李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 运 动 学 (I) 大班课

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 内 容 1. 质点、参考系、直角坐标系 ①轨迹、位置矢量、运动方程、位移矢量、路程标量 2. 速度矢量、加速度矢量 ①从平均到瞬时 3. 直线运动 ①求导数：从位移到速度，从速度到加速度 ②求积分：从速度到位移，从加速度到速度 ③数学补充：微积分运算 4. 合成矢量运动 ①抛体运动 ②圆周运动 ③数学补充：矢量运算

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 思 路 1. 物体的质点抽象 – 形成质点概念：分情况 2. 物体运动的描写 – 直角坐标系、轨迹、位置矢量、运动方程、位移矢量、数学记号严格要求 3. 构建速度矢量 – 详解其定义极限过程 4. 构建加速度矢量 – 注重对其方向的判断 5. 从直线运动学微积分 – 导数、积分、微分（强调这是关键核心） 6. 运动的合成与分解 – 运动的矢量内涵、抛体运动、圆周运动

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 物体的质点抽象 参考系 直角坐标系

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 质点概念 情况 1 ：距离远，细节不重要 情况 2 ：球对称

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 情况 3 ：平动（无转动）， 形状不重要 任取代表点 A 或 B

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 物体运动的描写 直角坐标系 轨迹曲线： y = y(x) ， or z = z(x, y) 位置 ( 坐标 ) 矢量： r(t), r(t +  t), etc. 运动方程： r = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k 位移矢量：  r = r(t +  t) – r(t) 路程标量： s(t) Q P O y x P Q O s(t) z x y O P

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 笛卡尔坐标系 Cartesian coordinates, 法语： les coordonnées cartésiennes The adjective Cartesian refers to the French mathematician and philosopher René Descartes (who used the name Cartesius in Latin). The idea of this system was developed in 1637 in writings by Descartes and independently by Pierre de Fermat, although Fermat also worked in three dimensions and did not publish the discovery.

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 数学记号约定 矢量：粗体或带箭头帽子 – 书写建议： 单位矢量： (i, j, k) —— x, y, z 轴， – 其他书上亦常用：

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 速度矢量 时间间隔：  t = t 2 – t 1 瞬时： dt = lim(  t  0) 平均速度： ( 瞬时 ) 速度：定义为极限 – 作为一个矢量：大小？方向？ y x P Q O s(t) 切向 P Q

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 加速度矢量 时间间隔：  t = t 2 – t 1 瞬时： dt = lim(  t  0) 同理，平均加速度： ( 瞬时 ) 加速度： – 大小？方向？ vyvy vxvx 速度曲线：脑补 ! O

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 数学记号约定 平均： 导数：

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 从直线运动学微积分 x

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 从直线运动学微积分 — 导数 从坐标到速度 从速度到加速度 斜率！

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 求速度？加速度？ x

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 [ 例题 ]

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 从直线运动学微积分 — 积分 从速度到坐标 从加速度到速度 面积！

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 [ 例题 ] 一质点沿 x 轴作直线运动，其 v - t 曲线如图所示，如 t = 0 时，质点位于坐标原点，求： t = 4s 时，质点在 x 轴上的 位置。 v/(m·s -1 ) t/s

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 [ 例题 ] 一质点由静止开始作直线运动，初始加速度 为 a 0 ，以后加速度均匀增加，每经过时间 τ 后增加 a 0 ， 求经过时间 t s 后质点的速度和运动的距离.

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 核心微分公式

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 牛顿和莱布尼茨的贡献 牛顿 - 莱布尼茨公式，也被称为微积分基本公式 – 定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系 莱布尼兹和牛顿从不同思路各自独立地发展了微积分 牛顿发现微积分比莱布尼兹早若干年，可是很晚才出版 莱布尼茨采用的符号系统被普遍采纳沿用至今 微积分的发明权成了历史上著名的名誉争夺公案

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 牛顿与莱布尼茨之争，演变成了英国科学界与德 国科学界、乃至与整个欧洲大陆科学界的对抗。英国 数学家此后在很长一段时间内不愿接受欧洲大陆数学 家的研究成果。他们坚持教授、使用牛顿那套落后的 微积分符号和过时的数学观念，使得英国的数学研究 停滞了一个多世纪，直到 1820 年才愿意承认其他国家 的数学成果，重新加入国际主流。 摘自《科学史上著名公案 —— 牛顿 - 莱布尼茨之争》

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 合成运动：抛体 B A h (1) S max = ？ (2) O r = x i + y j = (x, y) ？ (3) (x 0, h)

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 抛体运动的矢量表达

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 这是什么运动？

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 匀速圆周运动  角位移 角速度 角加速度？

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 构造三维视角 v =  X R a = ?a = ?a = ?a = ?  k 定义角速度矢量   k O  r v r0r0 R a z z0z0

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 分解运动 分解不是唯一的 且与坐标系的选择和种类有关 越简单的运动形式越基本、越重要！ 直线：匀速直线，匀加速， … 抛体：自由落体，斜抛， … 圆周：分解后是匀速的？ 是匀加速的？ … 螺旋线运动 = 圆周运动 + 直线运动 = 直线运动 + 直线运动 + 直线运动

李鹏 陶军 张软玉 朱励霖 结束