第5章   动能定理 在笛卡儿提出动量守恒原理后42年，德国数学家、哲学家莱布尼兹（Leibniz，1646~1716）提出了“活力”概念及“活力”守恒原理。和笛卡儿一样，莱布尼兹也相信宇宙中运动的总量必须保持不变，不过和笛卡儿不同，他认为应该用 mv2 表示这个量，而不是 mv。 莱布尼兹与笛卡儿关于 mv2 和 mv 之争，在历史上曾经历相当长时期的混乱，一百多年后，人们逐渐明白，这是两种不同的守恒规律，莱布尼兹的“活力” 守恒应归结为机械能守恒。 下面我们从现代的观点对这些概念一一地予以重新定义。

牛顿─动量、机械能守恒 笛卡尔─动量守恒 莱布尼兹─“活力”守恒

5.1 动能定理 质点动能定理 我们知道，力的冲量可以使物体（质点）的动量发生改变；力又是如何使物体的动能发生改变的呢？为此，我们计算一下单位时间动能的改变。 对于直线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我们有： 即： 这是元过程的表达式，对于有限过程，则可以两边积分得：

质点动能定理 对于一般的曲线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我们有： 即： 由上式知，动能的时间变化率等于作用在物体上的作用力与速度的标积。由于能量概念的重要性，我们把 mv2/2 称为动能，把 F﹡v称作力传递给物体的功率。以 P 表示功率，有： 因此，上述结论又可以说成：一个物体动能的时间变化率等于作用在该物体上的力传递给物体的功率。我们把 F﹡dr 称作力对物体作的元功。对上式积分得：

质点动能定理 小结：力的空间累积效应是使物体的动能改变。 此式右边的积分被称为作用于物体的力所做的功，通常把该式称为质点动能定理：即作用于物体上的合力所做的功等于物体在此过程中动能的增量。动能定理本质上是能量守恒定律在牛顿力学范畴内的一种表述。 小结：力的空间累积效应是使物体的动能改变。

质点动能定理 由质点动能定理及其推导可知： 1. 做功是通过力来实现的； 2. 做功的多少一般与路径有关； 1. 做功是通过力来实现的； 2. 做功的多少一般与路径有关； 3. 质点动能定理成立的参考系为惯性系。

功和功率 物理学上的功定义为力 F 与位移元 dr 标积的线积分，若以 A 表示功，有： 其意思是：如果有一个力作用于物体上，同时物体在某一方向上发生位移，则只有位移方向上的分力作了功，与位移成直角的力不作功。

功和功率 有时重要的问题不是能作多少功，而是作功的效率，即在单位时间内作多少功。单位时间所做的功称为功率： 简单机械可以省力，但功率是不能放大的。 在国际单位制中，力的单位是牛顿（N），功的单位则为牛顿·米（N·m），通常把1牛顿·米称作1焦耳（J），由上面给出的动能、功的定义不难验证，它们具有相同的量纲。功率的单位是焦耳/秒，也称瓦（W）。如果用瓦乘以时间就是所作的功，电力公司在计算每家用电量时，常采用千瓦·小时来计量用电量的多少，1千瓦·小时等于1千瓦乘3600秒，即 3.6×106 焦耳。

功率的其他单位—千瓦、兆瓦和马力 “宝马” M3双门跑车 ，5.7L V8引擎，功率输出可达到628HP/468kW “俄亥俄”级战略核潜艇，通用电气S8G自然循环压水冷却式核子反应炉，反应堆热功率250MW

质点系动能定理

质点系动能定理 其中： 分别为作用于第 i 个质点上的合外力所作的功和第 j 个质点对第 i 个质点的内力所作的功。将上式对所有的i求和，得： 其中 Ek、A外、A内 分别为质点系的总动能、外力和内力对质点系作的总功 ：

质点系动能定理 该式即为质点系动能定理，我们把它叙述如下： 作用于质点系的所有外力所作之功与所有内力所作之功的总和等于质点系动能的增量。 需要注意的是，内力产生的总动量虽然为零，但内力作的总功一般不等于零。

质点系动能定理 质点系动能定理与质点系动量定理的比较： 质点系动量定理是矢量式，而质点系动能定理是标量式。 2. 质点系动量定理与质点系动能定理是相互独立的。 内力的作用不改变体系的总动量，但一般要改变体系的总动能。

§5.2 势 能 有心力及其沿闭合路径作功 所谓“有心力”，即在空间中存在一个中心 O，物体（质点）P 在任何位置上所受的力 F 都与 OP 方向相同（排斥力）或相反（吸引力），其大小是距离 r = OP 的单值函数。万有引力就是一种有心力，万有引力为： 其中 表示沿 方向的单位向量。

有心力及其沿闭合路径作功 我们感兴趣的问题是，如果物体在有心力场中循环运动一周，其动能会不会有所增加（或减少）呢？或许有那么一条特殊的无摩擦的轨道从一点开始，经过一个循环回到初始点，有心力在过程中不断作功，使物体的动能有所增加？ 我们可以肯定他说，这是不可能的。因为，如果存在这样一个轨道，这个物体周而复始地沿此轨道作循环往复运动，在每次回到初始点时，将会获得越来越大的动能，而系统本身没有付出代价，这不符合能量守恒原理。这就是一种永动机，因而是不可能的。因此，结论是物体在有心力场中环绕任何封闭路径运行一周作的功必为零。（物体回到初始点动能减少也是不可能的。如果这样，可以沿原回路反向行进，必使动能增加。）

有心力及其沿闭合路径作功 下面用数学方法给出验证。如图所示，设想把质点沿任意路径 L 从 P 点搬运到 Q 点，有心力所作的功为： 由于： 上式化为： 此式只与两端点到力心的距离 rp 和 rQ有关，与路径 L 无关。上式表明，有心力作功可以化为沿任意半径的一维问题。

有心力及其沿闭合路径作功 有心力的重要性质： 有心力作功只与始终点的位置有关，与路径无关。 或： 有心力沿闭合路径作功为零。

保守力与非保守力、势能 由上述可知，存在一类重要的力场，在该力场中，力对质点所作的功只与该质点的始、末位置有关，而与该质点所经的具体路径无关。 我们称此力场为保守力场，物体在保守力场中所受的力称为保守力。 显然，保守力场中力的环路积分必为零。 凡所功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关，或沿任一闭合路径一周作功不为零的力称为非保守力。 沿闭合路径一周作功小于零的力称为耗散力。滑动摩擦力是非保守力，而且还是耗散力。

保守力与非保守力、势能 为了比较容易地判断常见的力是否保守力，下面给出保守力的一些充分条件。 对于一维运动，凡是位置单值函数的力都是保守力。例如服从胡克定律的弹性力 f = f (x) = －k(x－x0) 是 x 的单值函数，故它是保守力。 对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力，如重力 f = mg 是保守力。 有心力是保守力。例如万有引力就是保守力。

保守力与非保守力、势能 下面证明 V(r) 就是势能。 定理：对于保守力场，可以定义一个标量函数 V(r)，称为势能（或势函数、位能），使保守力作的功为：A(rA→ rB) =V(rA) － V(rB) 。其中A(rA→ rB)表示质点从空间 rA 点运动到 rB 点保守力所作的功。 证：这样选择一个标量函数V(r)：如图，先任取一点 rC ，令： 对空间任意点，定义： 由于是保守力场，故 A(rC→ r) 唯一确定，与运动的路径无关，于是对于空间中的任意点 r，我们定义的 V(r) 的值确定并且唯一。 下面证明 V(r) 就是势能。

保守力与非保守力、势能 [证毕] 反之，存在势能的力一定是保守力。 对于空间中任意两点 rA 和 rB ，按照我们对的 V(r) 定义，有： 将上面两式相减，注意到保守力作功与路径无关，可得： 由于： 故 V(r) 就是势能。 [证毕] 反之，存在势能的力一定是保守力。

保守力与非保守力、势能 注：由证明可见，势能具有一个任意常数 一般我们规定 ∞ 点的势能为零。 势能 V(r) 与保守力 F 的关系：

保守力与非保守力、势能 例：位于坐标原点的质量为 M 的质点的引力场对位于 r 点质量为 m 的质点的万有引力为： 当然，利用第二式可反推得：

几点注意： 引力势能实际上属于 m, M 两者组成的体系，地球与月球间的相互引力势能应属地、月系统所共有。 自然界中的大部分能量，以引力势能形式存在。 保守力作功使其势能减少。

第5章 动能定理 几点注意： 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 如果质点系内任意两点之间的作用力都是保守力，则称该质点系为保守体系。对于保守体系，我们可以这样定义势能，规定所有的质点都在无穷远处时体系的势能为零，即让 V(∞) = 0 ，然后将 n 个质点一个一个从无穷远点沿任意路径移至它们所在的点，算出保守力所作的总功 A，可知该保守体系的势能为：

引力的本质 单位质量物体具有重力势能gh，与材质无关→引力反映时空的性质？

势能曲线 一旦知道了势能的表达式，利用(5.2.6)式即可求得力的表达式。力是矢量，而势能是标量，一般情况下，确定标量函数比确定矢量函数要容易。如果保守力仅是两质点距离的函数，则势能是一维函数。在许多实际问题中，特别是在微观领域内，确定势能往往比确定力更方便，故用势能函数来了解力的性质是有实际意义的。 表示势能与两质点相对关系的图形叫势能图。若势能为一维函数，这时，势能图成为势能曲线。

微观粒子为几率运动→没有连续轨迹，无法定义速度和力 势能曲线 微观粒子为几率运动→没有连续轨迹，无法定义速度和力 原子处于一些分立能量状态（能级），可以定义能量 类氢原子电子云概率密度

势能曲线 1. 几种势能曲线

势能曲线 2. 势能曲线的用途 (1) 由势能曲线求保守力 求平衡位置及判断平衡的稳定性（该问题我们将在第9章中再详细讨论）。

5.3 机械能守恒定律 质点系的功能原理和机械能守恒定律 由质点系的动能定理： 在一般情况下，可以将内力所作的功分为保守力作的功 A保内 和非保守力作的功 A非保内 两部分 由势能定义知： 于是： 用 E 表示体系动能与势能之和，称为体系的机械能。 则有： 该式表示：外力的功和非保守内力的功之和等于体系机械能的增量，这就是质点系的功能定理或功能原理。

质点系的功能原理和机械能守恒定律 该式表示：外力的功和非保守内力的功之和等于体系机械能的增量，这就是质点系的功能定理或功能原理。 若 ，体系机械能增加； 若 ，体系机械能减少； 若 ，体系机械能保持不变。

质点系的功能原理和机械能守恒定律 重要特例： 这有如下几种情况： 孤立体系，体系不受外力作用。 外力的作用点没有位移。如弹簧振子的固定端对弹簧所施的外力。 各外力与其相应作用点的位移互相垂直。如固定支承物的支承力。

质点系的功能原理和机械能守恒定律 重要特例： 此时，体系的机械能的变化仅由非保守内力作的功确定，因而有： 1. 若 ，体系机械能增加；（如炸弹爆炸） 若 ，体系机械能减少；（如摩擦力，称为耗散力） 3. 若 ，体系机械能守恒。

几点说明： 摩擦力总是与两物体的相对位移反方向。因而动摩擦总是消耗体系的机械能，是一种耗散力。而静摩擦力不同，它不消耗机械能（无相对位移）。

几点说明： 关于功与能的定理都是在牛顿定律基础上导出来的，因而只在惯性系中成立。在非惯性系中，如要应用牛顿定律，必须引入惯性力，因而，如果要在非惯性系中应用功与能的定理，必须计入惯性力作功以及与惯性力相关的势能。（由于惯性力没有施力物，与惯性力相联系的势能只能是指保守力场中的势能）。

以旋转形成太空城市的重力场

几点说明： 3. 功总是与一个过程相联系，而能量（动能和势能）总是与物体或物体系的状态，即（相对）位置和速度相联系。因而功是过程量，能量是状态量。在力学范围内，作功的过程总是与体系能量的改变相联系。

§5.4 质心系 柯尼希定理 取质心为坐标原点建立的参考系称为质心参考系或质心系。可以证明，当质心系为非惯性参考系时，功能定理和机械能守恒定律也仍然正确。

柯尼希定理 设两参考系 K、KC 分别为惯性系和质心系。在惯性系 K 中，n 个质点 mi ( i = 1,2, …, n ) 的位矢、速度、加速度分别为 ri、vi、ai ( i = 1,2, …, n ) ，质心的位矢、速度、加速度分别为rC、vC、aC ；在质心系中个质点的位矢、速度、加速度分别为rCi、vCi、aCi ( i = 1,2, …, n ) 。则有： 用 Ek、EkC 分别表示质点系在惯性系 K 和质心系 KC 中的动能，有：

柯尼希定理 即体系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和。此结论称为柯尼希定理。 我们知道质点系的动量等于质心的动量，但质点系的动能，一般并不等于质心的动能。 由以上证明过程可见，不论质心系是惯性系还是非惯性系，此定理都成立。

质心系中的功能原理和机械能守恒定律 我们知道，如果我们选取了非惯性参考系统，就应计入惯性力，在动能定理中必须计及惯性力所作的功。本节将证明，只要我们选择质心系，即使它不是惯性系，也不需要考虑惯性力所作的功。 如质心的“绝对”加速度 aC = 0，则质心系也是惯性系。如 aC ≠ 0 ，则质心系为非惯性系，它是具有加速度 aC 的平动参考系。如选取质心系，则所有质点都要受到惯性力。现在我们来计算这样的惯性力系所作的功。

质心系中的功能原理和机械能守恒定律 作用于质点 mi 的惯性力为﹣miaC ，这个力对该质点所作的功为 惯性力所作的总功为： 其中 为在质心系中所求的质心的位矢，它当然等于零。于是结论为： 只要我们选择质心系，即使它不是惯性系，也不需要考虑惯性力所作的功。

第5章 动能定理 例：计算第三宇宙速度。从地面出发的火箭如具有第三宇宙速度，那就不仅能够脱离地球，而且可以逸出太阳系。 第5章 动能定理 例：计算第三宇宙速度。从地面出发的火箭如具有第三宇宙速度，那就不仅能够脱离地球，而且可以逸出太阳系。 解：首先，规定无穷远点的引力势能为零，由于火箭的机械能守恒，火箭要逸出太阳系，其机械能 E 至少应等于零。这里的 E 指的是火箭的动能以及太阳—火箭的势能。在地球这样的距离上，这个判据成为 这里 R1 为地球与太阳的距离。由上式解得： 这就是说，在地球这样的距离上，一个物体必须具有42.2 千米/秒的速率才可以逸出太阳系而飞往其他恒星。但这里还没有计及地球的引力，上面的 42.2千米/秒应当是已脱离了地球引力范围时的速率。那么火箭从地面出发时相对于地球的速率 v/ 应当多大呢？

第5章 动能定理 先选用“静止”（相对于太阳为静止）参考系，火箭已脱离了地球引力范围时的动能应为 (1/2)mv2，这时火箭—地球势能为 0。为了用最小的速度达到目的，应当沿地球公转方向发射火箭，以最大限度地利用地球的公转动能。考虑到地球公转速率为 29.8千米/秒，火箭以相对速率从地面出发时的动能为 (1/2)m(v/+29.8)2 。因为万有引力是保守力，我们可以运用机械能守恒原理： 其中 R 为地球半径。由此求得： 但这结果是完全错误的。

第5章 动能定理 在火箭逸出地球引力范围的过程中，地球相对于“静止”参考系的速率也随之而变。由于地球质量很大，这个速率变化很小。另一方面，正因为地球质量很大，尽管速率变化很小，动能的改变却颇为可观。必须考虑地球动能的改变才可以得出正确的结果。为了计算火箭的速率，竟需要考虑地球运动情况的改变，这是太不方便了。 选取“地球—火箭”系统的质心坐标系则比较方便，因为地球的质量远远超过火箭的质量，“地球—火箭”系统的质心实际上也就是地球的质心。地球相对于它自己的质心，当然是始终静止的。在质心坐标系中，地球的动能始终为 0，无需特别计及地球的动能。

第5章 动能定理 在质心系中，火箭已脱离了地球引力范围的动能应为(1/2)m(42.2﹣29.8)2 ，其时“地球—火箭”势能为零。火箭以相对速率 v/ 从地面出发时的动能为 (1/2)mv / 2 。因为万有引力是保守力，我们可以运用机械能守恒原理： 由此求得第三宇宙速度： 这样，无需计算地球运动情况的改变，就能求得正确的第三宇宙速度。

三个宇宙速度

第5章 动能定理 5.5 两体问题 动力学方程为： 于是： 第5章 动能定理 5.5 两体问题 考虑两个质点的孤立体系，质点间的作用力是保守力，由两质点的相对位置决定。如图取一惯性系，设质量分别为 m1 和 m2 的两质点，位矢和速度分别为 r1、r2 和 v1、v2 ，质心的质量 位矢分别为 mC和 rC，则有： 动力学方程为： 于是：

第5章 动能定理 5.5 两体问题 该式表明质心作匀速运动。于是取质心为坐标原点建立的参考系也是惯性系，我们称该参考系为质心系。 第5章 动能定理 5.5 两体问题 该式表明质心作匀速运动。于是取质心为坐标原点建立的参考系也是惯性系，我们称该参考系为质心系。 设 m1、 m2 在质心系中的坐标分别为 rC1、rC2 ，有：

第5章 动能定理 5.5 两体问题 于是知 rC1 // rC2 ，且可得如下结论： 1. 质心在两质点的连线上； 第5章 动能定理 5.5 两体问题 于是知 rC1 // rC2 ，且可得如下结论： 1. 质心在两质点的连线上； 2. 质点与质心的距离反比于质点的质量。

第5章 动能定理 5.5 两体问题 若m1 << m2 ，考虑 m1 相对于 m2 的运动。选择与 m2 相对静止的参考系，m2 位于原点，称该参考系为S系，在S系中，m1 的位置为 r，速度为 v，我们有 r = r1﹣r2 ，v = v1﹣v2 。我们知道，S 系为非惯性系，当然可以通过引入惯性力来列出运动的牛顿方程，但是我们也可以通过上述方程导出的运动方程。

第5章 动能定理 5.5 两体问题 定义： ，称为约化质量，或折合质量。 按此定义，上述方程可以写成： 第5章 动能定理 5.5 两体问题 定义： ，称为约化质量，或折合质量。 按此定义，上述方程可以写成： 该方程与牛顿定律类似，我们认为大质量物体不动，并认为 S 系是惯性系，其根据即在此。

第5章 动能定理 5.5 两体问题 利用约化质量，可得在质心系中的机械能： 在 S 系中的运动方程： 由上述方程可知，只要将 m1 用约化质量代替，则不仅可以认为 S 系是惯性系，而且在 S 系中求得的机械能即为质心系中的机械能。 讨论： 即使 m2 不是很大时，m2 也运动，只要利用约化质量，即可把两体问题化成单体问题； 其它质点动力学问题不能化成单体问题。即使三体问题也未能一般解出。这类问题通常用摄动法解。

双星系统

§5.6 碰 撞 “深度撞击”坦普尔1号彗星 2005年7月4日，3.7秒 §5.6 碰 撞 碰撞是相当广泛的一类物体间的相互作用。碰撞的特征是，极短的时间和强烈的相互作用。“极短的时间” 是指碰撞过程所经历的时间远小于物体产生明显运动所需要的时间。 “深度撞击”坦普尔1号彗星 2005年7月4日，3.7秒

根据碰前和碰后物体的性质，可以把碰撞分成弹性碰撞和非弹性碰撞。 弹性碰撞是指碰前碰后物体保持不变，既没有形状大小的变化，也没有内部状态的变化。 如果碰后物体有剩余形变或状态变化，并且两体并合以同一速度运动，则称为完全非弹性碰撞。 日常遇到的碰撞大多介于以上两者之间的非弹性碰撞，即两物体碰后形状有变，但以不同速度分离运动。 从能量观点看，机械能守恒的碰撞是弹性碰撞，机械能不守恒的碰撞是非弹性碰撞。不管是何种碰撞，动量守恒均成立（作用时间很短，有限外力冲量可忽略）。

1. 正碰 如果碰前两小球速度 u1, u2沿两球中心的连线，这种碰撞被称为正碰（对心碰撞）。 在正碰情况下，碰后两小球的运动速度方向仍沿连线方向。 因此，在正碰撞时，小球的速度只需用代数值表示其大小和方向。若要两球碰撞，必须 u1 > u2 。 由于两小球碰撞过程动量守恒，有方程

正碰 二个阶段 ： 在碰撞的短暂时间⊿t 内，两小球首先相互接触，接着相互挤压，两球分别产生形变和试图恢复形变的力。 在 u1 > u2 的情况下，m1 速度渐小， m2 速度渐大，直至变为同一速度，达到最大压缩状态。这个阶段称为压缩阶段。 随后，由于两小球形变逐渐恢复， m1 速度继续减小， m2 速度继续增大，两小球速度分别达到 v1 和 v2 后开始分离。这是恢复阶段。

正碰 （1）压缩阶段：两球速度不等 → 两球速度相等，弹性力作用，球体变形。设弹性力对m2 的冲量为 I，有： 消去 v，得： 或： 其中 ，为约化质量（折合质量）。

正碰 （2）恢复阶段：两球速度相等 → 两球分开，变形逐逐渐恢复。设弹性力对 m2 的冲量为 J，有： 消去 v，得： 或：

正碰 牛顿指出：只要两球的材料给定，不论运动速度怎样，有： 我们称 e 为恢复系数。由前边结果可得补充方程： 该式可用实验检验，并可用于测定恢复系数 e。对不同材料的实验结果为：0 < e < 1。

正碰 由方程组： 可求得解为：

结果讨论： e = 1，称为完全弹性碰撞，此时动量守恒、能量守恒皆满足。

2. 斜碰 碰撞前两球的速度 u1, u2 不在两球中心连线上的碰撞叫斜碰。在一般情况下，斜碰为三维问题，碰撞后的速度 v1, v2 不一定在 u1, u2 所组成的平面上。若碰撞前一个小球处在静止状态，即 u2 =0，则这种碰撞是二维问题。我们只讨论这种情况。 在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有：

斜碰 取 u1 方向为 x 轴，碰撞所在面为 x﹣y 平面，上面的方程化为（ 称为散射角）： 通常，应用实验方法测出四个未知数中的一个，才能求出其余三个。 如果碰撞是非弹性的，那么只有前两个方程，未知量有四个，所以必须用实验方法测出四个未知数中的两个，才能求出其余两个。

3. 质心坐标系 上面讨论的碰撞所取的参考系是实验室系。但是，对碰撞问题的分析常采用质心系，因为在质心系中，体系的动量永远为零。质心系中描写碰撞，表达形式简单，物理意义清晰。 设在实验室系中，碰撞前、后两质点的速度分别为u1, u2 和 v1, v2 ，则质心速度为： 在质心系中 ，碰撞前、后两质点的速度分别为uC1, uC2 和 vC1, vC2 ，则：

（1） 正碰 对应有： 由这两方程可得： 这个结论表示，在质心系中每个质点碰后的速度为其碰前速度的 – e 倍。 （1） 正碰 对应有： 由这两方程可得： 这个结论表示，在质心系中每个质点碰后的速度为其碰前速度的 – e 倍。 在质心系中，碰撞损失的动能为

(2) 斜碰 我们仅讨论完全弹性碰撞，则由动量守恒和能量守恒可得： (2) 斜碰 我们仅讨论完全弹性碰撞，则由动量守恒和能量守恒可得： 由前一个方程知，碰前 uC1, uC2 在一条直线上，而碰后 vC1, vC2 也在一条直线上，故可将该方程写成标量形式： 解得： 即在质心系中，两球碰撞后，它们的速度都只改变方向，而不改变大小。可以用其入射方向和出射方向的夹角来表示它们运动方向改变的程度，其值可在 0 到π之间，与碰撞参量有关。

卢瑟福散射实验

弹弓效应（Gravity Assist Maneuver） 1977--2008