换元积分法 一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法
一、第一类换元法 例1例1 原因在于被积函数 cos 2x 与公式 中的被 积函数不一样. 如果令 u=2x ，则 cos2x=cos u ， d u=2dx ， 从而 所以有 ？ 分析
综合上述分析，此题的正确解法如下：
解
定理 5.2 证 依题意有 即有又由复合函数微分法可得
根据不定积分的定义，则有 公式 (1) 称为不定积分的第一换元积分公式，应用 第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积 分法.
例 2 求 解
例 3 求 解
用第一换元积分法求不定积分的步骤是：
上述过程可表示为
例 4 求 解
还应注意到，在换元 — 积分 — 还原的解题过程中， 关键是换元，若在被积函数中作变量代换 还需 要在被积表达式中再凑出 即 ，也就是 ， 这样才能以 u 为积分变量作积分，也就是所求积分化为 在上述解题过程中 u 可不必写出，从这个意义上讲， 第一换元积分法也称为 “ 凑微分 ” 法.
例 5 求 解
例 6 求 解
例 7 求 解
例 8 求 解
例 9 求 解
用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公式是 十分必要的，以下是凑微分公式 ( 在 下列各式中， a ， b 均为常数，且 ) :
例 10 求 解
例 11 求 解
例 12 求 解
类似地，有
例 13 求 类似地，有 解
第一换元积分法还适合求一些简单的三角有理式 的积分. 如计算形如： 的积分，可分两种情况：
例 14 求 解
例 15 求 解
还需说明的是，计算某些积分时，由于选择不同 的变量代换或不同的凑微分形成，所以求出的不定积 分在形式上也可能不尽相同，但是它们之间至多只相 差一个常数项，属于同一个原函数族.
例 16 求 解法 1 解法 2 解法 3
二、第二类换元积分法 例 17 求 解
一般的说，若积分 不易计算可以作适当的 变量代换 ，把原积分化为 的形 式而可能使其容易积分. 当然在求出原函数后， 还要 将 代回. 还原成 x 的函数，这就是第二换元 积分法计算不定积分的基本思想.
定理 5.3
证 由复合函数的求导法则以及反函数的求导公式，有 这就说明了 是的 f(x) 原函数.
例 18 求 解
例 19 求 解
第二换元积分法求不定积分时，可按以下步骤进行
例 20 求 解
ax t
例 21 求 解
a x t
例 22 求 解
a x t
例 20— 例 22 中的解题方法称为三角代换法或三角 换元法. 一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如 下情形：
补充的积分公式：