8.1 不定积分的概念和基本积分公式 原函数和不定积分 基本积分公式表 不定积分的线性运算法则 第八章 不定积分
例 定义 1 ： 一、原函数与不定积分的概念
原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
关于原函数的说明： （ 1 ）若 ，则对于任意常数 ， （ 2 ）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 证
根据定义，如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则 其中 C 是任意常数，称为积分常数。 二、不定积分 定义 2 函数 f(x) 的所有原函数称为 f(x) 的不定积分，
不定积分的相关名称： ——— 叫做积分号， f(x) —— 叫做被积函数， f(x)dx — 叫做被积表达式， x ——— 叫做积分变量。
例 1 ． 例 2 ． 例 3 ． 解：
O1 x y y=x 2 函数 f(x) 的原函数的图 形称为 f(x) 的积分曲线。 C1C1 y=x 2 +C 1 C2C2 y=x 2 +C 2 C3C3 y=x 2 +C 3 函数 f(x) 的积分曲线也 有无限多条。函数 f(x) 的不 定积分表示 f(x) 的一簇积分 曲线，而 f(x) 正是积分曲线 的斜率。 三、不定积分的几何意义
例 4 ．求过点 (1, 3) ，且其切线斜率为 2x 的曲线方程。 解：设所求的曲线方程为 y f(x) ，则 y f (x) 2x ， 即 f(x) 是 2x 的一个原函数。 因为所求曲线通过点 (1, 3) ， 故 3 1 C ， C 2 。 于是所求曲线方程为 yx22。yx22。 22 11 O12 x 22 11 1 2 y y x 2 +2yx2yx2 (1, 3) ． 所以 y=f(x) x 2 C 。
实例 启示能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式. 四、 基本积分公式
基本积分表基本积分表 是常数 ); 说明： 简写为
例 求积分 解 根据积分公式（ 2 ）
例1．例1． 例2．例2． 例3．例3．
例4．例4．
例5．例5．
例6．例6． 例7．例7． 例8．例8． 例9．例9． 例 10 ．
例 11 ． 例 12 ．
解：因为总成本是总成本变化率 y 的原函数，所以 已知当 x 0 时， y 000 ， 例 13 ．某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成 成本为 1000 元，求总成本与日产量的函数关系。 因此有 C =1000 ，
证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 五 、 不定积分的性质
例 14 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
解 所求曲线方程为
基本积分表 (1) 不定积分的性质 原函数的概念： 不定积分的概念： 求微分与求积分的互逆关系 小结 作业： P181 ： 1,2,3,4,5(1) ~ (16).
思考题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？