换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需 要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积 分的两大基本方法 —— 换元积分法和分部积分法。 在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应 的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的 积分法 —— 换元积分法。通常根据换元的先后， 把换元法分成第一类换元和第二类换元。
问题 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程令 一、第一类换元法 说明结果正确
将上例的解法一般化： 设 则 如果 （可微） 将上述作法总结成定理，使之合法化，可得 —— 换元法积分公式
第一类换元公式（凑微分法） 说明使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同. 定理 1
注 ① 定理说明：若已知则 因此该定理的意义就在于把 中的换成另一个 的可微函数后，式子仍成立 —— 又称为积分的形式不变性 这样一来，可使基本积分表中的积分公式 的适用范围变得更加广泛。 ②由定理可见，虽然 是一整体记号，但可把视为自变量微分 —— 凑微分
③凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化 凑微分法的基本思路： 与基本积分公式相比较，将不同的部分 —— 中间变量和积分变量 —— 变成相同 步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量 例 1 求 解（一）
解（二） 解（三） 例 2 求 解
一般地 例 3 求 解
例 4 求 解
例5例5 解 例 6 求 解
例7例7 解 注意： 分子拆项 是常用的技巧
例 8 求 解
例 9 求 解
例 10 求 解
例 11 求 原式
例 12 求 解 或
例 13 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例 14 求 解
例 15 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形）
解（二） 解（三）
类似地可推出
解 例 16 设 求. 令
例 17 求 解
例 18 解（一）分子分母同乘以
解（二） 分子分母和差化积 解（三） 分子恰为分母的导数
第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法， 不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循， 只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟 记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对 被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因 子。
问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 （应用 “ 凑微分 ” 即可求出结果） 二、第二类换元法
证 设 为 的原函数, 令 则 则有换元公式 定理 2
第二类积分换元公式
例 19 求 解 令
例 20 求 解令
例 21 求 解 令
说明 (1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 注意：所作代换的单调性。对三角代换而言， 掌握着取单调区间即可。
说明 (2) 积分中为了化掉根式除采用三角代 换外还可用双曲代换. 也可以化掉根式 例 中, 令
说明 (3) 积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需 根据被积函数的情况来定. 例 22 求 （三角代换很繁琐） 解 令
例 23 求 解 令
说明 (4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例 24 求 解 令
例 25 求 解 令 （分母的阶较高）
说明 (5) 当被积函数含有两种或两种以上的 根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例 26 求 解 令
基本积分表基本积分表
三、小结 两类积分换元法： （一）凑微分 （二）三角代换、倒代换、根式代换 基本积分表 (2)
思考题 求积分
思考题解答