1 （三）偏微分方程的数值离散方法 3.1 有限差分法 3.2 有限体积法 ( 有限元，谱方法，谱元，无网格，有限解析，边界元，特征线）

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数值分析第五节数值微分在实际问题中，往往会遇到某函数 f(x) 是用表格表示的, 用通常的导数定义无法求导, 因此要寻求其他方法近似求导。常用的数值微分方法有 : 一. 运用差商求数值微分二.运用插值函数求数值微分三. 运用样条插值函数求数值微分四. 运用数值积分求数值微分.

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第六章数值微分 6.1 插值型数值微分公式 6.2 插值型数值积分. 6.1 插值型数值微分公式当 x 为插值节点时，上式简化为故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数值进行近似计算，以便估计误差。一般地这类公式称为插值型数值微分公式。

高等数学（ XJD ）第二章导数与微分返回高等数学（ XAUAT ）高等数学（ XJD ）求导法则基本公式导数导数微分微分微分微分求导方法高阶导数微分法则导数与微分关系图导数与微分关系图.

一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分公式及微分法则四、微分在近似计算中的应用五、小结思考题.

一、一阶线性微分方程及其解法二、一阶线性微分方程的简单应用三、小结及作业 §6.2 一阶线性微分方程.

第五节全微分方程一、全微分方程及其求法二、积分因子法三、一阶微分方程小结. 例如所以是全微分方程. 定义 : 则若有全微分形式一、全微分方程及其求法.

第一节不定积分的概念及其计算法概述一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质及简单计算四、小结.

第五节函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分形式不变性五、微分在近似计算中的应用六、小结.

第二章导数与微分习题课主要内容典型例题测验题. 求导法则求导法则求导法则求导法则基本公式导数导数微分微分微分微分高阶导数高阶微分一、主要内容.

目录上页下页返回结束习题课一、导数和微分的概念及应用二、导数和微分的求法导数与微分第二章.

第九章常微分方程数值解法 §1 、引言. 微分方程的数值解：设方程问题的解 y(x) 的存在区间是 [a,b] ，令 a= x 0 < x 1

一、问题提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分的求解六、微分的应用七、小结.

2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用.

第八章第四节机动目录上页下页返回结束一个方程所确定的隐函数及其导数隐函数的微分法.

第七节函数的微分一、微分概念二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、小结.

高等数学一主讲杨俊演示文稿制作杨俊. 高等数学一第 3 章一元函数微分学的应用第 4 章一元函数积分学及应用第 1 章函数、极限与连续第 2 章导数与微分.

第 4 章数值微积分. 4.1 内插求积 Newton-Cotes 公式第 4 章数值微积分 4.1 内插求积 Newton-Cotes 公式.

2.6 隐函数微分法第二章第二章二、高阶导数一、隐式定义的函数三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数, 由表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此隐函数求导方法.

1 热烈欢迎各位朋友使用该课件！广州大学数学与信息科学学院. 2 工科高等数学广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东.

§5 微分. 一问题的提出 1 面积问题设有一边长为的正方形 2 自由落体问题二微分的定义 1 定义.

2.5 函数的微分一、问题的提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分的求法六、小结.

第二章导数与微分一. 内容要点二. 重点难点三. 主要内容四. 例题与习题.

第二章导数与微分. 二、微分的几何意义三、微分在近似计算中的应用一、微分的定义 2.3 微分.

全微分教学目的：全微分的有关概念和意义教学重点：全微分的计算和应用教学难点：全微分应用于近似计算.

2.3 函数的微分. 四川财经职业学院课前复习高阶导数的定义和计算方法。作业解析：

第三节微分 3.1 、微分的概念 3.2 、微分的计算 3.3 、微分的应用. 一、问题的提出实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.

8.1 不定积分的概念和基本积分公式  原函数和不定积分  基本积分公式表  不定积分的线性运算法则第八章不定积分.

高等数学重庆交通学院（下册总复习）冯春第八章多元函数微分学第九章重积分第十章曲线与曲面积分第十一章无穷级数第七章空间解析几何第十二章微分方程目录.

计算机组成原理.

计算流体力学 (Computational Fluid Dynamics)

一、二阶行列式的引入用消元法解二元线性方程组. 一、二阶行列式的引入用消元法解二元线性方程组.

第三章函数逼近 — 最佳平方逼近.

例题教学目的: 微积分基本公式教学重点: 牛顿----莱布尼兹公式教学难点: 变上限积分的性质与应用.

恰当方程（全微分方程）一、概念二、全微分方程的解法.

一、原函数与不定积分二、不定积分的几何意义三、基本积分公式及积分法则四、牛顿—莱布尼兹公式五、小结

第四章定积分及其应用 4.3 定积分的概念与性质微积分基本公式定积分的换元积分法与分部积分法 4.5 广义积分

第四章　函数的积分学第六节　微积分的基本公式一、变上限定积分二、微积分的基本公式.

第四章一元函数的积分 §4.1 不定积分的概念与性质 §4.2 换元积分法 §4.3 分部积分法 §4.4 有理函数的积分

计算方法第2章数值微分与数值积分 2.1 数值微分.

第5章定积分及其应用基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法

定积分习题课.

第十八章含参变量的反常积分教学目标： 1°使学生掌握含参变量反常积分概念； 2°使学生学会用定义证明含参变量反常积分收敛性。

第四节一阶线性微分方程线性微分方程伯努利方程小结、作业 1/17.

第三节格林公式及其应用（2）一、曲线积分与路径无关的定义二、曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分的求积四、小结.

§5 微分及其应用一、微分的概念实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..

1.5 场函数的高阶微分运算 1、场函数的三种基本微分运算标量场的梯度f ，矢量场的散度F 和F 旋度简称 “三度” 运算。

全微分欧阳顺湘北京师范大学珠海分校

第三章导数与微分习题课主要内容典型例题.

2-7、函数的微分教学要求教学要点.

§5 微分及其应用一、微分的概念实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..

第2章 Z变换 Z变换的定义与收敛域 Z反变换系统的稳定性和H(z) 系统函数.

(六B)双曲型守恒律及可压缩流的高分辨率格式

二.换元积分法 ò ( ) (一)第一类换元积分法 1.基本公式把3x当作u,“d”后面凑成u 2.凑微分调整系数（1）凑系数 C x

§2 求导法则 2.1 求导数的四则运算法则下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .

高等数学西华大学应用数学系朱雯.

第七章偏微分方程 7.1 一般介绍 7.2 一阶双曲型方程的差分求解法 7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法

Partial Differential Equations §2 Separation of variables

第二章函数插值 — 分段低次插值.

第二十二章曲面积分 §1 第一型曲面积分 §2 第二型曲面积分 §3 高斯公式与斯托克斯公式.

(七)不可压缩流的数值方法 7.1 MAC方法 7.2 投影法 7.3 人工压缩性方法 7.4 SIMPLE方法 7.5 其他方法：

定解条件---初始条件 PDE 一般具有无穷多解，为选出一个满足实际物理过程的解，需要从物理过程提出定解条件

第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的几何意义三、基本积分表四、不定积分的性质五、小结思考题.

2019/5/20 第三节高阶导数 1.

第二节函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质三、小结思考题.

热力学第一定律的应用 --理想气体等容过程、定容摩尔热容 --理想气体等压过程、定压摩尔热容.

第三节函数的微分 3.1 微分的概念 3.2 微分的计算 3.3 微分的应用.

第四章　函数的积分学第七节　定积分的换元积分法　　　与分部积分法一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法.

教学大纲（甲型，54学时）教学大纲（乙型， 36学时）

《偏微分方程》第一章绪论第一章绪论 1.1.

第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质小结、作业 1/22.

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1 （三）偏微分方程的数值离散方法 3.1 有限差分法 3.2 有限体积法 ( 有限元，谱方法，谱元，无网格，有限解析，边界元，特征线）

2 3.1 有限差分法模型方程的差分逼近差分格式的构造差分方程的修正方程差分方法的理论基础守恒型差分格式偏微分方程的全离散方法

模型方程的差分逼近

差分格式的构造

差分方程的修正方程差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。 Warming-Hyett 方法：差分方程 (2) 写成算子的形式：

差分方程的修正方程 ( 续 )

7

差分方法的理论基础相容性，稳定性，收敛性等价性定理 Fourier 稳定性分析

差分方法的理论基础（续） Fourier (Von Neumann) 稳定性分析

差分方法的理论基础（续） Fourier (Von Neumann) 稳定性分（续）称为 CFL 条件 (Courant, Friedrichs, Levy)

守恒型差分格式流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：定义

守恒型差分格式（续）守恒性质：非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的 “ 离散守恒律 ” 。

守恒型差分格式（续）守恒型差分格式的 Lax-Wendroff 定理：如果守恒型差分格式是和守恒律相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。用途 : ( 加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用例如： Lax-Friedrichs 格式， Lax-Wendroff 格式， Mac Cormack 格式

偏微分方程的全离散方法对差分格式的一般要求： – 有精度、格式稳定、求解效率高特殊要求 – 物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性 ( 正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等 ) 主要指非定常方程的时间离散

偏微分方程的全离散方法 ( 续）两层格式 –Crank-Nicolson 格式、 P-C 格式、 Lax- Wendroff 格式、 MacCormack 格式 –Runge-Kutta 方法 – 时空全守恒：如 Godunov 格式、 central- upwind 格式、 CESE 方法多层格式 –Leap-Frog 格式、 Adams-Bashforth 格式、后三点隐格式

两层格式 Crank-Nicolson 格式 Predictor-Corrector 格式 Lax-Wendroff 格式 Mac Cormack 格式 Runge-Kutta 方法

两层格式 (cont. ） Lax-Wendroff 格式一步 LW 格式

两层格式 (cont. ） Lax-Wendroff 格式两步 LW 格式常系数 Jacobian 时与单步 LW 等价。但计算更简单，不涉及矩阵相乘。

两层格式 (cont. ） Mac Cormack 格式 (1969) 两步格式比 LW 更简单，不需要计算函数在半点上的值。 LW 两步格式和 MC 各式的缺点：定常解的误差依赖于时间步长。

20 Mac Cormack 格式的构造

三层格式 Leap-Frog 格式 Adams-Bashforth 格式

22 第二课后阅读提示傅德薰《计算流体力学》， 3.1 – 3.3 水鸿寿《一维流体力学数值方法》 3.1 《 Computational Methods for Fluid Dynamics 》, Ferziger and Peric, Springer Chap. 6

23 作业 2 1. 用 Fourier 法分析节中 Crank-Nicolson 格式的稳定性。 2. 分析前面节中 Mac Cormack 格式是几阶精度。

有限体积法出发方程为积分型守恒方程（直角坐标、柱坐标、球坐标）以控制体为离散量计算体积分和面积分需要适当的插值公式和积分公式 (quadrature formula) 适用于任意形状的网格，复杂几何形状缺点：难以构造大于二阶以上的格式

定常守恒型方程和控制体

面积分的逼近面积分用积分点的值表示 (quadrature) 积分点的值用 CV 的值表示 (interpolation) 对于 Simpson 公式, 对积分点的插值需要四阶精度

体积分的逼近当被积函数为某种型函数时，可以得到精确的积分，逼近精度取决于型函数的精度。

体积分的逼近四阶精度： 2D 直角坐标网格最后一式可以四阶精度逼近 3D 的面积分

插值和微分积分点的函数值和其法向梯度 1st UDS: 取上风点的值

30 插值 2nd order: 向积分点线性插值等价于中心差分 (CDS)

31 插值当积分点的函数是线性插值时 Second order

32 插值 QUICK (quadratic upwind interpolation for convective kinematics) 插值三阶精度，但积分（差分）往往只有二阶精度。

33 插值高精度： N 阶精度的 quadrture 需要 N-1 阶多项式插值公式。界面上导数可以用插值公式的微分求出。

有限体积法的边界条件用边界条件替代面积分 – 入口：通常给定对流通量 (mass, momentum, energy, etc.) – 壁面和对称面：通量为零 – 边界上函数值给定：和内部 CV 的值共同构建边界上的导数

35 FV 例子

守恒律的有限体积方法 Godunov 格式

37

Godunov 方法的思想

39 一阶迎风格式 (CIR 格式 )

40 用 Godunov 思想说明 CIR 格式 =Godunov 格式

41

42 Riemann 解图示

43

D Euler 方程组的 Godunov 格式 Godunov 格式是基于积分形式的方程组, 间断关系自动满足，不需要另外考虑间断线上的间断关系

45 移动网格上的积分回路

46 移动网格上的 Godunov 格式

47 固定网格上的 Godunov 格式

48 Lagrange 网格上的 Godunov 格式

49 Euler 方程组的 Riemann 问题的解理想气体的 5 种解

50

51 二维 Euler 方程组的 Riemann 问题

52

53 仅是局部化的 1D RP

54 第 3 课后阅读提示傅德薰《计算流体力学》， 6.3 水鸿寿《一维流体力学数值方法》 Godnov 格式一节《 Computational Methods for Fluid Dynamics 》, Ferziger and Peric, Springer Chap. 4

55 作业 3 傅《书》习题傅《书》习题 3-12.