水 力 学 主讲人：洪 梅 电话：13620781557 吉林大学环境与资源学院环境工程系

第一章 绪 论 吉林大学环境与资源学院

推荐教材： 黄儒钦，《水力学教程》，西南交通大学出版社，2006年第三版 主要参考书： 1、刘鹤年编，《水力学》，中国建筑工业出版社，1998年 2、柯葵编，《水力学》，同济大学出版社，1998年 3、蒋觉先主编，《水力学》，高等教育出版社，1993年 4、郭振仁著，《污水排放工程水力学》，科学出版社，2001年

一.课程的性质和任务 （一）课程地位 水力学是一门重要的专业基础课程，它是连接前期基础课程和后续专业课程的桥梁。课程的学习将有利于力学基础知识的巩固与提高，培养分析、解决实际问题的能力，为专业课程的学习打下坚实基础。 力学 基础课程 水力学 专业基础课程 环境工程学科 有关专业课程 吉林大学环境与资源学院

（二）水力学研究的对象 1.水力学的定义： 水力学是研究液体处于静止和运动状态下的力学规律，并探讨运用这些规律解决工程实际问题的一门科学。水力学又是力学的一个分支。 2. 水力学的任务： 研究以水为代表的，液体机械运动规律及其在工程中的应用。 吉林大学环境与资源学院

（三）水力学由以下内容构成 水力学所研究的基本规律：水静力学和水动力学。 水静力学：关于液体平衡的规律，它研究液体处于静止（或相对平衡）状态时，作用于液体上的各种力之间的关系。 水动力学：关于液体运动的规律，研究液体在运动状态时，作用于液体上的力与运动要素之间的关系，以及液体的运动特性与能量转换等。 吉林大学环境与资源学院

二.水力学的发展历史 水力学的发展主要取决于生产发展的需要，是在生产实践中发展起来的，同时也受到社会其它因素的影响. 大禹治水 三大水利工程:都江堰、郑国渠、灵渠 “筑堤束水、以水攻沙” 铜壶滴漏 《算迪》 吉林大学环境与资源学院

铜壶滴漏是我国古代计时器的一种，我国现存最完整的成组型滴搂是元代仁宗延佑三年（公元1316年）铸造，全组由4个安放在阶梯上的漏壶组成，最上层称日壶；第二层称月壶；第三层称星壶；最底下一层称受水壶。 各壶都有铜盖，受水壶铜盖中央插一把铜尺，该铜尺长66.5厘米，尺上刻有12时辰的刻度，自下而上为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。铜尺前插一木制浮剑，木剑下端是一块木板，叫浮舟。水由日壶按次沿龙头滴下，受水壶中的水随时间的推移而逐渐增加，浮剑逐渐上升，从而读出时间。

达·芬奇 －－自由射流、旋涡形成，水跃和连续原理 帕斯卡－－液体中压力传递 牛顿 －－流体内摩擦定律 伯努利 －－水动力学能量方程 浮体定律 古埃及、希腊－－灌溉渠 、水压机 达·芬奇 －－自由射流、旋涡形成，水跃和连续原理 帕斯卡－－液体中压力传递 牛顿 －－流体内摩擦定律 伯努利 －－水动力学能量方程 欧拉－－理想流体运动的微分方程 纳维和斯托克斯－－粘性流体运动的微分方程 谢才公式 吉林大学环境与资源学院

19世纪末以来，雷诺方程、相似理论及量纲分析 、电子计算机 水力学的研究范围 ： 一维流动为主扩展到二维、三维流动； 从等密度流动扩展到变密度、变温度流动； 从单相流动扩展到多相流动； 从主要关心水量扩展到水量水质同等重要。 新的学科分支，如计算水力学、环境水力学、随机水力学、多相流体力学和工业水力学等等 吉林大学环境与资源学院

传统－－水源开发、供水、 灌溉、水力发电、港口建设、围堰和河海防洪、填海工程。 环境工程方面的应用： 供水工程－－管网和渠道中的水力计算 污水处理工程－－污水收集和输送、污水处理、混和、污染物在排放中的稀释和扩散 机电设备－－泵或风机的效率运算 排放水体详细水质模拟的平台－－各种污染物在不同纳污水域(河渠、水库、湖泊、港湾及海洋)中的扩散、混合输移的规律，预报纳污水域中水体受污染的程度 吉林大学环境与资源学院

三.液体的基本特征与连续介质的概念 1.液体的基本特性： 液体与固体的主要区别在于易流动性，而液体与气体的主要区别在于是否具有可压缩性。 因此液体易流动性、不易压缩的特性使液体有许多与固体和气体不同的运动特征。 吉林大学环境与资源学院

2.连续介质的概念 连续介质的概念： 即假设液体是一种连续充满其所占据空间毫无空隙的连续体。 特点：液体中的一切物理量都可以视为空间坐标和时间的连续函数，因此可采用连续函数的分析方法。 长期的生产和科学实验证明：利用连续介质假定所得出的有关液体运动规律的基本理论与客观实际是十分符合的。 因此液体的基本特性是：易流动性、不易压缩、均匀等向的连续介质。 吉林大学环境与资源学院

三.液体的主要物理性质 1.惯性、质量与密度 惯性力：当液体受外力作用使运动状态发生改变时，由于液体的惯性引起对外界抵抗的反作用力。 单位：N 密度：是指单位体积液体所含有的质量。 国际单位：kg/m3 一个标准大气压下，温度为4℃，水密度为1000kg/m3 。 吉林大学环境与资源学院

2. 重力与容重 重力：地球对物体的引力称为重力，或称为重量。 大小为：G＝Mg， g：重力加速度。 液体的容重：是指单位体积液体所具有的重量。 国际单位： N／m3 吉林大学环境与资源学院

3.粘滞性 当液体处在运动状态时，若液体质点之间存在着相对运动，则质点间要产生内摩擦力抵抗其相对运动，这种性质称为液体的粘滞性，此内摩擦力又称为粘滞力。 牛顿内摩擦定律： 流速梯度 或 动力粘滞系数 牛顿内摩擦定律：作层流运动的液体，相互邻近层间单位面积上所作用的内摩擦力（或粘滞力），与流速梯度成正比，同时与液体的性质无关。 吉林大学环境与资源学院

牛顿内摩擦定律的适用条件：层流运动和牛顿液体。 为运动粘滞系数，国际单位：m2/s 牛顿内摩擦定律的适用条件：层流运动和牛顿液体。 粘滞性是产生水头损失的根本原因 吉林大学环境与资源学院

4. 液体的压缩性 压缩性：液体受压后体积要缩小，压力撤除后也能恢复原状，这种性质称为液体的压缩性或弹性。 用体积压缩率或体积模量K来描述液体的压缩性。 为体积压缩系数，单位为m2/N K值越大，表示液体愈不容易压缩。对一般水利工程来说，可认为水不可压缩的。但在有压管道中水击计算时，则必须考虑水的压缩性。 吉林大学环境与资源学院

5. 液体的表面张力 表面张力：自由表面上液体分子由于受两侧分子引力不平衡，使自由面上液体分子受有极其微弱的拉力。 表面张力发生在液气接触的周界、液固接触的周界、不同液体接触的周界，液体内部并不存在。 吉林大学环境与资源学院

凸 下降 凹 上升 毛细现象：液固接触 σ=表面张力 θ = 接触角 ρ = 液体密度 g = 重力加速度 r = 细管半径 表面张力示意图 凹　上升 σ h θ 凸　下降 σ h θ 液固间附着力大于液体的内聚力 液固间附着力小于液体的内聚力

6.汽化压强 汽化压强是指液体汽化和凝结达到平衡时液面的压强。汽化压强随液体的种类和温度的不同而改变。水利工程中的空化现象与液体的汽化压强有关，需要注意。 综上所述，液体的惯性、重力特性和粘滞性对液体运动有重要的影响，而液体的可压缩性、表面张力和汽化压强只有在特殊问题中才需要考虑，请注意区分。 吉林大学环境与资源学院

7.理想液体的概念 在水力学中液体分为理想液体和实际液体。 理想液体：就是把水看作绝对不可压缩、不能膨胀、没有粘滞性、没有表面张力的连续介质。 是否考虑粘滞性：是理想液体和实际液体的最主要差别。 吉林大学环境与资源学院

四、作用于液体上的力 是作用于液体的表面上，并与受作用的表面面积成正比的力 ,如压力,粘滞力 表面力： 按力的作用方式 质量力是指通过液体质量而起作用，其大小与质量成正比的力，如重力、惯性力； 质量力： 若一质量为M的均质液体，作用于其上的总质量力为F，则所受的单位质量力为 ，与加速度有一样的量纲[L/T2] 吉林大学环境与资源学院

单位质量力在各坐标轴上分量　 如果作用在液体上的质量力只有重力， 则　FX＝0，FY＝0，FZ＝－mg 单位质量力　X＝0，　Y＝0，　Z＝－mg/m=－g 单位质量力的单位为m/s2，与加速度单位相同。

五.水力学的研究方法 1.理论分析 2.科学试验 吉林大学环境与资源学院

1.理论分析 经典力学的基本原理： 牛顿的三大定律、动量定律、动能定律 水流运动的基本方程式： 连续性方程、能量方程、动量方程 吉林大学环境与资源学院

2.科学试验 （1）原型观测 （2）模型试验 （3）系统试验 （4）数值模拟 吉林大学环境与资源学院

在野外或水工建筑物现场，对水流运动进行观测，收集第一性资料，为检验理论分析成果或总结某些基本规律提供依据。 （1）原型观测 在野外或水工建筑物现场，对水流运动进行观测，收集第一性资料，为检验理论分析成果或总结某些基本规律提供依据。 吉林大学环境与资源学院

当实际水流运动复杂，而理论分析困难，无法解决实际工程的水力学问题时采用。 （2）模型试验 当实际水流运动复杂，而理论分析困难，无法解决实际工程的水力学问题时采用。 指在实验室内，以水力相似理论为指导，把实际工程缩小为模型，在模型上预演相应的水流运动，得出模型水流的规律性，再把模型试验成果按照相似关系换算为原型的成果以满足工程设计的需要 吉林大学环境与资源学院

在实验室内，小规模的造成某种水流运动，用已进行系统的实验观测，从中找到规律。 （3）系统试验 在实验室内，小规模的造成某种水流运动，用已进行系统的实验观测，从中找到规律。 数理知识 数据处理方法 量纲分析方法 吉林大学环境与资源学院

通过求解水流的运动方程来得到模拟区域内任意时刻任意位置力和运动要素的值。 （4）数值模拟 通过求解水流的运动方程来得到模拟区域内任意时刻任意位置力和运动要素的值。 先进性：采用计算机、流体计算软件等高新技术。 经济性：可给定不同的边界条件，进行大量的模拟，给出足够多的力和运动要素值以进行分析。 吉林大学环境与资源学院

本章小结 1. 水力学的定义。 2．水力学的任务：研究以水为代表的机械运动规律及其在工程中的应用。 3．液体的基本特性：易流动性、不易压缩、均匀等向的连续介质。 4．液体的主要物理特征：惯性.重力特性.均质液体的质量与密度.粘滞性.压缩性.表面张力特性.和汽化压强。 其中粘滞性是本章的重点，掌握牛顿内摩擦定律的物理意义，其适用条件是层流运动和牛顿液体。 5．理想液体的概念：无粘性的液体。 6．作用在液体上的力：质量力和表面力。

第二章 水静力学 吉林大学环境与资源学院

§2－1 静水压强及特性 一、静水压强的概念 静水压力：静止（或处于相对平衡状态）液体作用在与之接触的表面上的水压力称为静水压力，常以字母Fp表示。 静水压强： 取微小面积 ，令作用于 的静水压力为 ，则 面上单位面积所受的平均静水压力为 某点的静水压强，表示为 吉林大学环境与资源学院

1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面。 二、静水压强的特性 静水压强的两个重要特性： 1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面。 2．任一点静水压强的大小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。 吉林大学环境与资源学院

1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面。 p 作用力 法向压强 F α 切向应力 吉林大学环境与资源学院

2．任一点静水压强的大小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。 吉林大学环境与资源学院

在静止液体中取一微小三棱体，作用力仅有重力及各面上的垂直压力,重力可忽略不计 . Px，Pz，P分别为作用在微小面积上的压强，于是作用在三个面积上的压力分别为 dPx=Pxdydz dPz=Pzdxdy dPs=Pdsdy dx dy dz ds θ dPx dPz dPs 平衡方程： ∑Px=0， -Pdsdysinθ+Pxdydz=0 ∑Pz=0， -Pzdxdy +Pdydscosθ=0 dssinθ=dz ；dscosθ=dx Pxdydz-Pdydz=0； Pzdxdy-Pdxdy=0 　　　　　P=Px=Pz 说明：液体内同一点的静水压强的大小，在各个方向均相等。

2－2 液体的平衡微分方程 一、微分方程 1．表面力 2．质量力 2－2 液体的平衡微分方程 液体平衡微分方程式:是表征液体处于平衡状态下，作用于液体上各种力之间的关系式。取平行六面微元体如图. 一、微分方程 1．表面力 X方向：静水压力为 边长为dx dy dz，形心点A坐标为（x,y,z) 2．质量力 单位质量力：X,Y,Z 六面体质量：ρdxdydz A点压强：p(x,y,z) 左侧面m点坐标: m点压强： X方向质量力： 吉林大学环境与资源学院

该式的物理意义为：平衡液体中，静水压强沿某一方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。 则X方向： 以 除上式各项并化简后为： 同理，对于Y、Z方向可推出类似结果， 从而得到欧拉平衡微分方程组： 该式的物理意义为：平衡液体中，静水压强沿某一方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。 吉林大学环境与资源学院

将欧拉平衡微分方程式各式分别乘以dx，dy，dz 然后相加得 压强为坐标函数,由全微分定理，左边为静水压强P（x,y,z)的全微分dP，则平衡方程： 上式是欧拉平衡微分方程的全微分表达式，也称为平衡微分方程的综合式。 如果作用于液体上的单位质量力是已知的，将其代入上式积分，便可求得静水压强的分布规律。 静水压强的分布规律是由单位质量力决定的。 吉林大学环境与资源学院

二、等压面 等压面：静水压强值相等的点连接成的面。 可能是平面也可能是曲面。 在等压面上，P＝const，则dP＝0，于是Xdx+Ydy+Zdz=0 表明液体沿等压面移动时，质量力作功等于零 等压面性质：等压面与质量力正交。 常见的等压面：液体的自由表面；平衡液体中不相混溶的两种液体的交界面。 吉林大学环境与资源学院

质量力作功: Xdx+Ydy+Zdz 等压面上: Xdx+Ydy+Zdz=0 等压面与质量力正交 A(x,y,z) B(x+dx,y+dy,z+dz) 等压面 等压面上: Xdx+Ydy+Zdz=0 等压面与质量力正交

2－3 重力作用下静水压强的基本公式 实际工程中，作用于平衡液体上的质量力常常只有重力，即所谓静止液体。 液体平衡微分方程： 2－3 重力作用下静水压强的基本公式 实际工程中，作用于平衡液体上的质量力常常只有重力，即所谓静止液体。 液体平衡微分方程： 重力作用下 X＝0，Y＝0，Z＝-g，代入平衡微分方程式， 积分得 吉林大学环境与资源学院

若在静止液体中任取两点l和2，点1和点2压强各为p1和p2，位置坐标各为z1和z2，则可把式 改写成另一表达式，即：

得出静止液体中任意点的静水压强计算公式： 自由面上 A 得出静止液体中任意点的静水压强计算公式： ：表示该点在自由面以下的淹没深度。 ：自由面上的气体压强。 吉林大学环境与资源学院

p0=pa [例题]已知：p0=98kN/m2， h=1m， 求：该点的静水压强 h p 解： 吉林大学环境与资源学院

注意： (1) 静止液体质量力仅为重力时，等压面必定是水平面； (2)平衡液体与大气相接触的自由表面为等压面； (3)不同液体的交界面也是等压面。

§2－4 静水压强的表示，侧压管水头，单位势能，压强分布图 §2－4　静水压强的表示，侧压管水头，单位势能，压强分布图 、静水压强的表示： （1）绝对压强：以没有气体存在的绝对真空为零点计算的压 强，用Pabs表示。 （2）相对压强：从绝对压强中减去当地大气压强Pa，用P表示。 P=Pabs－Pa 以当地大气压强为零点计算的压强。 1．计算基准： 工程上以工程大气压值取代当地大气压强值。 工程大气压，Pa=9.8N/cm2 。 吉林大学环境与资源学院

（3）真空：若液体内某点处的绝对压强小于当地大气压强时，该点就会产生真空现象。 、静水压强的表示： 1．计算基准： （3）真空：若液体内某点处的绝对压强小于当地大气压强时，该点就会产生真空现象。 　 绝对压强与当地大气压强的差值称为真空值（Pv）。 Pv=Pa-Pabs　　　　　　 真空必有负压。(相对压强） 液体内最大真空值不超过当地大气压与液体气化压强之差。 吉林大学环境与资源学院

解：利用（2-3）式，A、B两点的绝对压强： 、静水压强的表示： 例2-1、图示密封水箱，液体表面绝对压强P0abs＝78.4kPa，水深h1=0.5m, h2=2.5m,试求：A、B两点的绝对压强、相对压强和真空值。　 解：利用（2-3）式，A、B两点的绝对压强： PAabs=P0abs+γh1=78.4+9.8×0.5=83.3kPa PBabs=P0abs+γh2=78.4+9.8×2.5=102.9kPa A、B两点的相对压强为： PA= PAabs－Pa=83.3－98＝－14.7kPa PB= PBabs－Pa=102.9－98＝4.9kPa A点真空值为　Pv=14.7kPa P0abs h1 A h2 B 吉林大学环境与资源学院

根据相对压强的表达式：P＝γh → h=P/γ 任意点压强可用容重为γ的液体柱高度来表示， 长度单位， m水柱、mm水柱、 mm汞柱。 、静水压强的表示： 2、压强的表示方法： （1）用液注高度表示 根据相对压强的表达式：P＝γh　→　h=P/γ 任意点压强可用容重为γ的液体柱高度来表示，　 长度单位， m水柱、mm水柱、 mm汞柱。 一个工程大气压Pa=9.8N/cm2， 用水柱高来表示（γ＝9800N/m3） 　 h=Pa/γ=98000/9800=10m水柱 用水银柱来表示（γ＝133KN/m3）， 　h=Pa/γ=98000/133000=736mm汞柱 可以表示相对压强、绝对压强和真空值。 吉林大学环境与资源学院

单位：力/面积（N/m2或kN/m2或Pa） 、静水压强的表示： 2、压强的表示方法： （2）用应力单位来表示 以单位面积上所受力的大小来表示压强， 单位：力/面积（N/m2或kN/m2或Pa） （3）用工程大气压表示 采用工程大气压的倍数来表示。 一个工程大气压Pa=9.8N/cm2＝98kPa. 例如水管内压力为980kPa，用工程大气压表示就是10个工程大气压。 吉林大学环境与资源学院

例2-2、已知水泵吸水管中某点绝对压强为8N/cm2，试将该点的绝对压强、相对压强及真空值用水柱高来表示。 、静水压强的表示： 例2-2、已知水泵吸水管中某点绝对压强为8N/cm2，试将该点的绝对压强、相对压强及真空值用水柱高来表示。 解：绝对压强 Pabs=8N/cm2＝80000N/㎡， 相对压强 P＝8－9.8＝－1.8N/cm2=－18000 N/㎡， 真空值 Pv＝1. 8N/cm2=18000 N/㎡ γ=9.8kN/㎡=9800 N/㎡ 　　用液柱高来表示： 绝对压强 h=Pa/γ=80000/9800=8.16m水柱 相对压强　h=P/γ=－18000/9800=－1.84m水柱 真空值　　h=Pv/γ=18000/9800=1.84m水柱 吉林大学环境与资源学院

解：侧压管液面与容器液面为等压面，则h1＝6m。 γ1、γ2分界面距底部为4m，求h2先求h’， h2＝h’＋4 分界面压强为 P＝γ1×2 、静水压强的表示： 例2-3、容器中有两种不相混溶的液体，容重为γ1＝7kN/m3，γ2＝10kN/m3，容器侧壁上有两根侧压管1和2，试求两根侧压管内液面距容器底部高度h1和h2。 解：侧压管液面与容器液面为等压面，则h1＝6m。 　　γ1、γ2分界面距底部为4m，求h2先求h’，　 h2＝h’＋4 　 分界面压强为 P＝γ1×2 　　延长面压强为　P＝γ2×h21 　　　　　　 则γ2×h’＝γ1×2 　　　　　　　h’＝7×2/10＝1.4m 　　则h2＝1.4＋4＝5.4m 2m γ1 h’ h2 γ2 4m h1 吉林大学环境与资源学院

二、位置水头、压强水头、侧压管水头、单位势能的概念 重力作用下的平衡方程的物理解释及能量解释。 根据水静力学基本方程： → 在水力学里用水头来表示高度。 Z：质点距离基准面的高度，称为位置水头。 单位重量液体相对于某一基准位置势能， 简称单位位能。 大小与基准面的选取有关。 A Z o O’ 吉林大学环境与资源学院

二、位置水头、压强水头、侧压管水头、单位势能的概念 如果液体中某处压强为P，在该处安置一侧压管，液体将沿侧压管上升的高度，称为压强水头 。 单位重量液体所具有的压能，简称单位压能。 相当于压强P对于单位重量液体所作的功。 是基准面到测压管内液面的高度， 称为侧压管水头 A 单位重量液体位能和压能之和， 称为单位势能 Z 吉林大学环境与资源学院

表示静水压强沿某条线或某个面上分布情况的图形。 三、静水压强分布图 表示静水压强沿某条线或某个面上分布情况的图形。 （1）按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的 大小。 (2)用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂直。 H=0，P= =0 A H=H，P= H 先画出上下两点，中间按线性规律分布。 B 吉林大学环境与资源学院

A A h1 H ρgh1 h2 ρgh1 B ρgH B C ρgh2 吉林大学环境与资源学院

测量液体（或气体）压强的仪器很多，这里只是介绍一些利用水静力学原理设计的液体测压计。 §1－5 压强的测量 测量液体（或气体）压强的仪器很多，这里只是介绍一些利用水静力学原理设计的液体测压计。 一、测压管 若欲测容器中 A 点的液体压强，可在容器上设置一开口细管。则A、B 点位于同一等压面，两点压强相等。 式中h称为测压管高度或压强高度。 吉林大学环境与资源学院

当A点压强较小时： 1.增大测压管标尺读数， 提高测量精度。 2.在测压管中放入轻质液体（如油）。 3.把测压管倾斜放置。 A点的相对压强为 吉林大学环境与资源学院

当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以改用U形水银测压计。 p1 = pA + p2 = pa + 由此得A点的绝对压强为: pA= pa + － 吉林大学环境与资源学院

压差计是直接测量两点压强差的装置。若左、右两容器内各盛一种介质，其密度分别为 ρA和 ρB， 三、压差计 压差计是直接测量两点压强差的装置。若左、右两容器内各盛一种介质，其密度分别为 ρA和 ρB， 当 时 吉林大学环境与资源学院

习题： 1、如图为一盛水容器，在容器左侧安装一侧压管，右侧装一Ｕ形水银测压计，已知容器中心Ａ点的相对压强为0.5个工程大气压，h=0.2m，求h1和h2。 2、画出AB上的静水压强分布图。 h1 A h2 h h A ρ水 H ρ汞 B 吉林大学环境与资源学院

§1-6 作用于平面上的静水总压力 一、图解法 －矩形平面 §1-6 作用于平面上的静水总压力 一、图解法 －矩形平面 A B H 平面上静水总压力的大小应等于分布在平面上各点静水压强的总和，即作用在平面上的静水压强分布图的体积。 压强分布图面积为Ω，宽度为b， 则静水总压力：F= Ωb 压强分布图为三角形时，Ω= 则 F= 压强分布图为梯形时， 吉林大学环境与资源学院

作用线通过压强分布图的形心，作用点为压强分布图形心点沿作用面内法线方向在作用面上的投影。 一、图解法 作用线通过压强分布图的形心，作用点为压强分布图形心点沿作用面内法线方向在作用面上的投影。 1、当压强为三角形分布时，压力中心D离底部 距离为 2、当压强为梯形分布时，压力中心D 离底的距离为 吉林大学环境与资源学院

取一任意形状平面EF，倾斜置放于水中，与水平面的夹角a，平面面积为A。 二、解析法－任意平面 取一任意形状平面EF，倾斜置放于水中，与水平面的夹角a，平面面积为A。 平面形心点在C（Xc，Ｙc）， 在水面下深度为hc。 吉林大学环境与资源学院

1．总压力的大小 作用在围绕点M的微分面积dA的静水压力： 整个平面EF上的静水总压力为： 表示面积A对ox轴的面积矩Sox，等于面积A与其形心坐标yc的乘积。 为平面F形心点C在液面下的淹没深度， 为形心点C的静水压强 。 吉林大学环境与资源学院

作用在任意形状平面上的静水总压力的大小等于该平面面积与其形心处静水压强的乘积。 当受压面形心在水面下深度不变时，则静水总压力Ｐ值不受倾角α的影响。 吉林大学环境与资源学院

设总压力作用点的位置在D，它在坐标系中的坐标值为（ ）。 2．总压力的作用点 －合力矩定理 设总压力作用点的位置在D，它在坐标系中的坐标值为（ ）。 dP对OX轴的力矩： 各微分面积上静水总压力对OX轴力矩总和： 为面积A对OX轴的惯性矩，用Ixo表示。 吉林大学环境与资源学院

惯性矩平移轴定理：平面图形对平行于其形心主轴的某坐标轴之惯矩，等于该图形对所平行的形心主轴之惯矩，再加上该图形面积与该平行轴间的距离平方之积。 根据惯性矩平移轴定理：如果面积A对通过其形心并与X轴平行的轴的惯性矩为Ixc，则Ixo＝Ixc＋yc2·A 惯性积的平行移轴定理:平面图形对平行于其两个正交形心主轴的两个直角坐标轴之惯积,等于该图形对该形心主轴之惯积,再加上该图形面积与两组轴间距之乘积.

2．总压力的作用点 总压力P对OX轴取力矩，即 各微分面积上静水压力dP 对OX轴力矩之和等于合力P对OX轴力矩，即 yD－总压力作用点到ox轴的距离； yC－受压面形心到ox轴的距离； Ixc－受压面对平行于ox轴的形心 轴的惯性矩； yD＞yＣ，即静水总压力作用点D 在平面的形心点C之下。 吉林大学环境与资源学院

2．总压力的作用点 总压力作用点D到oy轴的距离xD. 是受压面A对x、y轴的惯性积，以Ixy表示。 根据惯性积的平行移轴定理，Ixy＝Ixyc+Axcyc， 代入上式，得 xD－总压力作用点到oy轴的距离； xc－受压面形心到oy轴的距离； Ixo－受压面对平行于x、y轴的形心轴的惯性积； 吉林大学环境与资源学院

在多数工程问题中，受压面是具有一个纵向对称轴的平面，如矩形、圆、等腰三角形、等腰梯形等，这种情况下，总压力作用点位于纵向对称轴上，不需计算xD。 几何图形名称 面积A 形心坐标 对通过形心轴的惯性矩 矩形 bh 三角形 h b 吉林大学环境与资源学院

几何图形名称 面积A 形心坐标 对通过形心轴的惯性矩 梯形 圆形 半圆形

例２-４ 图示为一水池，AB为三角形闸门，其尺寸如图示。试求： （1）作用在闸门上的静水总压力； （2）静水总压力作用点位置。 　（1）作用在闸门上的静水总压力； 　（2）静水总压力作用点位置。 解：总压力　P＝γhcA＝9800×（1＋2/3×3×sin450）×1/2×1.25×3 ＝44.36kN 作用点位置： yc=(2/3) × 3＋1/sin45=2+1/0.707=3.414m 450 1.0m A 3.0m B C D 1.25m 吉林大学环境与资源学院

例2-5 如图所示的引水洞进口处设矩形平面闸门，其长度a=2. 5m,宽度b＝2. 0m，闸门前水深H=7 例2-5 如图所示的引水洞进口处设矩形平面闸门，其长度a=2.5m,宽度b＝2.0m，闸门前水深H=7.0m，倾斜角为600，以解析法和图解法求作用于闸门上静水总压力的大小和作用点。 （1）用解析法计算: 闸门形心处的水深： 闸门面积：　A＝ab=2.5×2＝5.0m2 闸门上的静水总压力： P＝ρghcA＝9.8×5.92×5＝290.08kN 作用点坐标： yc=hc/sin600=5.92/0.867=6.83m h1 ρgh1 矩形闸门对其形心轴的惯性矩为 : H A ρgH 60 静水总压力作用点在水面以下的深度为: B

由P1和P2，可以绘出压强分布图，闸门面积为A，则闸门上的静水总压力为 (2)用图解法计算： 　　求闸门上下缘的静水压强P1和P2： h1=H－asin600＝7.0－2.5×0.867＝4.83m P1＝γh1＝9.8×4.83＝47.33kN/㎡ P2＝γH＝9.8×7＝68.6kN/㎡ 由P1和P2，可以绘出压强分布图，闸门面积为A，则闸门上的静水总压力为 梯形压强分布图的形心位置可用图解法求得，梯形上下底边长分别为P1和P2，高为a， h1 ρgh1 则形心位置距离下底的距离为 H A 静水总压力作用点在水面以下的深度为 　hD=H-esin60=7.0-1.17×0.867=5.99m ρgH 60 B 吉林大学环境与资源学院

实际工程中有许多受压面为曲面的情况，主要是圆柱体曲面，如锅炉汽包、除氧器水箱、油罐和弧形阀门等。 §2－7　作用在曲面上的静水总压力 实际工程中有许多受压面为曲面的情况，主要是圆柱体曲面，如锅炉汽包、除氧器水箱、油罐和弧形阀门等。 吉林大学环境与资源学院

由于压力垂直作用面，曲面上各点的静水压力方向不同，彼此不相平行，不能象求平面总压力一样直接求和。为了求曲面上静水总压力，通常将曲面上的静水压力分解成水平力和垂向力，然后按平行力系求合力的方法，求出作用在曲面上的水平向总合力Px和垂直向总合力Pz。 A B A B 吉林大学环境与资源学院

dAx－曲面在铅垂面上的投影面积； dAz－曲面在水平面上的投影面积； 一、静水总压力的水平分力 取微元面积dA，作用于dA的静水压力为dP，分解为X方向和Z方向上的分力： Z a’ b’ dAx－曲面在铅垂面上的投影面积； dAz－曲面在水平面上的投影面积； a dAz h dPx dAx 总压力的水平水力： dPx dP α dPz dP dPz b O :是曲面的铅垂投影面Ax对OY轴的静矩， X Y 水平总合力： Px＝ρghcAx 方向水平指向受压面，作用线通过面积Ax的压强分布图的形心。 Ax―整个曲面在X方向的投影面积； hc―为投影面Ax形心处水深。 吉林大学环境与资源学院

是曲面ab上的液体重，即柱体abb’a’这部分体积乘以ρg(γ). 于是将柱体abb’a’称为压力体，体积以V表示。 二、总压力的铅垂分力 ：微小柱面上的液体重。 是曲面ab上的液体重，即柱体abb’a’这部分体积乘以ρg(γ). 于是将柱体abb’a’称为压力体，体积以V表示。 Z a’ b’ 液体作用在曲面上总压力的铅垂分力，等于压力体的重量。 a dAz h dPx Pz＝ γV dPx dP V―曲面垂直向上到水面的体积aa’b’b（压力体）； α dPz dP γV―与压力体同体积的水重。 dPz b O X Y 吉林大学环境与资源学院

三、总压力的作用点 垂直分力Pz的作用线，应通过压力体的体积形心。 由于水在曲面下，各点压强有向上的趋势，所以合力Pz是向上的，为顶托力。 总合力： 总压力作用线与水平面夹角　　 三、总压力的作用点 总压力作用线与曲面的交点就是总压力在曲面上的作用点，即压力中心。 吉林大学环境与资源学院

压力体是所研究的曲面（淹没在静止液体中的部分）到自由液面或自由液面的延长面间投影所包围的一块空间体积。它的计算式 压力体应由下列周界面所围成： 1．受压曲面本身； 2．液面或液面的延长面； 3．通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面。 吉林大学环境与资源学院

当液体和压力体位于曲面的同侧时，称为实压力体，静水总压力铅垂分力Pz的方向向下； 吉林大学环境与资源学院

当曲面为凹凸相间的复杂柱面时，可在曲面与铅垂面相切处将曲面分开，分别绘出各部分的压力体。 吉林大学环境与资源学院

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四、静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序 (1)将总压力分解为水平分力Px和垂直分力Pz。 (2)水平分力的计算， 。 (3)确定压力体的体积。 (4)垂直分力的计算， ，方向由虚、实压力体确定。 (5)总压力的计算， 。 (6)总压力方向的确定， 。 (7)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点。 吉林大学环境与资源学院

例2-6、用一圆柱将池壁堵住，圆柱半径0.4m，长1.2m，求作用在圆柱曲面上力的大小。 解：水平力Px： Px=γhcAx=9800×2×1.2×0.8=18.8kN 将曲面分成ab、bc两部分，分别求压力体。 2m a 垂向力Pz： 压力体体积 V=abc b Pz=γV=γabc=9800×1/2(3.14×0.42) ×1.2=2.958kN c 吉林大学环境与资源学院

b’ a’ b’ a’ Pz2 a a a b b b c c V1=aa’b’b Pz1=γaa’b’b Pz1、Pz2方向不同，互相抵消一部分， 压力体积 V=abc V2=caa’b’b Pz2=γcaa’b’b 吉林大学环境与资源学院

§2-8 重力和惯性力作用下液体的相对平衡 如果液体相对于地球运动，但相对于容器仍保持静止的状态为相对平衡。 §2-8 重力和惯性力作用下液体的相对平衡 如果液体相对于地球运动，但相对于容器仍保持静止的状态为相对平衡。 研究处于相对平衡的液体中的压强分布规律，采用理论力学中的达兰贝尔原理，将运动问题转化为静止问题来处理，即将参考坐标系取在运动容器上，液体相对坐标系是静止的。 达伦贝尔原理表明对具有加速度的运动物体进行受力分析时，若加上一个与加速度相反的惯性力，则作用于物体上的所有外力（包括惯性力）应保持平衡。 质点惯性力的计算方法：先求出液体质点相对于地球的加速度，将其反号乘以该质点的质量。 吉林大学环境与资源学院

当分析液体对非惯性参考系xoz的相对平衡时，作用在质点上的力，既有重力，也有惯性力。整个容器内液体在这两种力作用下处于相对xoz的平衡状态。 一、直线等加速运动容器中液体的相对平衡 如图，一盛有液体在水平方向作等加速前进的一个容器，加速度为a，容器带动其中液体作等加速运动前进，即液体处于相对平衡状态之中，若把参考坐标选在容器上，原点位于液面与容器相交点，则坐标系以加速度a前进。 当分析液体对非惯性参考系xoz的相对平衡时，作用在质点上的力，既有重力，也有惯性力。整个容器内液体在这两种力作用下处于相对xoz的平衡状态。 z P0 α x o a 吉林大学环境与资源学院

设作用在单位质量液体上质量力的分力为X=-a, Y=0, Z=-g， 将单位质量分力代入平衡微分方程式得　　dP=ρ(-adx-gdz) 积分得　　P＝－ρ（ax+gz）+C 确定C，引入边界条件： 当x=0，z=0时，P＝P0，代入上式得 　　　　　　　P0＝C 　　于是　　P＝P0－ρ（ax+gz）　　 z P0 等加速水平运动容器中液体压强分布公式。表明：压强P不仅随坐标Z值变化，且随X变化。 α x o a 吉林大学环境与资源学院

此时的等压面不再是水平面，建立等压面方程： 等压面上任意两点间压差为0，即dP=0，得 adx+gdz=0　 积分得　ax+gz=C　→　 此式即为等压面方程。 作等加速水平运动的容器中，液体等压面已不是水平面，而是平行的倾斜面，其斜率k=－a/g，斜面与X方向倾角 在自由表面上，当x=0，z=0，可得C＝0， 自由表面方程ax+gzs=0 , za=-ax/g za为自由表面上点的坐标z值。 z P0 α x o a

解：单位质量力在各坐标上的分量为：X＝-a，Y＝0，Z＝-g 例2-7　一洒水车以匀加速度a=0.98m/s2，向前直线行驶，如图所示，当B点坐标XB＝-1.5m，ZB＝-1.0m时，求洒水车作匀加速运动后该点的相对静水压强PB，以及水车内自由液面与水平面间的夹角α。 解：单位质量力在各坐标上的分量为：X＝-a，Y＝0，Z＝-g 液体内压强的分布规律： P＝P0-ρ（ax+gz） B点的相对压强为 PB=－ρ（axB+gzB）=1000× (0.98×(-1.5)+9.8× (-1.0))=11270N/m2 P0 自由液面方程为　ax+gz=0 因此自由液面与水平面间的夹角α： tgα=-z/x=a/g=0.98/9.8=0.10 则α=5045’ z x zB xB o a 吉林大学环境与资源学院

设盛有液体的直立圆筒容器绕其中心轴以等角速ω旋转，筒内液体也全部以等角速ω跟着圆筒一起旋转，从而达到了相对平衡状态。 二、等角速旋转容器中液体的相对平衡 设盛有液体的直立圆筒容器绕其中心轴以等角速ω旋转，筒内液体也全部以等角速ω跟着圆筒一起旋转，从而达到了相对平衡状态。 旋转液体的自由表面是一个旋转抛物面。 z 对旋转容器中的液体，所受质量力应包括重力与离心惯性力。 ω 在旋转轴上，离心力等于零，质量力只有重力；在液体内其它位置上，既有重力又有离心力作用，距旋转轴越远，离心力越大。 r z0 x y 吉林大学环境与资源学院

以容器底部中心点为坐标原点建立直角坐标系OXYZ，OZ轴与旋转轴重合。 单位质量的重力对各坐标轴的分量　X1＝0，Y1＝0，Z1＝－g 单位质量的惯性离心力对各坐标轴的分量　 X2＝ω2r×(x/r)= ω2x Y2=ω2r×(y/r)= ω2y Z2=0 z ω r 作用单位质量液体上总质量力　 X＝ω2x， Y＝ω2y， Z＝－g z0 x y

积分常数C由边界条件决定，r=0，z=z0，P＝P0， 因此C＝P0+γz0 代入液体平衡微分方程的全微分表达式，得　 dP=ρ(ω2xdx+ω2ydy-gdz) 积分，得 积分常数C由边界条件决定，r=0，z=z0，P＝P0， 因此C＝P0+γz0 z ω r z0 液体相对平衡时压强分布规律的一般表达式 x y

等压面方程：令P＝常数，得等压面 因此等压面是一具有中心轴的旋转抛物面。 令P=P0，得自由液面方程　 z ω r z0 x y

例2-8、半径为R的密闭球形容器，充满密度为ρ的液体，该容器绕铅垂轴以角速度ω旋转，试求最大压强作用点的Z坐标。 解：根据液体平衡微分方程， 质量力：X＝ω2x；Y＝ω2y；Z=-g 代入上式并积分，得　 球壁上　r2=R2-Z2，代入上式，得 z r R y o x 得　Z＝－g/ω2