17) (18) (17) 式称为 Simpson 求解公式,(18) 为相应的截断误差项 (17) 式是一个隐式求解公式 这种形式称为多步法, 在本课程中将不予介绍

张利萍制作 39 小结 这节课我们主要学习了： 1 、基于数值微分的常微分方程数值解法 2 、基于数值积分的常微分方程数值解法 要求熟练掌握欧拉公式、改进的欧拉公 式、校正欧拉公式 作业：课后相应习题