Company LOGO 第四章 不定积分 § 4.1 不定积分的概念与性质

2 第一节 不定积分的概念与性质 一、不定积分概念 三、基本积分公式 二、不定积分的性质

3 定义 4.1 设函数 y = f (x) 在某区间上有定义， 如果存在函数 F (x) ，对于该区间上任一点 x ， 使 F (x)= f (x) 或 dF(x) = f (x)dx ， 则称函数 F (x) 是已知函数 f (x) 在该区间上的一 个原函数. 一、不定积分概念 1. 原函数

4 例如，因为在区间 (  ,   ) 内有 (x 3 ) = 3x 2 ， 所以 x 3 是 3x 2 在区间 (  ,   ) 内一个原函数， 又因为 (x 3 +1)= 3x 2 ， ( x 3 + C ) = 3x 2 ( C 为任意常数 ) ， x 3 + C 都是 3x 2 在区间 (  ,   ) 内的 原函数. 所以 x ， 若函数 F(x) 是函数 f(x) 的一个原函数，则： (1) 对任意常数 C ，函数族 F(x)+C 也是 f(x) 的原函数。 (2) 函数 f(x) 的任意两个原函数之间仅差一个常数。 一、不定积分概念

5 一般地， 若 F(x) 是 f (x) 在某区间上的一个原函数， 结论： F(x) + C 是 f (x) 在该区间上的全部原函数. 则函数族 F(x) + C ( C 为任意常数 ) 都是 f (x) 在该 区间上的原函数. 一、不定积分概念

6 定义 4.2 若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个 原函数， 则 F(x) + C ( C 为任意常数 ) 称为 f (x) 在该区 间上的不定积分， 即 其中符号 称为积分号， f(x) 称为被积函数， f (x) dx 称为被积表达式，或称被积分式， x 称 为积分变量， C 称为积分常数. 2. 不定积分 一、不定积分概念

7 例 1 求下列不定积分 所以得 解：（ 1 ）被积函数 因为 所以得 （ 2 ）被积函数 因为 一、不定积分概念

8 例 2 求不定积分 解：注意到 所以得 由此得 一、不定积分概念

9 例 3 求不定积分 解 当 x > 0 时，所以 当 x < 0 时， 所以 合并以上两种情况，当 x  0 时，得 一、不定积分概念

10 例 4. 设曲线通过点 (2,5), 且在 x 处的切线斜率 k=2x 求此曲线的方程. 解:解: 所求曲线过点 ( 2, 5 ), 故有 因此所求曲线为 一、不定积分概念

11 不定积分的几何意义 若 y = F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 则称 y = F (x) 的图形是 f (x) 的积分曲线. 因为不定积分 是 f (x) 的原函数的一般表达式， 所以它对应的图形 是一族积分曲线，称它为积分曲线族. 一、不定积分概念

12 积分曲线族 y = F (x) + C 的特点是： ( 1 ) 积分曲线族中任意一条曲线， 可由其中某一条 ( 例如，曲线 y = F(x) ) 沿 y 轴平行移动 | C | 单位而得到. 当 C > 0 时，向上移动；当 C < 0 时，向下移动； ( 2 ) 由于 [F (x) + C] = F (x) = f (x) ， 即横坐标 相同点 x 处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相 等， 都等于 f (x) ， 从而使相应点的切线相互平行 ( 如 图 ) ． 一、不定积分概念

13 x y O y = f (x) y = f (x) + C 一、不定积分概念

14 二、不定积分的性质 性质 1 求不定积分与求导数或求微分互为可逆运算

15 性质 2 被积函数中的不为零的常数因子可以提 到积分号外， ( k 为不等于零的常数 ) 证 类似性质 1 的证法， 二、不定积分的性质

16 性质 3 两个函数和的不定积分等于各个函数 不定积分的和， 性质 1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即 性质 1 称为分项积分. 二、不定积分的性质

17 三、基本积分公式

18 三、基本积分公式

19 三、基本积分公式

20 例 5 、求不定积分 解： 三、基本积分公式

21 例6、求例6、求 解： 例7、求例7、求 三、基本积分公式

22 例 8 、求 解： 例 9 求 解： 三、基本积分公式

Company LOGO 第四章 不定积分 § 4.2 换元积分法

24 第二节 换元积分法 一、第一类换元积分法 ( 或称凑微分法 ) 一、第一类换元积分法 ( 或称凑微分法 ) 二、第二 类换元积分法 二、第二 类换元积分法

25 一、第一换元法 ( 或称凑微分法） 引例 ( 因为 d(3x) = 3dx ). 令 u = 3x ，则上式变为

26 那么， 也就是说上述结果正确. 一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

27 第一换元法 且 u =  (x) 为可微函数， 则① 证 已知 F (x) = f  (x) ， u =  (x) ，则 所以 一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

28 用上式求不定积分的方法称为第一换元法或称 凑微分法． 第一类换元积分法的实质是复合函数求导公式 的逆用。 一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

29 例 1 求 解： 令 于是 一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

30 例 2 求 解： 设 一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

31 例 3 求 解 一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

32 例 4 求 解：上式与基本积分表中 相似， 令 ， 一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

33 例 5 求 ( a >0 常数 ). 解 上式与基本积分表 一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

34 例 6 求 解凑微分，即 则 一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

35 例 7 求 ( a > 0 常数 ). 解 一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

36 例 8 求 解:解: 一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

37 解法 2 一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

38 解法 2 同样可证 或 一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

39 例 9 求 解 一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

40 引例 求 解 为了去掉被积函数中的根号， 则 dx = 2tdt ， 于是有 二、第二类换元积分法

41 回代变量，得 二、第二类换元积分法

42 第二类换元法 设函数 f (x) 连续， 函数 x =  (t) 单调可微， 且  (t)  ， 二、第二类换元积分法

43 例 10 求 解：被积函数含根式为了去掉根号， 于是有 二、第二类换元积分法

44 三角代换 例 11 求 解 ≤ ≤ 则 dx = acost dt ， 于是有 二、第二类换元积分法

45 把变量 t 换为 x. 为简便起见， 画一个直角三角 形，称它为辅助三角形，如图. t a 于是有 二、第二类换元积分法

46 例 12 求 解 则 dx = asec 2 tdt ， 于是有 二、第二类换元积分法

47 作辅助三 角形， t a x 其中 C = C 1 - lna. 二、第二类换元积分法

48 例 13 解 令 x = a sec t ， 则 dx = a sec t tan t dt ， 于是有 二、第二类换元积分法

49 作辅助三角 形， a x t 其中 C = C 1 – lna. 二、第二类换元积分法

50 作三角代换 x = a sin t 或 x = a cos t ； 作三角代换 x = a tan t 或 x = a cot t ； 作三角代换 x = a sec t 或 x = a csc t. 二、第二类换元积分法

51 常用基本积分公式的补充

52 常用基本积分公式的补充

Company LOGO 第四章 不定积分 § 4.3 分部积分法

54 引例 求 解

55 设函数 u = u(x) ， v  = v(x) 具有连续导数： u = u(x) ， v  = v (x) ， 根据乘积微分公式 d(uv) = udv ++ vdu ， 于是有 即 一、分部积分法

56 例 1 求 解 一、分部积分法

57 例 2 求 解 对新积分继续用分部积分法，得 代入原式中，得 一、分部积分法

58 例 3: 如何求 提示 : 令 则 原式 一、分部积分法

59 例 4 求 解 一、分部积分法

60 例 5 求 解 一、分部积分法

61 例 6 求 解:解: 原式 = 一、分部积分法

62 例 7 求 解 于是有 即 一、分部积分法

63 例 8 求 解：被积函数中有根式，先用第二类积分法去掉 根式，则 设 一、分部积分法

64 把被积函数视为两个函数之积, 按 “ 反对幂指三 ” 的 顺序, 前者为 后者为 反 : 反三角函数 对 : 对数函数 幂 : 幂函数 指 : 指数函数 三 : 三角函数