第 14 章 常微分方程的 MATLAB 求 解 编者

Outline 14.1 微分方程的基本概念 14.2 几种常用微分方程类型 14.3 高阶线性微分方程 14.4 一阶微分方程初值问题的数值解 14.5 一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解 14.6 边值问题的数值解

14.1 微分方程的基本概念 微分方程：一般的，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微 分方程，有时也简称方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶 微分方程的解：找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数 就叫做微分方程的解。 微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数 相同，这样的解叫做微分方程的通解。 初始条件：设微分方程中的未知函数为 ，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任 意常数的条件是 时， 或写成 其中 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是 其中 和 都是给定的值，上述这种条件叫做初始条件。 确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解。求微分方程 满足初始条 件 的特解是这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。

14.2 几种常用微分方程类型 1. 可分离变量的微分方程 一般的，如果一个一阶微分方程能写成 的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含 的函数和 ，另一端只含 的函数和 ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。 2. 齐次方程 如果一阶微分方程可化成 的形式，那么就称这方程为齐次方 程。 3. 一阶线性微分方程 线性方程：方程 叫做一阶线性微分方程因为 它对于未知函数 y 及其导数是一次方程。如果 ， 则上述方程称为齐次的；如果 ， 则上述方程称为非齐次的。为了求出非齐次线性方程的解，我们先把 换成 零而写出方程 该方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程。齐次线性方 程的通解为 非齐次线性方程的通解为 伯努利方程：方程 叫做伯努利（ Bernoulli ）方程。当 时，该方程是线性微分方程，当 时，该方程不是线性的，但是通过变量的替换，便 可把它化为线性的

4. 可降阶的高阶微分方程 型的微分方程：微分方程 的右端仅含有自变量 x ，容易看出，只 要把 作为新的未知函数，那么微分方程 即化为新未知函数 的一 阶微分方程，两边积分，就得到一个 阶的微分方程 同理可得 依此法继续进行，接连积分 n 次，便得到方程 的含有 n 个任意常数的通解。 型的微分方程 : 方程的右端不显含未知函数 y 。如果我们设 ，那么 因此，方程 就成为 ，这是一个关于变量 的一阶微分方程 ，设其通解为 ，又 因此又得到一个一阶微分方程 对它进行积分，便得到方程 的通解为 型的微分方程：方程中不显含自变量 x ，为了求出它的解，我们令 ，并利用复合函数求导法则把 化为对 的导数，即 这样，方程 就成为 这是一个关于变量 的一阶微分方程 ，设它的通解为 分离变量并积分，便得方程 的通解为

14.3 高阶线性微分方程 1. 线性微分方程解的结构 在 n 阶微分方程 中， 若 是 的一次有理整式，则称此方程为 n 阶线性微分方程。一般形式可写成： 线性微分方程解的结构定理： 如果 是方程 的 n 个线性无关的解，则该方程的通解为 其中 是任意常数。 设 是方程 的一个特解， 是对应的齐次线性方程的通解，则 是上述方程的通解。 若 和 分别是方程 与 的特解，则 是方程 的特解 2. 常系数线性微分方程的 MATLAB 符号求解 MATLAB 中提供了 dsolve 函数求解微分方程（组）。该函数允许用字符串的形式描述微分方 程及初值、边值条件，最终将给出微分方程的解析解。

14.4 一阶微分方程初值问题的数值解 1. 欧拉法及其 MATLAB 实现 对于一阶微分方程的初值问题 ，若要求其数值解，我们可以采用 离散化方法。在求解区间 上取一组节点： 称 为步长。为简单起见，仅考虑等距步长 ，即 将方程 的两端在区间 上积分，得到 即 应用左矩形公式 ： ，则有 略去上式中的 ，得 考虑到 ，设已求得 ， 的 1 个近似值 ，则由上式可得 由 可依次求出 。称上式即为求解初值问题的 Euler 公式。

2. Runge-Kutta 法及其 MATLAB 实现 考虑微分方程 ，由 Lagrange 微分中值定理，存在 ，使得 于是，由 得 记 ，则称 为区间 上的平均斜率。这样，只要给 出了 的一种算法，就可以得到求解微分方程初值问题的一种计算公式。显然，显式 Euler 公式就是以 作为平均斜率 的近似。 经典四阶 Runge-Kutta 方法的迭代公式：

14.5 一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解 1. 一阶微分方程组 前面研究的是求解单微分方程 的数值解法，对于微分方程组，只需将 y 理解成向量， 理解成向量函数，那么对前面研究过的各种计算公式即可用到一阶 微分方程组上来。 2. 高阶微分方程 对于高阶微分方程组的数值求解，首先应将其变换成一阶显式常微分方程组。其具体 转换方法如下：（ 1 ）将微分方程的最高阶变量移到等式的左边，其他移到右边，并按阶次 从低到高排列，（这里以两个高阶微分方程的转换为例）假设两个高阶微分方程最后能够 显式的表达成下述形式： （ 2 ）为每一阶微分式选择状态变量，最高阶除外 （ 3 ）根据（ 2 ）中选用的状态变量，写出所有状态变量的一阶微分的表达式 最后，对初值进行相应的变换，就可以得到所期盼的一阶微分方程组了。 3. 微分方程组的 MATLAB 求解函数 MATLAB 提供了一系列的函数来求解微分方程组，包括 ode 系列函数，另外还提供了 几类特殊的微分方程的求解函数，例如 ode15s ， ode15i 等。

14.6 边值问题的数值解 1. 打靶法 打靶法也称为试射法，其基本思想是把边值问题作初值问题来求解，从满足 左端边界条件的解曲线中寻找也满足右端边界条件的解。 线性方程边值问题的打靶法： 考虑如下给出的二阶线性边值问题 该边值问题的打靶法求解过程可以由如下步骤完成：（ 1 ）计算下面齐次微分方程在区间 上的数值解 ， ，初值条件： ；（ 2 ）计算下面齐 次微分方程在区间 上的数值解 ， ，初值条件： ；（ 3 ）计算下面初值问题在区间 上的数值解 ， ，初值条件 ： ；（ 4 ）若 ，则 计算 ；（ 5 ）计算下面初值问题的数值解，则 即为原边值问 题的数值解 ，初值条件：

非线性方程边值问题的打靶法： 考虑二阶常微分方程 的边值问题，边界条件为 。假定 该问题可以转换为下面的初值问题 则问题转化为求解 ，这是一个复杂的超越方程，可以考虑引入牛顿迭代法求 解参数 m 。具体的迭代公式为： 式中 通过这些关系可以建立方程 具体计算中可以指定一个 m 值，然后求解上面的初值问题，将结果代入上面的迭代公式中 迭代一步，并将结果代入上式中重新计算，直至两次计算出来的 m 值的误差在允许的范围 内为止，最后将 m 值代入初值问题 即可求解原始问题。

2. 边值问题的 MATLAB 函数求解 MATLAB 能求解的边值问题的一般形式如下 其中 y 为状态变量向量 为方程中其他未知参数向量。该方程已知的边界值为 MATLAB 提供了专门求解边值问题的 bvp 解算器 bvpslover 。要想求解一个常微分方程 的边值问题，一般应该遵循以下几个步骤： （ 1 ）参数初始化 （ 2 ）微分方程和边值问题的 MATLAB 函数描述 （ 3 ）边值问题的求解

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