第三章 动量与角动量 （Momentum and Angular Momentum）

本章目录 前言 §3.1 冲量，动量，质点动量定理 §3.2 质点系动量定理 §3.3 动量守恒定律 §3.4 变质量系统、火箭飞行原理 §3.5 质心 §3.6 质心运动定理 §3.7 质点的角动量 §3.8 角动量守恒定律 §3.9 质点系的角动量 §3.10 质心系中的角动量定理

前言 牛顿定律是瞬时的规律。 在有些问题中， 如：碰撞（宏观）、 散射 … （微观） 我们往往只关心过程中力的效果 ——力对时间和空间的积累效应。 力在时间上的积累效应： 平动 冲量 动量的改变 转动 冲量矩 角动量的改变 力在空间上的积累效应 改变能量 功

§3.1 冲量，动量，质点动量定理 定义： 力的冲量（impulse）— 质点的动量（momentum）— 质点动量定理： （theorem of momentum of a particle） （微分形式） （积分形式）

平均冲力 [例]已知：一篮球质量m = 0.58kg， 从h=2.0m的高度下落， 到达地面后， 以同样 F t o  t [例]已知：一篮球质量m = 0.58kg， 从h=2.0m的高度下落， 到达地面后， 以同样 接触地面时间 t = 0.019s。 速率反弹， 求：篮球对地的平均冲力 解： 篮球到达地面的速率

船行“八面风”

演示 逆风行舟 (KL011) F横 F进 风 F风对帆 v1 v2 帆 v1 F帆对风 Δv Δv v2 龙骨 F阻 F横

· §3.2 质点系动量定理 （theorem of momentum of particle system） pi j 质点系 pi 为质点 i 受的合外力， Fi fj i fi j 为质点 i 受质点 j 的内力， 为质点 i 的动量。 对质点 i ： 对质点系： 由牛顿第三定律有：

所以有： 令 则有： 质点系动量定理（微分形式） 或 —质点系动量定理（积分形式） 系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。 用质点系动量定理处理问题可避开内力。

（law of conservation of momentum） §3.3动量守恒定律 （law of conservation of momentum） 质点系所受合外力为零时， 质点系的总动量 这就是质点系的动量守恒定律。 不随时间改变。 即 几点说明： 1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。 2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。

3. 动量若在某一惯性系中守恒， 则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零， 则该方向上动 尽管总动量可能并不守恒。 量守恒， 5.当外力<<内力 且作用时间极短时 （如碰撞）， 可认为动量近似守恒。 6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本 的定律， 它在宏观和微观领域均适用。 7.用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统 和条件。

§3.4变质量系统、火箭飞行原理 （自学书§3.4和本电子教案） 低速（v << c）情况下的两类变质量问题： ▲ 粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） ▲ 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射） 还有另一类变质量问题是在高速（v  c） 情况下， 这时即使没有粘附和抛射，质量也可 以随速度改变 — m = m(v)， 这是相对论情形， 不在本节讨论之列。 下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。

初态：系统质量 M，速度v (对地)，动量 M v 一. 火箭不受外力情形（在自由空间飞行） v u 1.火箭的速度 系统： 火箭壳体 + 尚存燃料 条件：燃料相对箭体以恒速u喷出 总体过程：i (点火)  f (燃料烧尽) 先分析一微过程： t  t +dt 初态：系统质量 M，速度v (对地)，动量 M v 末态：喷出燃料后 喷出燃料的质量：dm = - dM， 喷出燃料速度(对地)： v - u

火箭壳体 +尚存燃料的质量： M - dm 火箭壳体 +尚存燃料的速度(对地)：v + d v 系统动量： ( M- dm)(v + d v) + - dM(v - u)  由动量守恒，有 M v = - dM(v - u) +( M- dm)(v + d v ) 经整理得： Mdv = -udM 速度公式：

引入火箭质量比： 得 讨论：提高 vf 的途径 (1)提高 u（现可达 u = 4.1 km/s） (2)增大 N（受一定限制） 为提高N，采用多级火箭（一般为三级） v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln N3 资料：长征三号（三级大型运载火箭） 全长：43.25m， 最大直径：3.35m， 起飞质量：202吨，起飞推力：280吨力。

2.火箭所受的反推力 研究对象：喷出气体 dm t 时刻：速度v (和主体速度相同)， 动量 vdm t +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u) 由动量定理，dt内喷出气体所受冲量 F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt 由此得火箭所受燃气的反推力为

二. 重力场中的火箭发射 忽略地面附近重力加速度 g 的变化， 可得 t 时刻火箭的速度： Mt ： t 时刻火箭壳和尚余燃料的质量

· §3.5质心（center of mass） 一. 质心的概念和质心位置的确定 为便于研究质点系总体运动，引入质心概念。 z mi z ri y x 定义质心 C 的位矢为： × C rc 质心位置是质点位置以 质量为权重的平均值。

· m1 r1 = m2 r2 …… 二.几种系统的质心 m2 m1 r1 r2 C × r rc z x y × dm C m ● 两质点系统 m2 m1 · × r1 r2 C m1 r1 = m2 r2 ● 连续体 × r rc dm C m z x y ……

· 圆环、球，质心为其几何中心。 [例]如图示， 求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解： 由对称性分析，质心C应在x轴上。 ● 均匀杆、圆盘、 圆环、球，质心为其几何中心。 ● “小线度”物体的质心和重心是重合的。 [例]如图示， 求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解： 由对称性分析，质心C应在x轴上。 令 为质量的面密度，则质心坐标为： x y O 均质圆盘 R · O″ r C O′ r xC d d 挖空

· §3.6质心运动定理 （theorem of motion of center of mass） 一. 质心运动定理 z mi vc ri y x vi rc C vc × 是质点系的“平均”速度 即质点系的总动量

由 有 — 质心运动定理 质心的运动如同一个在质心位置处的质点的 运动， 该质点集中了整个质点系的质量和所受 的外力。 在质点力学中所谓“物体”的运动， 实际上是物体质心的运动。 演示 质心运动 (KL005) 球往哪边移动？ 思考 拉力 纸 · C ×

系统内力不会影响质心的运动， 例如： 的扳手， 其质心做匀 速直线运动 动员尽管在翻转，但 其质心仍做抛物线运动 但其质心仍在做抛物线运动 ▲ 在光滑水平面上滑动 的扳手， 其质心做匀 速直线运动 ▲ 做跳马落地动作的运 动员尽管在翻转，但 其质心仍做抛物线运动 ▲ 爆炸的焰火弹虽然碎片四散， 但其质心仍在做抛物线运动

二 . 动量守恒与质心的运动 质点系动量守恒 则 若合外力为零， 质点系分动量守恒 则 若合外力分量为0， 相应的质心分速度不变 质点系动量守恒和质心匀速运动等价！

三. 质心（参考）系 （frame of center of mass） 1. 质心系 讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。 质心系是固结在质心上的平动参考系。 质心系不一定是惯性系。 质点系的复杂运动通常可分解为： 质点系整体随质心的运动； 各质点相对于质心的运动 —— 在质心系中考察质点系的运动。

· 2.质心系的基本特征 质心系是零动量参考系。 m1v1 两质点系统在其 m2v20 m1v10 质心系中， 总是具有 m2v2 等值、反向的动量。 质心系中看两粒子碰撞

· §3.7 质点的角动量 （angular momentum of a particle） 一. 质点的角动量 角动量是质点运动中的一个重要的物理量， 在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。 质点m对惯性系中的固  L 定点O的角动量定义为： m O p r  · 大小： 单位：kg  m2/s 方向： 决定的平面（右螺旋）

· L = mvR， 质点作匀速率圆周运动时， L R v  m O 对圆心的角动量的大小为 方向圆面不变。 同一质点的同一运动，其角动量却可以随固 定点的不同而改变。 例如： O l O 锥摆 m 方向变化 方向竖直向上不变

· 二. 质点的角动量定理，力矩 由 有： 定义力对定点 O 的力矩 (moment of force) 为：  称力臂 M F  r

于是有 质点角动量定理 （微分形式） 或 质点角动量定理 积分 （积分形式） 称冲量矩 ——力矩对时间的积累作用。

例 锥摆的角动量 对O点： 合力矩不为零，角动量变化。 对O点： 合力矩为零，角动量大小、方向都不变。 （合力不为零，动量改变！） l O 锥摆 m 对O点： 合力矩不为零，角动量变化。 对O点： 合力矩为零，角动量大小、方向都不变。 （合力不为零，动量改变！）

· 三. 质点对轴的角动量 z 1. 力对轴的力矩 rsin r 把对O点的力矩向过O r 点的轴（如 z 轴）投影： r// r F r O ·  F F// 1. 力对轴的力矩 rsin r 平面  z轴 把对O点的力矩向过O  Mz M r// r 点的轴（如 z 轴）投影： ——力对轴的力矩。

· r 2.质点对轴的角动量 z p r rsin ——质点对轴的角动量 3.对轴的角动量定理 —— 质点对轴的 即 角动量定理  O · z   rsin ——质点对轴的角动量 3.对轴的角动量定理 —— 质点对轴的 角动量定理 即

· （law of conservation of angular momentum） ——质点角动量守恒定律 L m §3.8 角动量守恒定律 （law of conservation of angular momentum） ——质点角动量守恒定律  O m v F · L  （中心力） r （1） mv r sin =const.， （2）轨道在同一平面内。

角动量守恒定律是物理学的基本定律之一， 它不仅适用于宏观体系， 也适用于微观体系， 而且在高速低速范围均适用。 v — 质点对轴的角 角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律： r L v S   m （书161页例3.16）  r v F 演示 质点在有心力作用下运动 (KL014) 离心节速器 (KL018)

▲ 星云具有盘形结构： pc — 秒差距，1pc = 3.0861016m 旋转的星云

· · 粗略的解释： 星球具有原始角动量 星球所需向心力： 可近似认为引力： 引力使r到一定程度 r 就不变了， v0 · z m v · r 星球所需向心力： 可近似认为引力： 引力使r到一定程度 r 就不变了， 引力不能再使 r 减小 。 但在z 轴方向却无此限制， 可以在引力作用下不断收缩。

§3.9 质点系的角动量 质点系的角动量 （自己证） 于是有： — 质点系角动量定理

质点系角动量守恒和动量守恒是否相互独立？ ——质点系角动量守恒定律 思考 质点系角动量守恒和动量守恒是否相互独立？ ▲ 脉冲星的角动量守恒 时间间隔 ：1s 脉冲星的精确周期性信号 周期约1.19 s

星体不被惯性离心力甩散，必须满足条件： 如此推算，脉冲星的 超过了白矮星密度。 这说明，脉冲星是高速旋转的中子星。

另一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。 例 一根长为l的轻质杆，端部固结一小球m1 ， 另一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。 求：碰撞后杆的角速度ω l m1 O  v0 m2  解： 选m1（含杆）+ m2为系统 碰撞时重力和轴力都通过O， 对O 力矩为零，故角动量守恒。 有 解得： 思考 （m1＋m2 ）的水平动量是否守恒？

§3.10 质心系中的角动量定理 一. 质心系中的角动量 z vi O 是惯性系中的一个定点 vi Fi C 是质心兼质心坐标系原点 vC C  × y x O rC ri vi Fi z O 是惯性系中的一个定点 C 是质心兼质心坐标系原点 对质心 对O点 C 对O O系为惯性系 利用关系： 可以证明（自己推导）：

二. 质点系对质心的角动量定理： 即有 —— 质心系中质点对质心的角动量定理

尽管质心系可能不是惯性系， 但对质心来说， 角动量定理仍然成立。 这再次显示了质心的 特殊之处 和选择质心系来讨论问题的优点。 若质心系是非惯性系， 则外力矩中应包括 惯性力对质心的力矩： 设质心加速度为 则有 这正是即使质心系为非惯性系，但质点系对 质心的角动量仍能满足角动量定理的原因。

小结：动量与角动量的比较 动量 角动量 矢量 矢量 与固定点有关 与固定点无关 与内力无关 与内力矩无关 守恒条件 守恒条件 第三章结束