§5 微分
是 x 的函数. 如果给边长 x 一个增量 的线性部分 和 的高阶部分 ( ) 2. 因 一、微分的概念 由两部分组成 : S = x 2 先考察一个具体问题. 设一边长为 x 的正方形, 相应地正方形面积的增量 它的面积
的高阶无穷小量, 即以 为边长的小 正方形. 此, 当边长 x 增加一个微小量 时, 可用 的线性部分来近似. 由此产生的误差是一个关于 再如： 设函数 在点处的增量为此时函数 的增量 当很小时， 问题：对于一般的函数它的增量是否也可以用 的线性函数来逼近呢？ 这个线性部分是什么 ? 如何求？
可以表示成 定义 1 设函数 如果增量 可微, 并称 为 f 在点 处的微分, 记作 其中 A 是与 无关的常数, 则称函数 f 在点 由定义, 函数在点 处的微分与增量只相差一个 关于 的高阶无穷小量, 而 是 的线性函数.
于是 定理 5.10 函数 在点 可微的充要条件是 在 证 ( 必要性 ) 如果 在点 可微, 据 (1) 式有 是 的线性主部. 点 可导, 且
即 在点 可导, 且 ( 充分性 ) 设 在点 处可导, 则由 的有限增量 公式 说明函数增量 可 且 表示为 的线性部分, 与关于 的高 阶无穷小量部分 之和. 所以 在点 可微, 微分概念的几何解释, 如图 :
它是点 P 处切线相 在点 的增量为 而微分是 应于 的增量. 当 很小时, 两者之差 相比于 将是更小的量 ( 高阶无穷小 ). 更由于 P Q T ） Q’ R
P Q T ） QR 故若 则得到 的高阶无穷小量. 当 很小时，在点 的附近，可用切线段近似代替 曲线段
若函数 在区间 上每一点都可微, 则称 是 上 它既依赖于, 也与 有关. 的可微函数. 习惯上喜欢把 写成, 于是 (3) 式可改写成 这相当于 的情形, 此时显然有 (4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看
所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面 (5) 积分学部分中. 成函数的微分与自变量的微分之商, 即
微分基本公式导数基本公式 求法 : 计算函数的导数, 再乘以自变量的微分.
由导数与微分的关系, 可方便得出微分运算法则 : 二、微分的运算法则
结论 : 微分形式的不变性 微分形式不变性
的计算中, 用了一阶微分形式不变性. 解 例 2 求 的微分.
例 3. 解法 1: 利用先求导数再求微分的方法 解法 2: 利用微分形式不变性.
例 4 求 的微分. 解
三、高阶微分 或写作 称为 f 的二阶微分. 则当 f 二阶可导时, dy 关于 x 的微分为 若将一阶微分 仅看成是 的函数, 注 由于 与 x 无关, 因此 x 的二阶微分 三者各不相同, 不可混淆.
当 x 是中间变量时, 二阶微分 依次下去, 可由 阶微分求 n 阶微分 : 对 的 n 阶微分均称为高阶微分. 高阶微分不 具有形式不变性. 当 x 是自变量时, 的二 阶微分是 为
例5例5 解法一 不一定为 0, 而当 x 为自变量时, 它比 (6) 式多了一项 当 时,时, 由 (6) 得
解法二 依 (7) 式得 如果将 漏掉就会产生错误.
四、微分在近似计算中的应用 1. 函数值的近似计算 (9) 式的几何意义是当 x 与 x 0 充分接近时, 可用点 故当 很小时, 有 由此得 记, 即当 时， (8) 式可改写为
公式 (9) 分别用于 sin x, tan x, ln(1+x), e x ( x 0 = 0 ), 例 6 试求 sin 33 o 的近似值 ( 保留三位有效数字 ). 解 由公式 (9) 得到 处的切线近似代替曲线, 这种线性近 可得近似计算公式 ( 试与等价无穷小相比较 ): 似的方法可以简化一些复杂的计算问题.
2. 误差的估计 设数 x 是由测量得到的, y 是由函数 经过 果已知测量值 x 0 的误差限为, 即 算得到的 y 0 = f (x 0 ) 也是 y = f (x) 的一个近似值. 如 差, 实际测得的值只是 x 的某个近似值 x 0. 由 x 0 计 计算得到. 由于测量工具精度等原因, 存在测量误
例 7 设测得一球体直径为 42cm, 测量工具的精度 则当很小时, 量 y 0 的绝对误差估计式为 : 相对误差限则为 而 的为 y 0 的绝对误差限, 为 0.05cm. 试求以此直径计算球体体积时引起的
解 以 d 0 = 42, 计算的球体体积和误差估 绝对误差限和相对误差限. 计分别为 : ‰.‰.