§1 导数的概念 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §5 微分

第五章 导数与微分

教学内容：微分的概念，微分的运算法则，高阶 微分， 微分在近似计算中的应用． 教学重点：掌握微分的概念，要讲清微分是全增 量的线性主部． 教学难点：高阶微分． 教学要求：掌握微分的概念，微分的运算法则， 一阶微分形式的不变性． §5 微 分

返回 后页 前页 一、微分的概念 §5 微 分 若在有限增量公式 中删 去 高阶无穷小量项, 则得 关于 的一个线性近 似式, 这就是 “ 微分 ” ; 其中的线性因子 即为 四、微分在近似计算中的应用 三、高阶微分 二、微分的运算法则 导数. 所以, 微分和导数是一对相辅相成的概念. 返回

后页 前页 微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的 数. 如果给边长 x 一个增量, 正方形面积的增量 的线性部分 和 的高阶部分 ( ) 2. 因 此, 当边长 x 增加一个微小量 时, 可用 一、微分的概念 由两部分组成 : 设一边长为 x 的正方形, 它的面积 S = x 2 是 x 的函 线性部分, 请先看一个具体例子.

返回 后页 前页 的线性部分来近似. 由此产生的误差是一个关于 的高阶无穷小量, 即以 为边长的小 正方形 ( 如图 ).

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返回 后页 前页 可以表示成 定义 5 设函数 如果增量 可微, 并称 为 f 在点 处的微分, 记作 其中 A 是与 无关的常数, 则称函数 f 在点 由定义, 函数在点 处的微分与增量只相差一个 关于 的高阶无穷小量, 而 是 的线性函数.

返回 后页 前页 由定义知 :

返回 后页 前页 于是 定理 5.10 函数 在点 可微的充要条件是 在 点 可导, 且 证 ( 必要性 ) 如果 在点 可微, 据 (1) 式有 更通俗地说, 是 的线性近似.

返回 后页 前页 即 在点 可导, 且 ( 充分性 ) 设 在点 处可导, 则由 的有限增量 公式 说明函数增量 可 且 表示为 的线性部分, 与关于 的高 阶无穷小量部分 之和. 所以 在点 可微,

返回 后页 前页 注：①定理表明，可微与可导是等价的，而且 ， 或， 或 ②对于自变量 ，有 ，则 ； 如果 ，则有 ； 因此导数也通常被 为微商； 称

返回 后页 前页 ③如果函数 在点 可微，则 或写为 ； 事实上，当 时，因为 即 ，表明 也是 的主要部分 又 是 的线性函数，通常称微分 是函数增量 的线性主部 ；

返回 后页 前页 ④由 ，当 很小时，有 ； 即 或 其意义在于：在点 的附近，可以近似的用点 另一方面上式可以近似计算函数的增量 ，或 近似计算 的附近的点的函数值； 的切线段代替曲线段研究问题。利用

返回 后页 前页 它是点 P 处切线相 在点 的增量为 而微分是 应于 的增量. 当 很小时, 两者之差 相比于 将是更小的量 ( 高阶无穷小 ). 更由于 微分概念的几何解释, 示于下图 :

返回 后页 前页 故若 则得到 的高阶无穷小量. 若函数 在区间 上每一点都可微, 则称 是 上 它既依赖于, 也与 有关. 的可微函数.

返回 后页 前页 (4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看 所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面 习惯上喜欢把 写成, 于是 (3) 式可改写成 这相当于 的情形, 此时显然有 (5) 积分学部分中. 成函数的微分与自变量的微分之商, 即

返回 后页 前页 P Q ） Q' Q' T R 微分的几何意义 如图所示

返回 后页 前页 例1例1

返回 后页 前页 由导数与微分的关系, 可方便得出微分运算法则 : 故运算法则 4 又可以写成 二、微分的运算法则

返回 后页 前页 解 它在形式上与 ( 4 ) 式完全一样, 不管 是自变量还 例 2 求 的微分. 立. 这个性质称为 “ 一阶微分形式不变性 ”. 是中间变量 ( 另一个变量的可微函数 ), 上式都成

返回 后页 前页 的计算中, 用了一阶微分形式不变性. 例 3 求 的微分. 解

返回 后页 前页 求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1. 基本初等函数的微分公式

返回 后页 前页 2. 函数和、差、积、商的微分法则

返回 后页 前页 导数与微分来源不同，数学结构各异，是微分 学的两个基本概念，微分在运算上更灵活一些． 微分的运算法则 1. 四则运算法则

返回 后页 前页 2. 复合运算法则 3. 一阶微分形式不变性 此即一阶微分形式不变性．

返回 后页 前页 例4例4 解 例5例5 解

返回 后页 前页 例6例6 解一两边同时求微分得

返回 后页 前页 两边对 x 求导，有 由上面的例子还可以看出，求导数与求微分的方法 在本质上并没有区别，因此把两者统称为 微分法 解二两边取对数得

返回 后页 前页 三、高阶微分 或写作 称为 f 的二阶微分. 则当 f 二阶可导时, dy 关于 x 的微分为 若将一阶微分 仅看成是 的函数, 注 由于 与 x 无关, 因此 x 的二阶微分 三者各不相同, 不可混淆.

返回 后页 前页 当 x 是中间变量时, 二阶微分 依次下去, 可由 阶微分求 n 阶微分 : 对 的 n 阶微分均称为高阶微分. 高阶微分不 具有形式不变性. 当 x 是自变量时, 的二 阶微分是 为

返回 后页 前页 例7例7 解法一 不一定为 0, 而当 x 为自变量时, 它比 (6) 式多了一项 当 时,时, 由 (6) 得

返回 后页 前页 解法二 依 (7) 式得 如果将 漏掉就会产生错误.

返回 后页 前页 例7例7 错解 请同学们回答：上述解法错误的原因是什么？

返回 后页 前页 四、微分在近似计算中的应用 1. 函数值的近似计算 (9) 式的几何意义是当 x 与 x 0 充分接近时, 可用点 故当 很小时, 有 由此得 记, 即当 时， (8) 式可改写为

返回 后页 前页 公式 (9) 分别用于 sin x, tan x, ln(1+x), e x ( x 0 = 0 ), 处的切线近似代替曲线, 这种线性近 可得近似计算公式 ( 试与等价无穷小相比较 ): 似的方法可以简化一些复杂的计算问题.

返回 后页 前页 常用近似公式 证明

返回 后页 前页 例 8 试求 sin 33 o 的近似值 ( 保留三位有效数字 ). 解 由公式 (9) 得到

返回 后页 前页 2. 误差的估计 设数 x 是由测量得到的, y 是由函数 经过 果已知测量值 x 0 的误差限为, 即 算得到的 y 0 = f (x 0 ) 也是 y = f (x) 的一个近似值. 如 差, 实际测得的值只是 x 的某个近似值 x 0. 由 x 0 计 计算得到. 由于测量工具精度等原因, 存在测量误

返回 后页 前页 例 9 设测得一球体直径为 42cm, 测量工具的精度 则当很小时, 量 y 0 的绝对误差估计式为 : 相对误差限则为 而 的为 y 0 的绝对误差限, 为 0.05cm. 试求以此直径计算球体体积时引起的

返回 后页 前页 解 以 d 0 = 42, 计算的球体体积和误差估 绝对误差限和相对误差限. 计分别为 : ‰.‰.

返回 后页 前页 小结 微分学所要解决的两类问题 : 函数的变化率问题 函数的增量问题 求导数与微分的方法, 叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫做 微分学. 导数与微分的联系 : ★ ★ 导数的概念 微分的概念

返回 后页 前页 ★ 导数与微分的区别

返回 后页 前页 近似计算的基本公式

返回 后页 前页 思考题

返回 后页 前页 思考题解答 说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出 线性主部而得到的，导数是从函数变化率问 题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限 ，它们是完全不同的概念.

返回 后页 前页 作 业作 业 第 116 页 A 类： 1 ， 2 单号， 4 （ 1 ）（ 4 ）； B 类： 6 ；